2024年暑假初升高衔接数学讲义学案 第13讲 函数的单调性与最值

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————初中知识回顾————
正比例函数和一次函数：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
反比例函数：当时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。
当时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随x 的增大而增大。
二次函数：如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。学科-网
————高中知识链接————
函数的单调性
(1)增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；
(2)减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有
，那么就说函数在区间上是减函数．
函数的最值
1．最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1)对于任意的，都有；
(2)存在，使得．
那么，我们称是函数的最大值．
2．最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1)对于任意的，都有；
(2)存在，使得．
那么，我们称是函数的最小值．
【经典题型】
初中经典题型
1．下列函数中，对于任意实数，，当时，满足的是( )
A． y=﹣3x+2 B． y=2x+1 C． y=2x2+1 D． y=﹣
【答案】A
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，则对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，足y1不一定大于y2，故选项C错误，
∵y=﹣，
∴y随x的增大而增大，则对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＞y2，故选项D错误，
故选：A．
点睛：本题考查二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数图象的变化特点．
2．下列函数的图像在每一个象限内，值随值的增大而增大的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A选项：对于一次函数y=-x+1，k＜0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小，故本选项错误；
B选项：对于二次函数y=x2-1，当x＞0时，y值随x值的增大而增大，当x＜0时，y值随x值的增大而减小，故本选项错误；
C选项：对于反比例函数y＝ ，k＞0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小，故本选项错误；
D选项：对于反比例函数y＝−，k＜0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而增大，故本选项正确．
故选D．
3．已知反比例函数y=﹣，当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围是( )
A． 0＜y＜1 B． 1＜y＜2 C． 2＜y＜3 D． ﹣3＜y＜﹣2
【答案】C
【解析】分析：
由题意易得当﹣3＜x＜﹣2时，函数的图象位于第二象限，且y随x的增大而增大，再计算出当x=-3和x=-2时对应的函数值，即可作出判断了．
4．反比例函数的图象如图所示，以下结论：
①常数m＜﹣1；
②在每个象限内，y随x的增大而增大；
③若A(﹣1，h)，B(2，k)在图象上，则h＜k；
④若P(x，y)在图象上，则P′(﹣x，﹣y)也在图象上．
其中正确的是( )
A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④
【答案】C
【解析】∵反比例函数的图象位于一三象限，
∴m＞0
故①错误；
当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；
将A(﹣1，h)，B(2，k)代入得到h=﹣m，2k=m，
∵m＞0
∴h＜k
故③正确；
将P(x，y)代入得到m=xy，将P′(﹣x，﹣y)代入得到m=xy，
故P(x，y)在图象上，则P′(﹣x，﹣y)也在图象上
故④正确，
故选：C．
5．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，与x轴交点的横坐标分别为-1、3，则下列说法错误的是( )
A． 对称轴是直线x=1 B． 方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1，x2=3
C． 当x＜1，y随x的增大而增大 D． 当-1＜x＜3时，y＜0
【答案】C
【解析】A． 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标分别为-1、3,∴对称轴是直线，故正确；
B．∵抛物线y=ax ²+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标分别为−1、3,∴方程ax ²+bx+c=0的根是x ₁=−1,x ₂=3，故正确；
C．根据图象得抛物线对称轴为x=1，而抛物线开口方向向上，∴当x0的解集为______．
【答案】或
【解析】∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上递增．
∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0．
故原不等式可化为或，
∴或，解得或．
所以原不等式的解集为或．
3．函数的单调递增区间为 ．
【答案】和．
【解析】作出函数的图象如下图所示，
由图象可知，函数的单调递增区间为和．
4．已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】函数： ，由复合函数的增减性可知，若 在 (-2，+∞)为增函数，∴1-2a＜0，
5．若函数在是增函数，则的取值范围( )
A、 B、 C、 D、
【答案】C
6．函数，的最小值为0，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在上单调递减，且，所以；故选D．