高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示教学设计，共10页。教案主要包含了问题导学，探究新知，典例解析，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程
直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.
本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面.
1.教学重点：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式
2.教学难点：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化
多媒体
通过复习回顾已经学习过的四种直线方程的表示形式，找出其其局限性，思考是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？学生探究“平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？”引导学生分类讨论，使学生对直线方程的一般式有了更深入的理解。通过小组合作自我探究，以及例题和练习题的讲解，深入理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线方程．本节课以学生为主体，围绕学生展开教学，在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的引路人。大部分内容都是安排学生讨论，并适当增加练习，使学生能更好地掌握直线方程，而不是仅停留在观念上。本课通过“创设情境，提出问题，激发兴趣→新知引入→新知探究→当堂反馈→归纳总结→课后作业”的过程从而完成教学目标。
课程目标
学科素养
A. 了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系；
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化；
3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.
1.数学抽象：一般式方程与二元一次方程的关系
2.逻辑推理：直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化
3.数学运算：运用直线的一般式方程解决有关问题
4.直观想象：直线与方程的关系
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、问题导学
问题：由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.
(1)斜率是1,经过点A(1,8);
(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;
(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);
(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.
(1)y-8=x-1;(2)x-7+y7=1;(3)y-69-6=x+12+1;(4)y=x+7.如果我们画出这4条
直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.
同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为
二、探究新知
1.直线的一般式方程
(1)．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的_____________；任何关于x，y的二元一次方程都表示________．方程_____________________________________叫做直线方程的一般式．
二元一次方程; 一条直线; Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)
(2)．直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
2.直线的一般式方程与其他形式的互化
1.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合.
答案:当A=0时,方程变为y=-CB,当C≠0时表示的直线平行于x轴,当C=0时与x轴重合;当B=0时,方程变为x=-CA,当C≠0时表示的直线平行于y轴,当C=0时与y轴重合.
2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ;
化为截距式为 .
解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-23x-13;
方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x-12+y-13=1.
答案:y=-23x-13; x-12+y-13=1
3.两条直线的位置关系
3.判断下列两组直线是否平行或垂直:
(1)x+2y-7=0; 2x+4y-7=0.
(2)4x-y+3=0, 3x+12y-11=0.
解:(1)∵1×4-2×2=0且2×(-7)-4×(-7)≠0,∴两直线平行.
(2)∵4×3+(-1)×12=0,∴两直线垂直.
三、典例解析
例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是3,且经过点A(5,3);
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
思路分析:先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.
解:(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=3(x-5),化为一般式方程为3x-y+3-53=0.
(2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,
化为一般式方程为4x-y-2=0.
(3)由两点式方程可知,
所求直线方程为y-5-1-5=x-(-1)2-(-1),
化为一般式方程为2x+y-3=0.
(4)由截距式方程可得,所求直线方程为x-3+y-1=1,化为一般式方程为x+3y+3=0.
直线的一般式方程的特征
求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.
跟踪训练1 根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.
(1)斜率是-12,经过点A(8,-2);
(2)经过点B(4,2),且平行于x轴;
(3)在x轴和y轴上的截距分别是32,-3;
(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).
解:(1)由点斜式方程,得y-(-2)=-12(x-8),即x+2y-4=0.
(2)由点斜式方程,得y-2=0.
(3)由截距式方程,得x32+y-3=1,即2x-y-3=0.
(4)由两点式方程,得y-(-2)-4-(-2)=x-35-3,即x+y-1=0.
【例2】 (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值;
(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值.
思路分析:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.
当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,
显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.
同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,
故m的值为2或-3.
(2)由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.
故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
延伸探究已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.
求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
解:(1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0,
又过点A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14.
所求直线方程为3x+4y-14=0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0,
又过点A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2,
所以直线方程为4x-3y-2=0.
1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
跟踪训练 2 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
思路分析:可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、垂直直线系方程,利用待定系数法求解.
解:(方法1)由题设l的方程可化为y=-34x+3,∴l的斜率为-34.
(1)∵直线l'与l平行,∴l'的斜率为-34.
又∵直线l'过(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0.
(2)由l'与l垂直,∴l'的斜率为43,
又过(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=43(x+1),即4x-3y+13=0.
(方法2)(1)由l'与l平行,可设l'方程为3x+4y+m=0.
将点(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直线方程为3x+4y-9=0.
(2)由l'与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.
∴所求直线方程为4x-3y+13=0.
金题典例 (1)设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为________．
(2)设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
①直线l的斜率为－1；
②直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.
解析：(1)[1，＋∞)
把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第三象限，该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a≤0，,a＋2≥0，))解得a≥1. 所以a的取值范围为[1，＋∞)．
(2)①因为直线l的斜率存在，
所以直线l的方程可化为y＝－eq \f(2,k－3)x＋2.由题意得－eq \f(2,k－3)＝－1，解得k＝5.
②直线l的方程可化为eq \f(x,k－3)＋eq \f(y,2)＝1.由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
变式探究：1.典例(1)中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？
[解] (1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不过第三象限，符合．
(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝eq \f(1,1－a)x－eq \f(2＋a,1－a)，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,1－a)≤0，,－\f(2＋a,1－a)≥0，))解得a＞1.
由(1)(2)可知a≥1.
2．若典例(1)中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？
[解] 把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零．即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a≥0，,a＋2≤0，))解得a≤－2.
直线恒过定点的求解策略
1将方程化为点斜式，求得定点的坐标.
2将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点.
通过求解4个条件下的直线方程，体会不同直线方程的适用条件，及时提出问题，让学生体会学习直线方程一般式的必要性。
理解直线一般式的方程特点，能进行直线方程间的互化。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，让学生加深对直线一般式的理解和应用。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。
通过典例解析，进一步灵活运用直线一般式，并能合理选择直线的方程形式，解决相关问题。
三、达标检测
1．思考辨析
(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )
(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．( )
(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )
(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× 当C＝0时，直线与y轴重合．
(4)× 当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．
2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )
解析:当a0时,直线ax-by=1在x轴上的截距1a0.只有B满足.故选B.
答案:B
3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y＝2＝0 D．x＋2y－1＝0
答案A
解析：设所求直线方程为x－2y＋c＝0，把点(1,0)代入可求得c＝－1.
所以所求直线方程为x－2y－1＝0.故选A.
4．已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a＝________.
答案：1或－3
解析：依题意得：a(a＋2)＝3×1，解得a＝1或a＝－3.
5．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
(1)求实数m的范围；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
解析： (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－3m＋2＝0，,m－2＝0，))解得m＝2，
若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠2.
(2)由－eq \f(m2－3m＋2,m－2)＝1，解得m＝0.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。