重庆市礼嘉中学校2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份重庆市礼嘉中学校2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共22页。
1．（4分）函数y＝在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞πB．x≥πC．x＜πD．x≤π
解答：解：由题意得：π﹣x≥0，
解得：x≤π，
故选：D．
2．（4分）下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解答：解：A．对于x的每一个值，
∴A中y是x的函数，符合题意；
BCD．对于x的每一个值，
∴BCD中y不是x的函数，不符合题意．
故选：A．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．3﹣＝3
C．＝﹣＝3﹣1＝1D．＝
解答：解：A．与不是同类二次根式，此选项计算错误；
B．7﹣＝6；
C．＝＝，此选项计算错误；
D．＝＝，此选项计算正确；
故选：D．
4．（4分）对于函数y＝3x，下列说法不正确的是（ ）
A．该函数是正比例函数
B．该函数图象过点（1，2）
C．该函数图象经过一、三象限
D．y随着x的增大而增大
解答：解：A．∵k＝2，
∴该函数是正比例函数，选项A不符合题意；
B．当x＝1时，
∴该函数图象过点（5，2）；
C．∵k＝2＞5，
∴该函数图象经过第一、三象限；
D．∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．
故选：B．
5．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边相等、一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对角线将平行四边形分成四个全等的三角形
解答：解：A、一组对边相等，所以该四边形不一定是平行四边形，不符合题意；
B、一组对边平行，故原命题错误；
C、一组对边平行，正确；
D、平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等但不全等的三角形，不符合题意．
故选：C．
6．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DH⊥AB于点H，连接OH，则∠DHO的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．40°
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠7＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选：A．
7．（4分）在平面直角坐标系中，将一次函数y1＝3x+m的图象向下平移4个单位长度后得到一个正比例函数的图象，若点A（﹣1，a）在一次函数y1＝3x+m的图象上，则a的值为（ ）
A．﹣4B．﹣1C．1D．2
解答：解：∵将一次函数y1＝3x+m的图象向下平移3个单位长度后得到一个正比例函数的图象，
∴m﹣4＝0，
∴m＝6，
∴y1＝3x+4，
∵点A（﹣1，a）在一次函数y1＝2x+m的图象上，
∴a＝3×（﹣1）+8＝1，
故选：C．
8．（4分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是；④S正方形ABCD＝4+．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．①②③
解答：解：∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
又∵AE＝AP，AB＝AD，
∵在△APD和△AEB中，，
∴△APD≌△AEB（SAS）；故①正确；
由△APD≌△AEB得，∠AEP＝∠APE＝45°，
所以∠BEP＝90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
在△AEP中，由勾股定理得PE＝，
在△BEP中，PB＝，由勾股定理得：BE＝，
∵∠PAE＝∠PEB＝∠EFB＝90°，AE＝AP，
∴∠AEP＝45°，
∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF＝BF＝，
故②是错误的；
因为△APD≌△AEB，所以∠ADP＝∠ABE，所以③是正确的；
连接BD，则S△BPD＝PD×BE＝，
所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2+，
所以S正方形ABCD＝2S△ABD＝6+所以④是正确的；
综上可知，正确的有①③④，
故选：C．
9．（4分）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，走了一段后，在途中停下吃了早餐，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校（米）和所用时间t（分钟）的关系图（ ）
A．小明家和学校距离1200米
B．小华乘公共汽车的速度是240米/分
C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇
D．小明从家到学校的平均速度为80米/分
解答：解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200米；
根据图象，小华乘公共汽车，所以公共汽车的速度为1200÷5＝240（米/分）；
小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，所以二人相遇所用的时间是4+480÷240＝10（分钟），故C正确；
小明从家到学校的时间为20分钟，所以小明的平均速度为1200÷20＝60（米/分）．
故选：D．
10．（4分）已知，将a0的整数部分加上a0的小数部分的倒数得到a1，再将a1的整数部分加上a1的小数部分的倒数得到a2，以此类推可得到a3，a4，…，an．如的整数部分为1，小数部分为．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②a2022的小数部分为；③；④+…+＝；
⑤a1+a2+a3+…+a40＝1230+30．
A．2个B．3个C．4个D．5个
解答：解：由题意得，，它的整数部分为2；
，它的整数部分为5；
，它的整数部分为5；
，它的整数部分为7；
∴n为奇数时，，它的整数部分为；
n为偶数时，，它的整数部分为；
∴①，正确；
②a2022的小数部分为，错误；
③，正确；
④
＝
＝，错误；
⑤a1+a2+a3+⋯⋯+a40
＝（a1+a5+⋯+a39）+（a2+a4⋯+a40）
＝
＝（10+650）+（20+630）＝30，该选项 错误；
综上所述，正确的是①③；
故选：A．
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。请将每个小题的答案直接填在横线上。
11．（4分）﹣（π﹣3.14）0﹣＝ ﹣6 ．
解答：解﹣（π﹣3.14）0﹣
＝4﹣6﹣9
＝﹣6．
故答案为：﹣8．
12．（4分）点A（a﹣1，y1），B（a，y2），C（a+1，y3）都在一次函数y＝2x+m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 y1＜y2＜y3 ．（用“＜”表示）
解答：解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵一次函数y＝8x+m的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），a﹣4＜a＜a+1，
∴y1＜y4＜y3．
故答案为：y1＜y8＜y3．
13．（4分）一次函数y＝（m+1）x﹣2m+3的图象一定经过第 一 象限．
解答：解：∵该函数为一次函数，
∴m+1≠0，即m≠﹣4
分类讨论：①当m+1＞0，即m＞﹣6时，
∴﹣2m+3＜6，
∴此时该函数图象必经过第一、三象限．
当0＜﹣2m+2＜5时，经过第二象限，经过第四象限；
②当m+1＜7，即m＜﹣1时，
∴﹣2m+2＞7，
∴此时该函数图象经过第一、二、四象限，
综上可知，该函数图象必经过第一象限．
故答案为：一．
14．（4分）在数轴上离最近的整数是 ﹣17 ．
解答：解：∵2＝，而，
∴更接近于3，
∴在数轴上离最近的整数是：3﹣20＝﹣17，
故答案为：﹣17．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，E是AD上一点，AE＝1，连接AP，取AP的中点F，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 5 ．
解答：解：过点P作PM∥FE交AD于M，如图，
∵F为AP的中点，PM∥FE，
∴FE为△APM的中位线，
∴AM＝2AE＝2，PM＝4EF，
当EF取最小值时，即PM最短，
当PM⊥AD时，PM最短，
此时PM＝AB＝3，
∵MD＝AD﹣AM＝4，
在Rt△PMD中，PD＝，
∴当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是7，
故答案为：5．
16．（4分）在矩形ABCD中，M为BC中点，连结AM，连结CE，BE，若AB＝，AD＝10 8 ．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝，
∵M是BC的中点，
∴CM＝BM＝BC＝5，
由折叠性质可知，△ACM≌△AEM，
∴CM＝EM，AE＝AC，
∴BM＝EM＝CM，
∴∠MBE＝∠MEB，∠MEC＝∠MCE，
∵∠MBE+∠MEB+∠MEC+∠MCE＝180°，
∴2∠MEB+3∠MEC＝180°，
∴∠MEB+∠MEC＝∠BEC＝90°，
∵AE＝AC，CM＝EM，
∴AM垂直平分CE，
∴EN＝CF，∠MNC＝90°，
∵M是BC中点，
∴BE＝2MF，
在Rt△ABM中，
AM＝＝＝，
在Rt△ACF中，CF2＝AC2﹣AF2，
在Rt△MCF中，CF5＝CM2﹣MF2，
∴AC6﹣AF2＝CM2﹣MF7，
∵AC2＝AD2+CD5，
∴AD2+CD2﹣AF8＝CM2﹣MF2，
设MF＝x，
则104+﹣＝53﹣x2，
解得x＝4，
∴MF＝4，
∴BE＝2MF＝8，
故答案为：8．
17．（4分）若关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，且关于y的不等式组，则所有符合条件的整数a的值的积是 ﹣8 ．
解答：解：，
由①得：y≤8，
由②得：y≥a+6，
∵关于y的不等式组有解，
∴a+7≤8
∴a≤2，
解分式方程﹣＝4，
∵x﹣2≠0，
∴≠2，
∴a≠6，
∵关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，
∴5﹣a＝1或4﹣a＝3或4﹣a＝4或8﹣a＝8，
∴a＝3或a＝2或a＝0或a＝﹣4，
∵a≤4，a≠0，
∴a＝2或﹣2，
∴所有符合条件的整数a的值的积＝2×（﹣4）＝﹣8，
故答案为：﹣8．
18．（4分）一个三位数A，它的各个数位上的数字均不为零，且满足百位上数字与个位上数字的和等于十位上数字的两倍，另记A和A′的和为F（A）．例如：852满足8+2＝5×2，且F（A）＝A+A′＝852+258＝1110．已知“明德数”M的百位数字小于个位数字，F（M），且为整数，则满足条件的“明德数”M的最大值为 345 ．
解答：解：设M的百位数字为a，十位数字为b，
∴a+c＝2b，
∴M＝100a+10b+c，M′＝100c+10b+a，
∴F（M）＝M+M′＝100a+10b+c+100c+10b+a
＝100（a+c）+20b+a+c
＝200b+20b+2b
＝222b，
∴，
∵是一个整数，
∴2b＝6或2b＝8，
∵当6b＝0时，a+c＝2b＝7，
∴此时不满足题意，
∴2b＝8，
∴b＝7，
∴F（M）＝888，
∵F（M）能被个位数字与百位数字的差整除，
∴是整数，
∴c﹣a＝2或c﹣a＝4或c﹣a＝2或c﹣a＝1或c﹣a＝6或c﹣a＝2，
又∵a+c＝2b＝8，
∴当c＝8时，a＝2；
当c＝7时，a＝7；
当c＝5时，a＝3；
∴M可以是246，147，
∴满足题意的M的最大值为345．
故答案为：345．
三、解答题：本题共8小题，19题8分，20～26每题10分，共78分。
19．（8分）（1）解方程：；
（2）计算：2﹣6+（）（）．
解答：解：（1）去分母得：x（x+3）+2（x﹣4）＝（x﹣3）（x+3），
去括号得：x4+3x+2x﹣4＝x2﹣9，
移项、合并同类项得：3x＝﹣3，
系数化为1得：x＝．
检验：当x＝时，（x﹣3）（x+3）≠8，
∴分式方程的解为x＝．
（2）7﹣6）（）
＝﹣+6﹣2
＝+1．
20．（10分）先化简：÷（x+3+）﹣，然后在2，3，0，中选择一个你喜欢的数作为x值
解答：解：原式＝÷（+
＝÷﹣
＝•﹣
＝﹣
＝，
由题意得：x≠2、2、3，
当x＝时，原式＝＝．
21．（10分）如图，在矩形ABCD中．
（1）利用直尺和圆规完成以下基本作图：作∠ABC的平分线，交AD于点E，过点E作EF⊥BC交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法、结论）
（2）在（1）所作的图中，证明：四边形ABFE是正方形（请补全下面的证明过程，不写依据）．
证明：∵EF⊥BC，
∴ ∠EFB＝90°， ．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝∠EFB＝90°．
∴四边形ABFE为 矩形 ．
∵四边形ABCD为矩形，
∴ AD∥BC ．
∴∠AEB＝∠EBF．
又∵BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE＝∠EBF ．
∴∠AEB＝∠ABE．
∴ AB＝AE ．
∴四边形ABFE为正方形．
解答：解：（1）如图所示，BE平分∠ABC；
（2）证明：∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝∠EFB＝90°．
∴四边形ABFE为矩形；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF．
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBF
∴∠AEB＝∠ABE．
∴AB＝AE，
∴四边形ABFE为正方形．
故答案为：∠EFB＝90°；矩形；∠ABE＝∠EBF．
22．（10分）已知，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，K在BC边上，且BK＝CE
解答：证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°，
∵DH＝CE，BK＝CE，
∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，
在△ABK、△KEF、△ADH中
∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，
∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝HAD，
∵∠BAD＝90°，
∴∠HAK＝∠HAD+∠DAK＝∠BAK+∠DAK＝∠BAD＝90°，
∴四边形AKFH为正方形．
23．（10分）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种纪念品每件售价50元，B种纪念品每件售价65元，这两种纪念品共购进200件，求A种纪念品最多购进多少件？
解答：解：（1）设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为（x+10）元．
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，
则x+10＝50．
答：A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元．
（2）设A种纪念品购进a件，则B种纪念品购进（200﹣a）件，
根据题意得：（50﹣40）a+（65﹣50）（200﹣a）≥2400，
解得：a≤120．
答：A种纪念品最多购进120件．
24．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴和y轴相交于C、A（0，6）两点2＝﹣2x的图象交于点B（﹣2，m）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）请用两点法做出一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象；
（3）点D是一次函数y1图象上一点，若S△OCD＝2S△OCB，求点D的坐标．
解答：解：（1）∵点B（﹣2，m）在正比例函数图象上，
∴m＝4，
∴B（﹣6，4），
∵一次函数y1＝kx+b（k≠5）的图象分别与x轴和y轴相交于C、A（0，
∴b＝6，
将点B（﹣5，4）代入一次函数y1＝kx+2得，4＝﹣2k+6，
∴一次函数解析式为：y＝x+6．
（2）在一次函数y＝x+6中，令y＝3，
∴C（﹣6，0），3），
函数图象如图示：
（3）∵B（﹣2，4），6），
∴S△OBC＝＝12，
∴S△OCD＝2S△OCB＝7×12＝24，
设点D坐标为（m，m+6），
∴S△OCD＝×丨m+6丨＝24，
∴m+4＝±8，即m＝2或m＝﹣14．
∴D（2，8）或（﹣14．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，C（，0），同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE＝DF
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
解答：（1）证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，DC＝2t，
∴DF＝CD＝t．
又∵AE＝t，
∴AE＝DF．
（2）解：四边形AEFD能够成为菱形．
理由如下：
设AB＝x，
∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2x．
由勾股定理得，（2x）2﹣x2＝（2）2，
解得：x＝7，
∴AB＝5，AC＝10．
∴AD＝AC﹣DC＝10﹣2t．
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
若使四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即t＝10﹣4t，
解得：t＝．
即当t＝时，四边形AEFD为菱形．
（3）解：当t＝秒或4秒时，理由如下：
分情况讨论：
①当∠EDF＝90°时，AD＝4AE，
∴t＝．
②∠DEF＝90°时，AD＝，即10﹣2t＝t，
∴t＝4．
③∠EFD＝90°时，此种情况不存在．
故当t＝秒或4秒时．
26．（10分）如图1，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，G分别在边AB，BC上，CB＝3GB，连接EG．
（1）求证：△BEG是等边三角形；
（2）如图2，把△BEG沿BG翻折得到△BFG，连接FD，求FD的长；
（3）如图3，把△BEG绕点B顺时针旋转 120°得到△BNM，连接DM，连接 PC，PN，并给出证明．
解答：（1）证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∵AB＝3EB，CB＝8GB，
∴EB＝GB，
∴△BEG是等边三角形；
（2）解：如图2，过点F作FQ⊥DC的延长线于点Q，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠BCH＝∠ADC＝60°，
∵AB＝6，CB＝2GB，
∴BC＝CD＝6，EB＝2，
由翻折可知△BFG是等边三角形，
∴GF＝GB＝4，∠BGF＝∠BCH＝60°，
∴CG＝BC﹣BG＝6﹣2＝6，GF∥DH，
∵GH⊥CH，∠GCH＝60°，
∴CH＝CG＝4，
∴GH＝CH＝2，
∵FQ⊥CD，GH⊥DC，
∴∠GHQ＝∠FQH＝∠QFG＝90°，
∴四边形GFQH是矩形，
∴FQ＝GH＝2，GF＝QH＝7，
∴DQ＝DC+CH+QH＝6+2+7＝10，
∴FD＝＝＝6；
（3）PN＝PC
如图6，把△BEG绕点B顺时针旋转120°得到△BNM，连接CN，
∵P是DM的中点，
∴DP＝MP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AM∥CD，
∴∠CDP＝∠QMP，∠DCP＝∠MQP，
∴△CDP≌△QMP（ASA），
∴CP＝QP，CD＝QM，
∴CB＝QM，
由旋转可知△BMN是等边三角形，
∴BN＝MN，∠MBN＝∠BMN＝∠BNM＝60°，
∴∠CBN＝180°﹣∠ABC﹣∠MBN＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠CBN＝∠BMN＝60°，
∴△QMN≌△CBN（SAS），
∴QN＝CN，∠QNM＝∠CNB，
∴∠QNM﹣∠QNB＝∠CNB﹣∠QNB，
∴∠CNQ＝∠BNM＝60°，
∴△QNC是等边三角形，
∵CP＝QP，
∴∠CNP＝CNQ＝30°，
∴PN＝PC．