2024年暑假初升高衔接数学讲义学案第16讲三角形的“四心”

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这是一份2024年暑假初升高衔接数学讲义学案第16讲三角形的“四心”，文件包含第16章三角形的“四心”-2024年初升高数学衔接课程-教师版含解析doc、第16章三角形的“四心”-2024年初升高数学衔接课程--学生版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共16页，欢迎下载使用。

————初中知识回顾————
1、重心：三角形的三条中线交点．
2、外心：是三角形三边中垂线的交点．
3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．
4、垂心：是三角形三条高的交点．
————高中知识链接————
1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．
2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．
3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．
4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．
【经典题型】
初中经典题型
例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．
已知：D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，
求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．
例2：已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：．
例3：已知：O为的重心和内心，求证：为等边三角形．
例4：已知：中，AD与BE交于H点．
求证：．
高中经典题型
1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为，重心到垂心的距离为．
2、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径＝．
3、在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO＝BC，则cs(∠OBC+∠OCB)= ．
4、设G为△ABC的重心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，则△ABC的面积为．
5、若，那么以、、为三边的△ABC的内切圆，外接圆的半径之和为．
A、B、
C、D、
【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( )[来源:Z#xx#k.Cm]
A．三条中线的交点 B．三条高线交点
C．三个内角平分线交点 D．三边垂直平分线交点
2．已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=_____．
3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为______．
4．已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．
5．如图，等腰直角的中线、相交于点，若斜边的长为，则线段的长为_______．
6．．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．
7．阅读下面材料：
如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高．
小明的作法如下：
(1)连接AD，BE，它们相交于点P；
(2)连接CP并延长，交AB于点F．
所以，线段AD，BE，CF就是所求的△ABC的三条高．
请回答，小明的作图依据是________．
8．如图，在中，，平分，于，如果，那么等于_________cm．
9．中，点是内一点且到三边的距离相等，，则_________．
10．两个城镇与一条公路，一条河流的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到的距离必须相等，到和的距离也必须相等，且在的内部，请画出该山庄的位置．(不要求写作法，保留作图痕迹．)
————再战高中题 —— 能力提升————
B 组
1、在锐角△ABC中，内角为A、B、C三边为a、b、c，则内心到三边的距离之比为，重心到三边的距离为，外心到三边的距离之比为，垂心到三边的距离之比为．
2、如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分别为D、E、F，则H是△DEF的．
A
F
B
D
C
E
H
3、如图，D是△ABC的边BC上任一点，点E、F分别是△ABD和△ACD的重心连结EF交AD于G点，则DG：GA＝．
A
B
C
E
G
F
M
D
N
4、设△ABC的重心为G，GA＝，，，则＝．
5、若H为△ABC的重心，AH＝BC，则∠BAC的度数是( )
A、45°B、30°C、30°或150°D、45°或135°
6、已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB＝10，AC＝9，DE＝12，求平行四边形ABCD的面积．