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2024年北师大版七年级数学暑期提升精讲 第01讲 生活中的立体图形（知识点+练习）
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【知识点1 立体图形的认识】
1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.
3.棱柱的有关概念及其特征:
①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形.
②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.
【知识点2 点、线、面、体的关系】
①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
②点动成线，线动成面，面动成体．
③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
考点一：几何体的识别
例1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列图形中属于棱柱的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】本题考查了棱柱的识别，知道棱柱的基本特征是解答本题的关键．
【详解】棱柱的定义是：有两个面相互相平行，其余各面都是四边形，并且每个相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面组成的几何体叫做棱柱．根据棱柱定义可得共有4个棱柱．
故选B．
【变式1-1】（2024·北京大兴·一模）下面几何体中，是圆锥的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了常见几何体的识别，观察所给几何体，可以直接得出答案．
【详解】解：A选项为正方体，不合题意；
B选项为球，不符合题意；
C选项为五棱锥，不合题意；
D选项为圆锥，符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（23-24七年级上·贵州安顺·期末）围成下列几何体的各个面中，含有曲的面的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】C
【分析】根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可．
本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体围成的面是平面还是曲面是解题的关键．
【详解】解：结合图形特征，得
球体是由曲面围成的，圆锥是由平面和曲面围成，四棱柱、正方体都是由平面围成的，
所以②③是含有曲的面的图形，
故选：C．
【变式1-3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列物体与其对应的立体图形连接起来：
【答案】见解析
【分析】根据立体图形的形体特征进行判断即可．
【详解】解： 圆柱体的笔筒对应圆柱体；冰激凌对应圆锥；正方体盒子对应正方体；足球对应球；长方体肥皂盒对应长方体；如图所示：
．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握各种几何体的形体特征是正确判断的前提．
考点二：立体图形的分类
例2.（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．
柱体：___________________________
锥体：___________________________
球体：___________________________（填序号）
【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③
【分析】柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案．
【详解】解：柱体为：①②⑤⑦⑧；
锥体为：④⑥；
球体为：③．
故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③．
【点睛】本题主要考查了柱体，锥体，球体，熟练掌握柱体，锥体，球体的特点是解题的关键．
【变式2-1】（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，下列几何体，是柱体的有 ，球体的有 ．（填序号）
【答案】 ①②⑥ ⑤
【分析】根据立体图形的特征即可得到答案．
【详解】解：柱体的有①②⑥；球体有⑤．
故答案为：①②⑥，⑤
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟知立体图形的特征并知道他们的名称是解题关键．
【变式2-2】下列是我们常见的几何体，按要求将其分类（只填写编号）．
(1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有______，锥体有______，球有______；
(2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有______，无曲面的有______．
【答案】(1)①②⑥；③④；⑤
(2)②③⑤；①④⑥
【分析】（1）根据立体图形的特点从柱体的形状特征考虑．
（2）根据面的形状特征考虑．
【详解】（1）解：∵（1）是四棱柱，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）是棱锥，（5）是球，（6）是三棱柱，
∴柱体有（1），（2），（6），锥体有（3），（4），球有（5），
故答案为：（1），（2），（6）；（3），（4）；（5）；
（2）∵（2）（3）（5）有曲面，其它几何体无曲面，
∴按“有无曲面”来分，有曲面的有（2），（3），（5），无曲面的有：（1），（4），（6），
故答案为：（2），（3），（5）；（1），（4），（6）．
【点睛】本题考查了认识立体图形，解决本题的关键是认识柱体的形状特征．
【变式2-3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）根据图回答问题：
(1)与图②具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么；
(2)其他图形中具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么．
【答案】(1)图⑤⑦与图②具有共同特征，共同特征是它们都是锥体（答案不唯一）
(2)图①③④⑥具有共同特征，共同特征是它们都是柱体（答案不唯一）
【分析】（1）由于图②、⑤、⑦都为锥体，所以它们具有共同特征；
（2）由于图①、③、④、⑥它们都是柱体，所以它们具有共同特征．
【详解】（1）解：图⑤、⑦与图②具有共同特征，共同特征是它们都是锥体（答案不唯一）；
（2）解：图①、③、④、⑥具有共同特征，共同特征是它们都是柱体（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了认识立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
考点三：几何体中的点、棱、面
例3.（23-24六年级上·山东烟台·期中）五棱柱是由 个面围成的，有 个顶点，共有 条棱．
【答案】 7
【分析】本题主要考查立体图形的认识，解答此题首先要理解五棱柱的概念和特性，柱体中，面与面相交成棱，棱与棱相交成顶点．根据五棱柱的概念和特性即可解．
【详解】解：五棱柱如图所示：
五棱柱是由7个面围成的，有个顶点，共有条棱．
故答案为：7；10；15．
【变式3-1】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）一个棱柱有12条棱，那么它的底面是 边形、共有 个顶点、 个面．
【答案】 四 8 6
【分析】
本题考查了棱柱的相关知识，解答关键是熟记一个n棱柱棱的条数与n的关系．
根据一个n棱柱有条棱，个顶点，个面，即可求解．
【详解】解：∵一个棱柱有12条棱，，
∴该棱柱为四棱柱，
∴底面是四边形，共个顶点，个面．
故答案为：四，8，6．
【变式3-2】（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）观察下列多面体，并把表格补充完整．
(1)完成表格中的数据；
(2)根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱；
(3)若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱．
【答案】(1)见解析
(2)16，28，42
(3)二十八
【分析】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法．
（1）通过认真观察图象，即可一一判断；
（2）根据面、顶点、棱的定义一一判断即可；
（3）根据棱柱的定义判定即可．
【详解】（1）解：填表如下：
（2）解：根据上表中的规律可得：棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱，
所以十四棱柱共有16个面，共有28个顶点，共有42条棱；
故答案为：16，28，42；
（3）解：若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱；
故答案为：二十八．
【变式3-3】（2023七年级上·全国·专题练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
四面体棱数是_；正八面体顶点数是_．
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
【答案】(1)6；6；
(2)12
(3)
【分析】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
（1）观察可得顶点数面数棱数；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为的值．
【详解】（1）解：四面体的棱数为6；
正八面体的顶点数为6；
关系式为：；
故答案为：6；6；；
（2）一个多面体的面数比顶点数小8，
，
，且，
，
解得；
故答案为：12；
（3）有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
共有条棱，
那么，
解得，
．
考点四：动态认识点、线、面、体
例4.（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（ ）
A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．两点确定一条直线
【答案】B
【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键．
【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面，
故选：B．
【变式4-1】（23-24七年级上·山东德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 （ ）
A．点；直线；点动成线B．点；线；点动成线C．线；面；线动成面D．线；面；面动成体
【答案】B
【分析】本题考查点动成线，根据点动成线直接判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线，
故选：B．
【变式4-2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不觉》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为 ．
【答案】点动成线
【分析】本题考查了点、线、面、体四者之间的关系，根据点线之间的关系即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：数学语言解释这一现象为点动成线，
故答案为：点动成线．
【变式4-3】（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了点动成线．三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，这说明了 ．
【答案】面动成体
【分析】此题主要考查了点、线、面、体，从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．根据面动成体可得答案．
【详解】解：三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，这说明了面动成体．
故答案为：面动成体．
考点五：平面图形旋转所得立体图形
例5.（23-24七年级上·陕西榆林·期中）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体．
(1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ；
(2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）
【答案】(1)圆柱，面动成体；
(2)得到的几何体的体积为或
【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体；
（1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱；
（2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解．
【详解】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体，
故答案为：圆柱，面动成体；
（2）①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱，
它的体积为：；
②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱，
它的体积为：；
综上：得到的几何体的体积为或．
【变式5-1】（2024·陕西渭南·二模）下列图形分别绕虚线旋转一周，得到的立体图形是圆锥的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了点、线、面、体，理解“点动成线”“线动成面”“面动成体”是解题的关键，根据选项逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 绕直线l旋转后得到的图形为一个球体；
B.选项中的图形旋转后为圆柱；
C.可得其旋转后的几何体为圆锥；
D.可知其绕直线l旋转后得到的图形为一个圆台；
故选C．
【变式5-2】（23-24七年级上·山东滨州·期末）请把下图中的平面图形与其绕所画直线旋转一周之后形成的立体图形用线连接起来．
【答案】见解析
【分析】本题考查了点线面体，熟记各种图形旋转得出的立体图形是解题关键．直角三角形绕直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥，长方形绕一边旋转一周得到的立体图形是圆柱，直角梯形绕如图所示的一边旋转一周得到的立体图形是圆台，半圆绕直径旋转一周得到的立体图形是球．
【详解】解：如图所示：
【变式5-3】（2024·陕西西安·二模）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为1.8m、高为3m的玻璃隔板组成．
(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是________，这能说明的事实是________（填字母）；
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体
(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留）
【答案】(1)圆柱；C
(2)
【分析】本题考查了圆柱的体积，平面图形旋转后形成的立方体，
（1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱；
（2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可．
【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形，
∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体．
故答案为：圆柱；C；
（2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，
体积为：．
故形成的几何体的体积是．
一、单选题
1．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下列物体的形状类似于圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查几何体的识别，解题的关键是熟知圆柱体的特点．
【详解】解：A是长方体，B是圆锥体，C是球体，D是圆柱体
故选D．
2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”，句中，雨“像细丝”说明（ ）
A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】本题考查了点、线、面、体的关系．根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答．
【详解】解：雨“像细丝”说明了：点动成线．
故选：A．
3．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）以为轴旋转一周后得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面图形的旋转，根据矩形绕着它的一条边旋转一周得到的几何体是圆柱，再结合题目中的四个选项即可得出答案，理解平面图形的旋转是解题的关键．
【详解】解：以为轴旋转一周后得到的立体图形是，
故选：．
4．（23-24六年级上·山东威海·期末）对于棱柱，下列说法错误的是（ ）
A．棱柱有个面
B．棱柱有个顶点
C．棱柱有条棱
D．若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面面积相等
【答案】A
【分析】本题考查几何体中的点、棱、面，根据棱柱的点、棱、面特点逐项判断即可．
【详解】解：A、棱柱有个面，此选项说法错误，符合题意；
B、棱柱有个顶点，此选项说法正确，不符合题意；
C、棱柱有条棱，此选项说法正确，不符合题意；
D、若直棱柱的底面边长都相等，则侧面是全等的长方形，故它的各个侧面面积相等，此选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
5．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）两条直角边长度分别为，的直角三角形，绕其中一条直角边所在直线旋转一周，得到立体图形的体积较大的是（锥体的体积公式：×底面积×高）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了平面图形的旋转，理解直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的几何体是圆锥是解决问题的关键．
当绕着边长为的直角边所在的直线旋转时，得到圆锥的底面半径为，圆锥的高为，据此可求出其体积；当绕着边长为的直角边所在的直线旋转时，得到圆锥的底面半径为，圆锥的高为，据此可求出其体积；然后比较它们的体积即可得出答案．
【详解】解：当绕着边长为的直角边所在的直线旋转时，得到圆锥的底面半径为，圆锥的高为，
此时该圆锥的体积为：；
当绕着边长为的直角边所在的直线旋转时，得到圆锥的底面半径为，圆锥的高为，
此时该圆锥的体积为：；
综上所述：体积较大的为．
故选：C．
二、填空题
6．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）八棱柱共有 个面， 条棱．
【答案】
【分析】一般棱柱有上下两个底面，八棱柱八个侧面，由此可以确定棱的条数，即可求解．
【详解】解：由题意得
一个八棱柱共有个面、条棱．
故答案为：、．
【点睛】本题主要考查了立体图形中棱柱的认识，理解棱柱的构成是解题的关键．
7．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）下列几何体中，棱柱有 个．
【答案】3
【分析】本题考查的是棱柱的概念与识图，棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，根据特征逐一分析四个选项从而可得答案．
【详解】解：棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，
根据特征可得从左向右数，第1、4、6个图形为棱柱，共3个，
故答案为：3．
8．（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段练习）直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一圆锥体，说明了 ．（点动成线、线动成面、面动成体）
【答案】面动成体
【分析】本题考查了点、线、面、体；
根据点动成线，线动成面，面动成体进行解答即可．
【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一圆锥体，说明了面动成体，
故答案为：面动成体．
9．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示的立体图形是由 个面组成的，其中有 个面是平的，有 个面是曲的．
【答案】 4 3 1
【分析】本题考查立体图形相关的概念，解题的关键是仔细观察已知图形，掌握相关概念．观察图形形状，即可得到答案．
【详解】解：立体图形是由4个面组成的，其中有3个平面，有1个曲面．
故答案为：4，3，1
10．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）一个长为，宽为的长方形，以其长所在直线为轴旋转一周，将会得到一个底面直径是 cm，体积为 的圆柱体（结果保留）．
【答案】 8
【分析】根据题干可得，这个长方形以长为轴旋转一周得到的是圆柱，其中长方形的宽就是圆底面的半径，长就是这个圆柱的高，结合圆柱的体积公式即可解决问题．
【详解】解：一个长为，宽为的长方形，以其长所在直线为轴旋转一周，将会得到一个圆柱，
底面直径，高为，
体积：，
故答案为：8，．
【点睛】本题考查圆柱，找出底面半径，利用体积公式进行计算是关键．
三、解答题
11．（21-22七年级·全国·假期作业）将如图几何体分类，并说明理由．
【答案】柱体：①正方体，②长方体，③圆柱体，⑥四棱柱，⑦三棱柱；锥体：④圆锥；球体：⑤球；见解析
【分析】根据立体图形的分类：柱体，锥体，球体，可得答案．
【详解】解：根据几何体的概念可得，柱体：①正方体，②长方体，③圆柱体，⑥四棱柱，⑦三棱柱；
锥体：④圆锥；
球体：⑤球．
【点睛】本题考查了认识立体图形，立体图形分为三大类：柱体，锥体，球体．
12．（23-24六年级上·山东烟台·期中）如图所示：如果将图中①～④的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到Ⅰ～Ⅴ几何体，请你把有对应关系的平面图形与几何体用线连接起来．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平面图形与立体图形的联系，培养学生的观察能力和空间想象能力．根据面动成体的原理解题即可得．
【详解】解：①半圆旋转得到球体，即几何体Ⅳ；②旋转得到几何体Ⅰ；③旋转得到几何体Ⅴ；④三角形旋转得到圆锥，即几何体Ⅲ．
用线连接起来如图所示：
．
13．（23-24六年级上·山东烟台·期中）将一个长方形分别沿它的长和宽所在的直线旋转一周，回答下列问题：
(1)旋转后将得到什么几何体？
(2)若长方形的长和宽分别为和，求旋转后两个几何体的体积．（结果保留π）
【答案】(1)圆柱
(2)、
【分析】（1）根据平面图形中矩形旋转一周可得到圆柱求解即可；
（2）根据绕长方形的长旋转一周得到圆柱的高为，圆柱底面半径为；绕长方形的宽旋转一周得到的圆柱的高为，底面半径为，分别利用圆柱的体积公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，旋转后将得到圆柱，
答：旋转后将得到的几何体是圆柱；
（2）解：由题意可得，绕长方形的长旋转一周得到圆柱的高为，圆柱底面半径为，
∴，
绕长方形的宽旋转一周得到的圆柱的高为，底面半径为，
∴,
答：旋转后两个几何体的体积分别为、．
14．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同．已知一个直角三角形，它的各边长如图所示．
(1)当三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周时，得到的是一个什么样的几何体__________.这个几何体的体积是________________.（结果保留，圆锥的体积）
(2)当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，你能求出得到的这个图形的体积吗？（结果保留）
【答案】(1)圆锥；
(2)
【分析】本题考查点、线、面、体，理解“面动成体”是正确解答的前提，掌握圆柱体、圆锥体体积的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据“面动成体”得出所得到的几何体的特征，再根据圆锥体积的计算方法进行计算即可；
（2）根据“面动成体”得出所得到的几何体的特征，再根据圆柱体、圆锥体积的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，
绕着长为的边所在直线旋转一周得到一个圆锥，其底面半径为，高为，
圆锥体积，
故答案为：圆锥；；
（2）解：三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的几何体，其中圆柱和圆锥的底面半径均为，高均为，得到的几何体的体积．
15．（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题：
(1)填空：
①正四面体的顶点数______，面数______，棱数______；
②正六面体的顶点数______，面数______，棱数______；
③正八面体的顶点数______，面数______，棱数______；
(2)若将多面体的顶点数用v表示，面数用f表示，棱数用e表示，则v，f，e之间的数量关系可用一个公式来表示：________
【答案】(1)①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12
(2)
【分析】本题考查的是多面体的定义，关键点在于：多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体图形；
（1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可；
（2）根据（1）中，多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得v，f，e之间的数量关系式；
【详解】（1）①正四面体的顶点数，面数，棱数；
②正六面体的顶点数，面数，棱数；
③正八面体的顶点数，面数，棱数；
故答案为：①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12；
（2）根据（1）中数据可得：
①
②
③
故v，f，e之间的数量关系是：
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类；
2．通过丰富的实例，进一步认识点、线、面，了解有关点、线及某些平面图形的一些简单性质；
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
顶点数a
6
10
12
棱数b
9
12
面数c
5
8
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
顶点数
6
8
10
12
棱数
9
12
15
18
面数
5
6
7
8
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
【知识点1 立体图形的认识】
1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.
3.棱柱的有关概念及其特征:
①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形.
②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.
【知识点2 点、线、面、体的关系】
①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
②点动成线，线动成面，面动成体．
③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
考点一：几何体的识别
例1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列图形中属于棱柱的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】本题考查了棱柱的识别，知道棱柱的基本特征是解答本题的关键．
【详解】棱柱的定义是：有两个面相互相平行，其余各面都是四边形，并且每个相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面组成的几何体叫做棱柱．根据棱柱定义可得共有4个棱柱．
故选B．
【变式1-1】（2024·北京大兴·一模）下面几何体中，是圆锥的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了常见几何体的识别，观察所给几何体，可以直接得出答案．
【详解】解：A选项为正方体，不合题意；
B选项为球，不符合题意；
C选项为五棱锥，不合题意；
D选项为圆锥，符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（23-24七年级上·贵州安顺·期末）围成下列几何体的各个面中，含有曲的面的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】C
【分析】根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可．
本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体围成的面是平面还是曲面是解题的关键．
【详解】解：结合图形特征，得
球体是由曲面围成的，圆锥是由平面和曲面围成，四棱柱、正方体都是由平面围成的，
所以②③是含有曲的面的图形，
故选：C．
【变式1-3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列物体与其对应的立体图形连接起来：
【答案】见解析
【分析】根据立体图形的形体特征进行判断即可．
【详解】解： 圆柱体的笔筒对应圆柱体；冰激凌对应圆锥；正方体盒子对应正方体；足球对应球；长方体肥皂盒对应长方体；如图所示：
．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握各种几何体的形体特征是正确判断的前提．
考点二：立体图形的分类
例2.（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．
柱体：___________________________
锥体：___________________________
球体：___________________________（填序号）
【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③
【分析】柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案．
【详解】解：柱体为：①②⑤⑦⑧；
锥体为：④⑥；
球体为：③．
故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③．
【点睛】本题主要考查了柱体，锥体，球体，熟练掌握柱体，锥体，球体的特点是解题的关键．
【变式2-1】（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，下列几何体，是柱体的有 ，球体的有 ．（填序号）
【答案】 ①②⑥ ⑤
【分析】根据立体图形的特征即可得到答案．
【详解】解：柱体的有①②⑥；球体有⑤．
故答案为：①②⑥，⑤
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟知立体图形的特征并知道他们的名称是解题关键．
【变式2-2】下列是我们常见的几何体，按要求将其分类（只填写编号）．
(1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有______，锥体有______，球有______；
(2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有______，无曲面的有______．
【答案】(1)①②⑥；③④；⑤
(2)②③⑤；①④⑥
【分析】（1）根据立体图形的特点从柱体的形状特征考虑．
（2）根据面的形状特征考虑．
【详解】（1）解：∵（1）是四棱柱，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）是棱锥，（5）是球，（6）是三棱柱，
∴柱体有（1），（2），（6），锥体有（3），（4），球有（5），
故答案为：（1），（2），（6）；（3），（4）；（5）；
（2）∵（2）（3）（5）有曲面，其它几何体无曲面，
∴按“有无曲面”来分，有曲面的有（2），（3），（5），无曲面的有：（1），（4），（6），
故答案为：（2），（3），（5）；（1），（4），（6）．
【点睛】本题考查了认识立体图形，解决本题的关键是认识柱体的形状特征．
【变式2-3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）根据图回答问题：
(1)与图②具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么；
(2)其他图形中具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么．
【答案】(1)图⑤⑦与图②具有共同特征，共同特征是它们都是锥体（答案不唯一）
(2)图①③④⑥具有共同特征，共同特征是它们都是柱体（答案不唯一）
【分析】（1）由于图②、⑤、⑦都为锥体，所以它们具有共同特征；
（2）由于图①、③、④、⑥它们都是柱体，所以它们具有共同特征．
【详解】（1）解：图⑤、⑦与图②具有共同特征，共同特征是它们都是锥体（答案不唯一）；
（2）解：图①、③、④、⑥具有共同特征，共同特征是它们都是柱体（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了认识立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
考点三：几何体中的点、棱、面
例3.（23-24六年级上·山东烟台·期中）五棱柱是由 个面围成的，有 个顶点，共有 条棱．
【答案】 7
【分析】本题主要考查立体图形的认识，解答此题首先要理解五棱柱的概念和特性，柱体中，面与面相交成棱，棱与棱相交成顶点．根据五棱柱的概念和特性即可解．
【详解】解：五棱柱如图所示：
五棱柱是由7个面围成的，有个顶点，共有条棱．
故答案为：7；10；15．
【变式3-1】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）一个棱柱有12条棱，那么它的底面是 边形、共有 个顶点、 个面．
【答案】 四 8 6
【分析】
本题考查了棱柱的相关知识，解答关键是熟记一个n棱柱棱的条数与n的关系．
根据一个n棱柱有条棱，个顶点，个面，即可求解．
【详解】解：∵一个棱柱有12条棱，，
∴该棱柱为四棱柱，
∴底面是四边形，共个顶点，个面．
故答案为：四，8，6．
【变式3-2】（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）观察下列多面体，并把表格补充完整．
(1)完成表格中的数据；
(2)根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱；
(3)若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱．
【答案】(1)见解析
(2)16，28，42
(3)二十八
【分析】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法．
（1）通过认真观察图象，即可一一判断；
（2）根据面、顶点、棱的定义一一判断即可；
（3）根据棱柱的定义判定即可．
【详解】（1）解：填表如下：
（2）解：根据上表中的规律可得：棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱，
所以十四棱柱共有16个面，共有28个顶点，共有42条棱；
故答案为：16，28，42；
（3）解：若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱；
故答案为：二十八．
【变式3-3】（2023七年级上·全国·专题练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
四面体棱数是_；正八面体顶点数是_．
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
【答案】(1)6；6；
(2)12
(3)
【分析】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
（1）观察可得顶点数面数棱数；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为的值．
【详解】（1）解：四面体的棱数为6；
正八面体的顶点数为6；
关系式为：；
故答案为：6；6；；
（2）一个多面体的面数比顶点数小8，
，
，且，
，
解得；
故答案为：12；
（3）有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
共有条棱，
那么，
解得，
．
考点四：动态认识点、线、面、体
例4.（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（ ）
A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．两点确定一条直线
【答案】B
【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键．
【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面，
故选：B．
【变式4-1】（23-24七年级上·山东德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 （ ）
A．点；直线；点动成线B．点；线；点动成线C．线；面；线动成面D．线；面；面动成体
【答案】B
【分析】本题考查点动成线，根据点动成线直接判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线，
故选：B．
【变式4-2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不觉》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为 ．
【答案】点动成线
【分析】本题考查了点、线、面、体四者之间的关系，根据点线之间的关系即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：数学语言解释这一现象为点动成线，
故答案为：点动成线．
【变式4-3】（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了点动成线．三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，这说明了 ．
【答案】面动成体
【分析】此题主要考查了点、线、面、体，从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．根据面动成体可得答案．
【详解】解：三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，这说明了面动成体．
故答案为：面动成体．
考点五：平面图形旋转所得立体图形
例5.（23-24七年级上·陕西榆林·期中）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体．
(1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ；
(2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）
【答案】(1)圆柱，面动成体；
(2)得到的几何体的体积为或
【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体；
（1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱；
（2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解．
【详解】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体，
故答案为：圆柱，面动成体；
（2）①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱，
它的体积为：；
②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱，
它的体积为：；
综上：得到的几何体的体积为或．
【变式5-1】（2024·陕西渭南·二模）下列图形分别绕虚线旋转一周，得到的立体图形是圆锥的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了点、线、面、体，理解“点动成线”“线动成面”“面动成体”是解题的关键，根据选项逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 绕直线l旋转后得到的图形为一个球体；
B.选项中的图形旋转后为圆柱；
C.可得其旋转后的几何体为圆锥；
D.可知其绕直线l旋转后得到的图形为一个圆台；
故选C．
【变式5-2】（23-24七年级上·山东滨州·期末）请把下图中的平面图形与其绕所画直线旋转一周之后形成的立体图形用线连接起来．
【答案】见解析
【分析】本题考查了点线面体，熟记各种图形旋转得出的立体图形是解题关键．直角三角形绕直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥，长方形绕一边旋转一周得到的立体图形是圆柱，直角梯形绕如图所示的一边旋转一周得到的立体图形是圆台，半圆绕直径旋转一周得到的立体图形是球．
【详解】解：如图所示：
【变式5-3】（2024·陕西西安·二模）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为1.8m、高为3m的玻璃隔板组成．
(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是________，这能说明的事实是________（填字母）；
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体
(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留）
【答案】(1)圆柱；C
(2)
【分析】本题考查了圆柱的体积，平面图形旋转后形成的立方体，
（1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱；
（2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可．
【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形，
∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体．
故答案为：圆柱；C；
（2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，
体积为：．
故形成的几何体的体积是．
一、单选题
1．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下列物体的形状类似于圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查几何体的识别，解题的关键是熟知圆柱体的特点．
【详解】解：A是长方体，B是圆锥体，C是球体，D是圆柱体
故选D．
2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”，句中，雨“像细丝”说明（ ）
A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】本题考查了点、线、面、体的关系．根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答．
【详解】解：雨“像细丝”说明了：点动成线．
故选：A．
3．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）以为轴旋转一周后得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面图形的旋转，根据矩形绕着它的一条边旋转一周得到的几何体是圆柱，再结合题目中的四个选项即可得出答案，理解平面图形的旋转是解题的关键．
【详解】解：以为轴旋转一周后得到的立体图形是，
故选：．
4．（23-24六年级上·山东威海·期末）对于棱柱，下列说法错误的是（ ）
A．棱柱有个面
B．棱柱有个顶点
C．棱柱有条棱
D．若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面面积相等
【答案】A
【分析】本题考查几何体中的点、棱、面，根据棱柱的点、棱、面特点逐项判断即可．
【详解】解：A、棱柱有个面，此选项说法错误，符合题意；
B、棱柱有个顶点，此选项说法正确，不符合题意；
C、棱柱有条棱，此选项说法正确，不符合题意；
D、若直棱柱的底面边长都相等，则侧面是全等的长方形，故它的各个侧面面积相等，此选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
5．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）两条直角边长度分别为，的直角三角形，绕其中一条直角边所在直线旋转一周，得到立体图形的体积较大的是（锥体的体积公式：×底面积×高）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了平面图形的旋转，理解直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的几何体是圆锥是解决问题的关键．
当绕着边长为的直角边所在的直线旋转时，得到圆锥的底面半径为，圆锥的高为，据此可求出其体积；当绕着边长为的直角边所在的直线旋转时，得到圆锥的底面半径为，圆锥的高为，据此可求出其体积；然后比较它们的体积即可得出答案．
【详解】解：当绕着边长为的直角边所在的直线旋转时，得到圆锥的底面半径为，圆锥的高为，
此时该圆锥的体积为：；
当绕着边长为的直角边所在的直线旋转时，得到圆锥的底面半径为，圆锥的高为，
此时该圆锥的体积为：；
综上所述：体积较大的为．
故选：C．
二、填空题
6．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）八棱柱共有 个面， 条棱．
【答案】
【分析】一般棱柱有上下两个底面，八棱柱八个侧面，由此可以确定棱的条数，即可求解．
【详解】解：由题意得
一个八棱柱共有个面、条棱．
故答案为：、．
【点睛】本题主要考查了立体图形中棱柱的认识，理解棱柱的构成是解题的关键．
7．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）下列几何体中，棱柱有 个．
【答案】3
【分析】本题考查的是棱柱的概念与识图，棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，根据特征逐一分析四个选项从而可得答案．
【详解】解：棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，
根据特征可得从左向右数，第1、4、6个图形为棱柱，共3个，
故答案为：3．
8．（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段练习）直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一圆锥体，说明了 ．（点动成线、线动成面、面动成体）
【答案】面动成体
【分析】本题考查了点、线、面、体；
根据点动成线，线动成面，面动成体进行解答即可．
【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一圆锥体，说明了面动成体，
故答案为：面动成体．
9．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示的立体图形是由 个面组成的，其中有 个面是平的，有 个面是曲的．
【答案】 4 3 1
【分析】本题考查立体图形相关的概念，解题的关键是仔细观察已知图形，掌握相关概念．观察图形形状，即可得到答案．
【详解】解：立体图形是由4个面组成的，其中有3个平面，有1个曲面．
故答案为：4，3，1
10．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）一个长为，宽为的长方形，以其长所在直线为轴旋转一周，将会得到一个底面直径是 cm，体积为 的圆柱体（结果保留）．
【答案】 8
【分析】根据题干可得，这个长方形以长为轴旋转一周得到的是圆柱，其中长方形的宽就是圆底面的半径，长就是这个圆柱的高，结合圆柱的体积公式即可解决问题．
【详解】解：一个长为，宽为的长方形，以其长所在直线为轴旋转一周，将会得到一个圆柱，
底面直径，高为，
体积：，
故答案为：8，．
【点睛】本题考查圆柱，找出底面半径，利用体积公式进行计算是关键．
三、解答题
11．（21-22七年级·全国·假期作业）将如图几何体分类，并说明理由．
【答案】柱体：①正方体，②长方体，③圆柱体，⑥四棱柱，⑦三棱柱；锥体：④圆锥；球体：⑤球；见解析
【分析】根据立体图形的分类：柱体，锥体，球体，可得答案．
【详解】解：根据几何体的概念可得，柱体：①正方体，②长方体，③圆柱体，⑥四棱柱，⑦三棱柱；
锥体：④圆锥；
球体：⑤球．
【点睛】本题考查了认识立体图形，立体图形分为三大类：柱体，锥体，球体．
12．（23-24六年级上·山东烟台·期中）如图所示：如果将图中①～④的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到Ⅰ～Ⅴ几何体，请你把有对应关系的平面图形与几何体用线连接起来．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平面图形与立体图形的联系，培养学生的观察能力和空间想象能力．根据面动成体的原理解题即可得．
【详解】解：①半圆旋转得到球体，即几何体Ⅳ；②旋转得到几何体Ⅰ；③旋转得到几何体Ⅴ；④三角形旋转得到圆锥，即几何体Ⅲ．
用线连接起来如图所示：
．
13．（23-24六年级上·山东烟台·期中）将一个长方形分别沿它的长和宽所在的直线旋转一周，回答下列问题：
(1)旋转后将得到什么几何体？
(2)若长方形的长和宽分别为和，求旋转后两个几何体的体积．（结果保留π）
【答案】(1)圆柱
(2)、
【分析】（1）根据平面图形中矩形旋转一周可得到圆柱求解即可；
（2）根据绕长方形的长旋转一周得到圆柱的高为，圆柱底面半径为；绕长方形的宽旋转一周得到的圆柱的高为，底面半径为，分别利用圆柱的体积公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，旋转后将得到圆柱，
答：旋转后将得到的几何体是圆柱；
（2）解：由题意可得，绕长方形的长旋转一周得到圆柱的高为，圆柱底面半径为，
∴，
绕长方形的宽旋转一周得到的圆柱的高为，底面半径为，
∴,
答：旋转后两个几何体的体积分别为、．
14．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同．已知一个直角三角形，它的各边长如图所示．
(1)当三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周时，得到的是一个什么样的几何体__________.这个几何体的体积是________________.（结果保留，圆锥的体积）
(2)当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，你能求出得到的这个图形的体积吗？（结果保留）
【答案】(1)圆锥；
(2)
【分析】本题考查点、线、面、体，理解“面动成体”是正确解答的前提，掌握圆柱体、圆锥体体积的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据“面动成体”得出所得到的几何体的特征，再根据圆锥体积的计算方法进行计算即可；
（2）根据“面动成体”得出所得到的几何体的特征，再根据圆柱体、圆锥体积的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，
绕着长为的边所在直线旋转一周得到一个圆锥，其底面半径为，高为，
圆锥体积，
故答案为：圆锥；；
（2）解：三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的几何体，其中圆柱和圆锥的底面半径均为，高均为，得到的几何体的体积．
15．（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题：
(1)填空：
①正四面体的顶点数______，面数______，棱数______；
②正六面体的顶点数______，面数______，棱数______；
③正八面体的顶点数______，面数______，棱数______；
(2)若将多面体的顶点数用v表示，面数用f表示，棱数用e表示，则v，f，e之间的数量关系可用一个公式来表示：________
【答案】(1)①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12
(2)
【分析】本题考查的是多面体的定义，关键点在于：多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体图形；
（1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可；
（2）根据（1）中，多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得v，f，e之间的数量关系式；
【详解】（1）①正四面体的顶点数，面数，棱数；
②正六面体的顶点数，面数，棱数；
③正八面体的顶点数，面数，棱数；
故答案为：①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12；
（2）根据（1）中数据可得：
①
②
③
故v，f，e之间的数量关系是：
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类；
2．通过丰富的实例，进一步认识点、线、面，了解有关点、线及某些平面图形的一些简单性质；
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
顶点数a
6
10
12
棱数b
9
12
面数c
5
8
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
顶点数
6
8
10
12
棱数
9
12
15
18
面数
5
6
7
8
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
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