2024年暑假初升高衔接数学讲义学案 第18讲 圆

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————初中知识回顾————
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．[来
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
(1)得到推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
切线的性质与证明：
切线的判定：(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线的性质：
(1)切线与圆只有一个公共点．
(2)切线到圆心的距离等于圆的半径．
(3)切线垂直于经过切点的半径．
证明四点共圆的方法有：[来源:学.科.网]
(1)到一定点的距离相等的点在同一个圆上
(2)同斜边的直角三角形的各顶点共圆
(3)线段同旁张角相等，则四点共圆．学科-网
(4)若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆
(5)若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆
(6)四边形ABCD对角线相交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆
(7)四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若，则它的四个顶点共圆．
圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径
推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
————高中知识链接————
直线和圆的位置关系
相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离．
圆和圆的位置关系
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离．
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切．
两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交．
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切．
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含．
弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角
与圆有关的比例线段
(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【经典题型】
初中经典题型
例1：如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )

10 cm B． 16 cm C． 24 cm D． 26 cm
例2：如图，已知在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC＝40°，则eq \(AD,\s\up8(︵))的度数是________度．
例3：如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若PD=，求⊙O的直径．
例4：如图，设AB为圆的直径，过点A在AB的同侧作弦AP、AQ交B处的切线于R、S，求证：P、Q、S、R同点共圆．
A
B
Q
S
R
P
例5：圆内接四边形ABCD，O为AB上一点，以O为圆心的半圆与BC，CD，DA相切，求证：AD＋BC＝AB
A
D
C
O
E
B
高中经典题型
1、如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A，B，C，P四点共圆．
(1)求证：eq \f(PC,AC)＝eq \f(PD,BD)；
(2)若AC＝4，求AP·AD的值．
2、如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠BAD等于________．[来源:学*科*网]
3、如图，PA是⊙O的切线，切点为A，过PA的中点M作割线交⊙O于点B和C，若∠BMP＝110°，∠BPC＝30°，则∠MPB＝________．学=科网
4、如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于点A，点B，且PB＝7，C是圆上一点，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________．
5、如图， △ABC为圆的内接三角形， BD为圆的弦， 且BD∥AC． 过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB＝AC，AE＝6，BD＝ 5，则线段CF的长为________．
【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为( )
A．26π B．13π C． D．
2、⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC度数为 ．
3、将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB(其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°)如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点 E，分别连接EB，EC．
(1)求证：EC平分∠AEB；
(2)求的值．
4、如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．
(1)求证：CA=CN；
(2)连接DF，若cs∠DFA=，AN=，求圆O的直径的长度．
5、如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
(1)若点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN=30°，求点B的坐标；[来源:学*科*网]
(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
6、如图，设A为⊙O外一点，AB，AC和⊙O分别切于B，C两点，APQ为⊙O的一条割线，过点B作BR//AQ交⊙O于点R，连结CR交AO于点M，试证：A，B，C，O，M五点共圆．
A
B
G
P
C
O
M
Q
7、如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，C两点，D为PC中点，且AD延长线交⊙O于点E，又，求证：(1)PA＝PD；(2)．
A
P
B
D
O
E
C
8、如图，PA，PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE长为2，CD＝1，求DE的长度．
A
C
D
P
O
H
E
B
————再战高中题 —— 能力提升————
B 组
1．如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若，，则 ．
2．如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且，则 ．
3．如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且．
(Ⅰ)证明：；学科-网
(Ⅱ)设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形．
4．如图，P是圆O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交圆O于点E．
证明：(Ⅰ)BE=EC；
(Ⅱ)ADDE=2