江西省赣州市瑞金市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份江西省赣州市瑞金市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．）
1. 下列各式是二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的识别，解题的关键是掌握二次根式的定义．根据二次根式的定义：形如，叫做二次根式，进行判断即可．
解：由二次根式的定义可知：四个选项只有是二次根式，是整数，不符合题意，的被开方数是负数，不符合题意，是次根式，不符合题意；
故选：C．
2. 下列函数中，是正比例函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正比例函数的识别，根据正比例函数的定义：（k为常数且，）判断即可．
解：A，不是正比例函数，不合题意；
B，不是正比例函数，不合题意；
C，是正比例函数，符合题意；
D，不是正比例函数，不合题意；
故选C．
3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（）
A. 7、8、10B. 3、4、5C. 2、3、4D. 5、10、12
【答案】B
【解析】
【分析】考查了勾股定理逆定理等知识点，能熟记定理的逆定理的内容是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理判断即可．
解：A、∵，
∴以7、8、10为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴以5、10、12为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 某市规定学生的学期体育成绩满分为60，期中成绩占，期末成绩占，小彤的两项成绩依次为50，60，小彤这学期的体育成绩为（）
A. 53B. 54C. 55D. 56
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键．根据加权平均数的计算方法，即可求出小彤这学期的体育成绩．
解：
（分），
∴小彤这学期的体育成绩为56分．
故选：D．
5. 关于函数，下列结论正确的是（）
A. 图象必经过点B. 图象经过第一、二、三象限
C. 图象与y轴交于D. y随x增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
根据一次函数的性质和题目中的函数解析式，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
解：，
∴时，，故选项A错误，不符合题意；
，，该函数的图象经过第一、二、四象限，故选项B错误，不符合题意；
时，，图象与y轴交于，故选项C正确，符合题意；
，则y随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
6. 如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为（）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出，由三角形中位线定理推出．
由平行四边形的性质推出，，，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，求出，由三角形中位线定理得到．
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
是中点，是中点，
是的中位线，
．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 甲、乙两名同学5次立定跳远成绩的平均值都是，，，这两名同学成绩比较稳定的是______．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的定义判断即可，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．
解：∵甲、乙两名同学5次立定跳远成绩的平均值都是，而，
∴甲同学成绩更稳定，
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了根据方差判断稳定性，熟练掌握方差的定义是解题的关键．
8. 计算：______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
先将被开方数化为，然后按照二次根式的性质化简即可．
解：，
故答案为：5．
9. 已知关于的一次函数经过点，的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．将点代入解析式即可求出的值．
解：关于的一次函数经过点，
，
解得：，
故答案为：．
10. 如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为_____．
【答案】
【解析】
分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据题意求得，进而根据，即可求解．
解：∵点表示的数为，，垂足为，且，
∴
∵
∴表示的数为
故答案为：．
11. 如图，菱形的对角线相交于点0，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为80，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，，，由直角三角形斜边上的中线性质得到，由菱形的面积得出，即可得出结果．
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵于点E，
∴
∴
∵菱形的面积为80，
∴
∴，
∴
故答案为：．
12. 如图，在矩形中，，，点，点分别在，上，，若为矩形边上一点，当为直角三角形时，斜边长为_____________
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．分三种情况讨论，利用矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理求解即可．
解：∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
显然点P与点B重合时，为直角三角形，
此时斜边长为；
当点E为顶点时，为直角三角形，如图，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴斜边长为；
当点F为顶点时，为直角三角形，如图，
∴，
过点P作于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，此时点P与点D重合，点G与点C重合，
∴，
∴斜边长为；
综上，斜边长为或或，
故答案为：或或．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确运用计算法则是正确解决本题的关键．
（1）先把各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先算乘法，再算加减．
【小问1】
解：原式
；
【小问2】
解：原式
．
14. 如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）_________，_________，_________；
（2）判断是直角吗？并说明理由．
【答案】（1），，
（2）直角，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理是解本题的关键；
（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明即可．
【小问1】
解：，，，
故答案为：，，；
小问2】
是直角，理由如下：
连接，
由图可知：，，，
，
．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE=DF．
【答案】（1）60°；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得∠BCD=2∠BCF=120°，利用平行四边形的性质即可解答；
（2）根据平行四边形的性质及角平分线即可证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质即可证明．
（1）∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD=2∠BCF=120°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCB，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=∠BAD，∠CDF=∠DCB，
∴∠BAE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟悉平行四边形的性质以及全等三角形的判定．
16. 如图，四边形为正方形，点在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．
（1）在图中，在上找一点F，使；
（2）在图中，在上找一点G，使．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接即可完成作图；
（2）连接即可完成作图．
【小问1】
解：如图1，即为所求
【小问2】
解：如图2，即为所求．
【点睛】本题考查几何作图，考查了正方形的对称性．掌握正方形的性质是关键．
17. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级：
八年级：
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
【答案】（1），，七年级
（2）人
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可．
本题考查中位数、众数和用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
【小问1】
解：把七年级名学生的测试成绩从小到大排序为：
，，，，，，，，，，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
八年级名学生的成绩中分的最多，
所以众数，
同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：，，七；
【小问2】
解：（人）
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为人．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：
（1）当时，求y关于x的函数关系式；
（2）若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键．
（1）设当时，y与x的函数关系式为，运用待定系数法就可以求出结论；
（2）将代入（1）的解析式就可以求出x的值．
【小问1】
解：由图象知，y与x的图象为一次函数，并且经过点，，
所以设y与x的关系式为，
则有：，
解得，，
∴
【小问2】
解：由题意，该乘客乘车里程超过了，
则，
解得．
答：这位乘客乘车的里程为．
19. 已知，矩形的对角线、相交于点．
（1）如图①，若，，求的长；
（2）如图②，，，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）根据矩形的性质可得，，根据勾股定理求出，即可求解；
（2）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得到，即可证明．
【小问1】
解：四边形是矩形，
，，
，，
，
；
【小问2】
证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形．
20. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）21.6米；
（2）应该往回收线8米．
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）勾股定理求出的长，再加上小明的身高即可；
（2）如图勾股定理求出此时的长，即可得出结果．
【小问1】
解：由勾股定理得，
（米），
（米）；
【小问2】
如图，由勾股定理得，
（米），
（米），
他应该往回收线8米．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 在数学兴趣小组活动中，小诚和他的同学遇到一道题：
已知，求的值他是这样解答的：
，
．
，．
．
．
请你根据小诚的解题过程，解决如下问题：
（1）______ ；
（2）化简；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据小诚的解答过程计算即可．
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可的结果．
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
【小问1】
；
【小问2】
原式
；
【小问3】
，
，
，即．
．
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，分母有理化，平方差公式，解题的关键是根据已知进行解答．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与x轴、y轴分别交于点，过点M的直线与x轴、y轴分别交于点．
（1）求点的坐标；
（2）若点B，O关于点D对称，求直线的解析式；
（3）若直线将的面积分为1：3两部分，直接写出k的值．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积．
（1）把点代入直线中，求得b的值，即得到直线的解析式，再分别令，，即可求得点A，B的坐标；
（2）根据点，关于点对称可得，采用待定系数法，将，代入直线即可求解；
（3）根据三角形的面积公式求得，连接，可求得，满足题意，此时直线过原点O，根据待定系数法求出k的值；当时，根据三角形面积公式可求出点C的坐标，进而可以待定系数法求出k的值．
【小问1】
解：将点代入直线得，，
解得：，
直线，
令，得，令，得，
点A的坐标为，点B的坐标为；
【小问2】
解：∵点，关于点对称，
∴点D是的中点，
∴点的坐标为，
将，代入，得
，解得，
直线的解析式为；
【小问3】
解：∵，，
∴．
连接，
则，
∴，
∴直线过原点O时，满足直线将的面积分成两部分，
将点，代入直线，得
，解得；
当时，
即，
，
点的坐标为，
将点，代入直线，得
，解得；
综上所述，或．
六、（本大题共12分）
23. 【课本再现】（1）如图1，在中，，分别是边，的中点，在证明“三角形两边中点的连线与第三边的关系”时，小明通过延长到点，使，连接，得到四边形，先判断四边形的形状，并证明．
【类比迁移】（2）在四边形中，为的中点，点、分别在、上，连接、、，且．
①如图2，若四边形是正方形，、、之间的数量关系为 ；
②如图3，若四边形是平行四边形，①中的结论是否成立，请说明理由．
【方法运用】（3）如图4，在四边形中，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．
【答案】（1）四边形是平行四边形，证明见解析；（2）①；②仍然成立，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先证明，得到，则，再证明，即可证明四边形是平行四边形；
（2）①如图2，延长，交于点，证明，得到，，再证明垂直平分，得到，即可证明；②如图3，延长、交于点，证明，得到，，再证明垂直平分，得到，即可证明；
（3）如图4，延长至点，使得，连接，，过点作，交的延长线于点，证明，得到，，求出，则，继而证明为等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理求出，同理可得．
是平行四边形，理由如下：
证明：，分别是边，的中点，
是的中位线，，
，，
，
∴，
，
是的中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）①，理由如下：
解：如图2，延长，交于点，
为中点，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，，
，
垂直平分，
，即；
故答案为：；
②①中结论仍然成立，理由如下：
解：如图3延长、交于点，
为中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
垂直平分，
，即；
（3）证明：如图4，延长至点，使得，连接，，过点作，交的延长线于点，
为中点，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质等等，熟知全等三角形的“倍长中线”模型是解题的关键．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
八年级
84
87
b