2024年暑假初升高衔接数学讲义学案 第19讲 相似形

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————初中知识回顾————
————高中知识链接————
1．(1)相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系．(2)注意辅助线的添加，多数作平行线．(3)相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等．
2．涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．
【经典题型】
初中经典题型
1、已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC．
(1)求证：△AED∽△CFE；学科-网
(2)当EF∥DC时，求证：AE=DE．
2、某一天，小明和小亮来到一河边，想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点C(点C与河对岸岸边上的一棵树的底部点B所确定的直线垂直于河岸)．
小明到F点时正好在平面镜中看到树尖A，小亮在点D放置平面镜，小亮到H点时正好在平面镜中看到树尖A，且F、D、H均在BC的延长线上，小明的眼睛距地面的高度EF=1．5m，小亮的眼睛距地面的高度GH=1．6m，测得CF=1m，DH=2m，CD=8．4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BC是多少米？
3、在正方形ABCD中，AB=8，点P在边CD上，tan∠PBC=，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．
(1)如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；
(2)如图2，试探索：的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；
(3)如图3，若点Q在线段BP上，设PQ=x，RM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
高中经典题型
1．如图，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则 ．
2．如图，在中，作平行于的直线交于，交于，如果和相交于点，和相交于点，的延长线和相交于．

证明：(1)；
(2)．
3．过圆外一点，作圆的切线、，、为切点，为弦上一点，过作直线分别交、
于点、．

(Ⅰ)若，求线段的长；
(Ⅱ)若，求证：．
4．如图，为圆的直径，为圆的切线，点为圆上不同于的一点，为的平分线，且分别与交于，与圆交于，与交于，连接．

(1)求证：平分；
(2)求证：
5．如图所示，以直角三角形的斜边为直径作外接圆，为圆上任一点，连接，过点作边上的高，过点作圆的切线与的延长线交于点．

(1)求证：；学科*网
(2)若，求的长．
6．在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．

(1)求证：；
(2)若，求的值．
7．如图，为四边形外接圆的切线，的延长线交于点，与相交于点，且．

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从B、A两点出发，分别沿BA、AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，AP=2AQ？
(2)当t为何值时，△APQ为直角三角形？
(3)作DQ∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值，△BDP∽△PDQ？
2．如图，小华在晚上由路灯AC走向路灯BD．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知小华的身高是1．6m，两个路灯的高度都是9．6m，且AP=QB．
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当小华走到路灯BD的底部时，他在路灯AC下的影长是多少？
3．如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点(点D不与点A、B重合)，以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．
(1)点D在运动时，下列的线段和角中， ④⑤ 是始终保持不变的量(填序号)；
①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；
(2)设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
(3)如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．
————再战高中题 —— 能力提升————
B 组
1．如图，与相交于点，过作的平行线与的延长线交于点，已知，，则____．

2．在直角三角形ABC中，，它的内切圆分别与边，，相切于点，，，联结，与内切圆相交于另一点，联结，，，，已知，求证：(1)；(2)。
3．如图，在ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点．

求证：∠EDC=∠ABD．
4．如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．

(Ⅰ) 证明：B，C，G，F四点共圆；
(Ⅱ)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
5．如图，为圆的直径，为圆的切线，点为圆上不同于的一点，为的平分线，且分别与交于，与圆交于，与交于，连接．
(1)求证：平分；
(2)求证：．

6．在△ABC中，，△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC的延长线于点E．

求证：△ABD∽△AEB．
相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA)．
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF．[来源:学.科.网][来源:学。科。网]
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF．
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．
如图，若，则△ABC∽△DEF．
相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．