2024年北师大版七年级数学暑期提升精讲 第10讲 解题技巧专题：运算易错与化简绝对值（知识点+练习）

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【题型一 有理数中乘除混合运算易错】
例1．（2024·辽宁鞍山·一模）计算： ．
【变式1-1】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ．
【变式1-2】（23-24六年级下·上海·期中）计算：．
【变式1-3】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：．
【题型二 含乘方的有理数混合运算】
例2.（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算：．
【变式2-1】（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算：；
【变式2-2】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算：
(1)． (2)．
【变式2-3】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：
(1) (2)
(3) (4)
【题型三 有理数的混合运算中的新定义型问题】
例3. （23-24七年级上·陕西西安·期中）用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：．
(1)求的值；
(2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求．
【变式3-1】（23-24七年级上·湖北随州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如：
(1)计算：的值；
(2)计算：的值．
【变式3-2】（22-23七年级上·江苏镇江·期中）我们定义一种新运算：，例如：．
(1)求；
(2)求．
【变式3-3】（23-24七年级上·福建龙岩·期中）若定义一种新的运算“*”，规定：，如．
(1)求的值；
(2)通过计算说明与的值是否相等?
【题型四 根据点在数轴的位置化简绝对值】
例4. ：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图：
(1)比较a﹣b与a+b的大小；
(2)化简|b﹣a|+|a+b|．
【变式4-1】已知有理数在数轴上的位置如图所示：
（1）判断正负，用“>”、“<”或“=”填空：, ,
（2）化简：.
【变式4-2】已知有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|
（1）在数轴上标出数a，﹣a，b，﹣b，并用“＜”号连接这四个数．
（2）化简：|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|
【变式4-3】问题一：如图，试化简：．
问题二：表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，
（1）比较的大小关系
（2）化简：．
【题型五 利用分类讨论数学思想化简绝对值】
例5. （2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．
【变式5-1】（2023秋·七年级单元测试）若，则 ．
【变式5-2】（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）已知、，那么＝
【变式5-3】（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若， ；若， ；
（2）若，则＝ ；
（3）若，则 ．
【题型六 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值】
例6.（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是 ，若，那么x为 ；
(3)利用数轴，求的最小值 ；
(4)当x是 时，代数式；
【变式6-1】（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与，与．并回答下列各题：
(1)数轴上表示4和两点间的距离是______；表示和两点间的距离是______．
(2)若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为．
①数轴上A、B两点间的距离可以表示为______（用含x的代数式表示）；
②如果数轴上A、B两点间的距离为，求x的值．
(3)直接写出代数式的最小值为______．
【变式6-2】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)若，则 ；
(2)若，则 ；
(3)式子的最小值为 ；
(4)若，则 ；
(5)式子的最小值为 ，此时 ．
【变式6-3】（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）：
数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；
①数轴上表示数3和的两点距离为 ；
②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离．
（2）实际应用（填空）：
①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小；
②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小；
③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小．
（3）结论应用（填空）；
①代数式的最小值是 ；
②代数式的最小值是 ；
③代数式的最小值是 ．
一、单选题
1．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25七年级上·全国·假期作业）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（ ）
A．或3B．或3C．1或3D．或
二、填空题
5．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）计算： ．
6．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ．
7．（23-24七年级上·山东济宁·期末）实数，在数轴上的位置如图，则 ．
8．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ；
①若，则 ；
②若，则 ．
三、解答题
9．（23-24七年级上·吉林长春·期末）计算：．
10．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）计算：
(1)； (2)．
11．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图：
(1)判断正负，用“”或“”填空：______0，_____0，____0．
(2)化简：．
12．（23-24六年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5上3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．探究：
(1)表示数轴上4与______所对应的两点之间的距离；
(2)表示数轴上有理数所对应的点到______所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到______所对应的点之间的距离；
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得，则这样的整数有______个；
(4)利用绝对值的几何意义，可以知道的最小值是______．
13．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______．
(2)已知，，是有理数，，，求的值．
(3)已知，，是有理数，当时，求的值．