2024年北师大版七年级数学暑期提升精讲 第15讲 解题技巧专题：化简求值与含字母参数的问题（知识点+练习）

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【题型一 整式加减中含括号及括号前有系数】
例1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）化简：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的加减计算：
（1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1-1】（23-24七年级上·湖北孝感·期中）化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键，注意去括号时，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
（1）根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项进行计算即可；
（2）根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项进行计算即可
【详解】（1）解：
．
（2）
．
【变式1-2】（23-24七年级上·天津·期中）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】本题考查整式的化简，掌握去括号时，括号前是负号，括号内各项变号；括号前是正号，括号内各项不变号是解题的关键
（1）先去括号，再合并同类项即可得到答案；
（2）先去括号，再合并同类项即可得到答案；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式1-3】（23-24六年级上·山东青岛·期末）化简
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
，
（2）解：原式
【题型二 整式加减中的化简求值】
例2.（23-24七年级上·天津宁河·期中）先化简，再求值：
(1)，其中
(2)，其中，
【答案】(1)；
(2)；4
【分析】此题考查了整式的加减混合运算，
（1）先去括号，再合并同类项，然后代数求解即可；
（2）先去括号，再合并同类项，然后代数求解即可．
熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键．
【详解】（1）
；
当时，原式 ；
（2）
当，时，原式．
【变式2-1】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先将原式化简后再代入已知数值计算即可．
【详解】解：


当，时，
原式

【变式2-2】（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；；（2）；69
【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．
（1）先去括号，然后根据整式的加减进行求解，最后代值求解即可；
（2）先去括号，然后进行整式的加减运算，最后代值求解即可．
【详解】（1）原式
把代入得；
（2）原式
把代入得：
【变式2-3】（23-24七年级上·湖北随州·期末）先化简，再求值．
(1)，其中，满足，；
(2)，其中，．
【答案】(1)11
(2)
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键．
（1）先根据整式的加减运算法则化简，然后将、代入计算即可；
（2）先根据整式的加减运算法则化简，然后将、代入计算即可．
【详解】（1）解：
；
当，时，原式．
（2）解：
；
当，时，原式．
【题型三 已知同类项求指数中字母或代数式的值】
例3. （2023秋·广西崇左·七年级统考期末）若与是同类项，则 .
【答案】
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，求出的值，从而得解．
【详解】由题意，得
，．
解得．
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．
【变式3-1】（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）若单项式与是同类项，则的值是 ．
【答案】8
【分析】根据同类项中相同字母的指数相等可以直接得到m，n的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了同类项．掌握所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项是同类项是解题关键．
【变式3-2】（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）已知单项式与是同类项，则代数式的值是 ．
【答案】2023
【分析】根据同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，求得，再整体代入计算即可．
【详解】解：根据同类项的定义得：，，
即，
∴．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了同类项的定义，代数式的求值，掌握同类项的定义是解题的关键，即：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【变式3-3】（2023秋·七年级课时练习）已知与是同类项，求代数式的值．
【答案】0
【分析】先根据同类项的定义得到关于m，n的方程组，求解方程组后代入代数式即可解答．
【详解】∵与是同类项，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查同类项的定义，解二元一次方程组，正确理解同类项的定义得到方程组是解题的关键．
【题型四 整式加减运算中不含某一项的问题】
例4. （2023秋·云南红河·七年级统考期末）若多项式（m为常数）不含项，则 ．
【答案】6
【分析】先将多项式合并同类项，然后令系数为零得到关于m的方程求解即可．
【详解】解：∵为常数不含项，
∴，
解得：．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了整式加减的无关性问题，掌握不含哪项、则哪项的系数为零是解题关键．
【变式4-1】（2023秋·辽宁铁岭·七年级校考期末）若关于a，b的多项式中不含有项，则 ．
【答案】6
【分析】去括号合并同类项根据不含项令其系数为0即可得到答案．
【详解】解：原式
，
∵多项式中不含有项，
∴，
，
故答案为6．
【点睛】本题考查去括号，合并同类项，多项式不含某项求待定系数问题，解题的关键是熟练掌握多项式不含某项，某项系数为0．
【变式4-2】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知多项式不含和的项，试写出这个多项式，再求当时该多项式的值．
【答案】多项式为，4
【分析】根据题意可知，求出m和n的值，然后将代入计算即可．
【详解】∵多项式不含和的项，
∴，
∴，
∴多项式为，
当时，多项式为．
【点睛】本题考查了多项式中的无关项，解题的关键是理解题意，确定m，n的值．
【变式4-3】（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）已知关于的多项式，，其中，（，为有理数）．
(1)化简；
(2)若的结果不含项和项，求、的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据整式的减法法则计算即可；
（2）根据结果不含项和项可知其系数为0，然后列式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
∵的结果不含项和项，
∴，，
解得，．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，关键是注意去括号时符号的变化情况．
【题型五 整式加减运算中取值与字母无关的问题】
例5. （2023秋·四川眉山·七年级统考期末）已知：，．
(1)计算的表达式；
(2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出式子，再去括号合并同类项即可得到答案；
（2）先去括号，再合并同类项进行化简，再根据“代数式的值与字母的取值无关”可求出的值，从而得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
代数式的值与字母的取值无关，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了整式的加减—去括号、合并同类项，整式的加减中的无关型问题，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·四川广安·九年级四川省广安代市中学校校考阶段练习）的值与x的取值无关，则的值为（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】B
【分析】先根据整式的加减：合并同类项进行化简，再根据整式的值与x的取值无关列出等式，求出a、b的值，从而即可得出答案．
【详解】解：
，
∵的值与x的取值无关，
∴，
解得：
则，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值、及无关型问题，掌握整式的加减法则，准确计算，是解题关键．
【变式5-2】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知，．
(1)求；
(2)若多项式的值与字母x的取值无关，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据，然后进行计算即可；
（2）先算出的值，然后令含x的项的系数为0即可．
【详解】（1）因为，
所以．
（2）
．
因为多项式的值域字母x的取值无关，
所以，
所以．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【变式5-3】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知代数式的值与字母的取值无关．
(1)求出、的值．
(2)若，，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后根据代数式的值与字母的取值无关得出关于和的方程，求解即可．
（2）将化简，再将与所表示的多项式代入计算，最后再将和的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
代数式的值与字母的取值无关，
，，
，．
（2），，
，
，，
原式．
【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．
【题型六 整式加减中的新定义型问题】
例6.（23-24七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）年月日，神舟十五号载人飞船成功返回地球，结合这么具有纪念意义的历史时刻，王老师给出一个新定义：、的两个整式，如果，那么叫做的“神舟式”．
(1)若，，当时，求、的值，请你判断此时是否为的“神舟式”，并说明理由；
(2)若，是的“神舟式”，求整式．
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)．
【分析】（）将，代入代数式求值，根据神舟式的定义，进行判断即可；
（）利用神舟式的定义，列式计算即可；
本题考查有理数的四则运算和整式的加减运算，熟练掌握运算法则及理解“神舟式”的定义是解题的关键．
【详解】（1）是的“神州式”，
理由：当时，，，
所以，
所以是的“神州式”；
（2）因为是“神州式”，所以，
所以，
，
．
【变式6-1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式．回答下列问题：
(1)关于的二次多项式的特征系数对为______；
(2)求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的和．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查多项式，整式的加减运算，掌握题干中给定的定义，是解题的关键．
（1）根据特征系数对的定义，进行求解即可；
（2）先根据题意写出多项式，再进行整式的加法运算即可．
【详解】（1）解：由题意，得二次多项式的特征系数对为；
故答案为：；
（2）由题意，得：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为，
∴．
【变式6-2】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数．
(1)2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）；
(2)若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由；
(3)若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值．
【答案】(1)
(2)是，理由见解析
(3)
【分析】本题考查有理数运算，代数式表示，整式运算．
（1）根据题意列式即可得到本题答案；
（2）根据题意列式并计算即可得到本题答案；
（3）根据题意列式并计算即可得到本题答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，，
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴a与b是关于3的友好数；
（3）解：∵，，且c与d是关于3的友好数，
∴，即：，
∴，
∵x为正整数，
∴，；，；，；，；，；
，；，；，；，．．．
∴非负整数的值为：．
【变式6-3】（23-24七年级上·山东济宁·期末）阅读下面材料
定义：在数轴上，如果两个点所表示数的和等于2，那么我们就叫做这两个点关于表示1的点对称．若点表示的数是，点表示的数是，则点与点关于表示1的点对称．
例如：，表示的点与表示5的点关于表示1的点对称．
根据上面材料的信息，解答下列问题：
(1)填空：表示18的点与表示________的点关于表示1的点对称；
(2)若点表示的数是，点表示的数是，判断点与点是否关于表示1的点对称，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是，理由见解析
【分析】本题考查了数轴，整式的加减运算．
（1）根据“若点表示的数是，点表示的数是，，则点与点关于表示1的点对称”，代入计算即可；
（2）将代数式、相加，若值为2，则点与点是关于表示1的点对称即可．
【详解】（1）解：根据“关于表示1的点对称”的定义，
，
表示18的点与表示的点关于表示1的点对称；
故答案为：；
（2）解：根据题意得：
，
点与点是关于表示1的点对称．
【题型七 整式加减应用中图形面积与字母无关的问题】
例7.（2023春·浙江·七年级期中）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，
即原式，所以，则．
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值；
(2)已知，；且的值与x无关，求y的值；
(3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先展开，再将含x的项合并，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答；
（2）先计算可得到，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答；
（3）设，由图可知，，则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与的值无关，即有，则问题得解．
【详解】（1），
∵关于的多项式的值与的取值无关，
∴，
解得；
（2）∵，，
∴
，
∵的值与无关，
∴，
解得；
（3）解：设，
由图可知，，则
∵当的长变化时，的值始终保持不变，
∴的值与的值无关，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．
【变式6-1】（2023秋·河北保定·七年级校考期末）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则．
(1)若多项式的值与x的取值无关，求a值；
(2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分)，设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题意求解即可；
（2）设，分别求出，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
∵多项式的值与x的取值无关，
∴，
∴；
（2）解：设，
由题意得，，
∴
，
∵的值与x无关，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键．

一、解答题
1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减混合运算：
（1）根据整式的加减混合运算法则进行去括号，合并同类项即可得解；
（2）根据整式的加减混合运算法则进行去括号，合并同类项即可得解．
熟练掌握整式加减的运算法则，去括号法则等方法是解决本题的关键．
【详解】（1）解：原式
．
（2）原式
．
2．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
3．（2024·四川广元·二模）先化简再求值： ，其 中 x，y 满 足
【答案】，
【分析】题目主要考查整式的化简求值及绝对值及平方的非负性，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
先去括号，然后合并同类项即可；再由绝对值及平方的非负性确定，，代入求解即可．
【详解】解：
=
=，
∵，且，，
∴，
∴，，
原式=．
4．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）先化简，再求值：
(1)，其中．
(2)已知与是同类项，求的值．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查整式的化简求值及同类项，
（1）将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可；
（2）将原式化简，再根据同类项的定义求得，的值，然后将其代入化简结果中计算即可；
熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
当时，
原式；
（2）
，
∵与是同类项，
∴，，
∴，，
原式．
5．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知代数式，，．
(1)当时，求代数式M的值．
(2)若代数式的值与字母x的取值无关，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式加减运算，非负数的性质，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先计算出代数式的值，再求出x、y的值，代入求解即可．
（2）先将变形为，根据的值与字母x的取值无关，让，的系数为0，求出a、b的值，再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
，
∵，
∴，，
解得，，
将，代入原式，得：
．
（2）解：
，
∵代数式的值与字母x的取值无关，
∴，，
∴，，
∴．
6．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数．
(1)填空：2与_______是关于的平均数，______与是关于2的平均数；
(2)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题：
（1）根据所给的定义列式计算即可；
（2）先根据整式的加减计算法则求出，再根据a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，得到，则，再由，即可求出答案．
【详解】（1）解：设2与m是关于的平均数，
∴，
∴；
设n与是关于2的平均数，
∴，
∴；
故答案为：；；
（2）解：∵与，
∴
，
∵a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）回答下列各题．
(1)先化简，再求值：，其中，．
(2)已知，．
①计算；
②如果的值与y的取值无关，求此时x的值．
【答案】(1)，22
(2)①；②
【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先去括号合并同类项，再把，代入计算即可；
（2）①把A，B的值代入，去括号合并同类项；
②合并关于y的同类项，令y的系数等于0即可求出x的值．
【详解】（1）
，
当，时，
原式；
（2）①∵，，
∴
；
②，
∵的值与y的取值无关，
∴，
∴．
8．（23-24七年级上·福建厦门·期末）电影《人在囧途》2010年上映之后，“囧”就成了当年的网络流行语，像一个人脸郁闷的神情．如图所示，一张边长为的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为．
(1)用含x，y的代数式表示图中“囧”的面积S；并求出当时“囧”的面积；
(2)当“囧”的面积记为S，正方形的边长为a，若代数式的值与x，y无关，求此时b的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值，整式加减运算，列代数式是解题的关键．
（1）用正方形面积减去两个直角三角形的面积，减去一个长方形的面积，即得图中“囧”的面积S；再把代入所得代数式中即可求值；
（2）用正方形面积减去两个直角三角形的面积，减去一个长方形的面积，即得图中“囧”的面积S；再化简代数式，并把S的表达式代入，根据题意即可完成．
【详解】（1）解：；
当时，；
（2）解：，
又，
∴；
∵的值与x，y无关，
即的值与x，y无关，
∴，
解得：．
9．（23-24七年级上·福建泉州·期末）阅读理解：已知；若值与字母的取值无关，则，解得．
当时，值与字母的取值无关．
知识应用：
（1）已知．
①用含的式子表示；
②若的值与字母的取值无关，求的值；
知识拓展：
（2）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为．购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，求的值．
【答案】（1）①②10（2）20
【分析】（1）①把A与B代入中，去括号合并即可得到结果；
②把①的化简结果变形后，根据的值与字母m的取值无关，确定出x的值即可；
（2）根据甲乙两种羽绒服总数表示出乙种羽绒服的件数，根据进价×利润率＝售价−进价＝利润，根据获得的利润相同求出a的值即可．
此题考查了整式的加减−化简求值，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．
【详解】解：（1）①∵，
∴
；
②∵，且的值与m取值无关，
∴，
解得：；
（2）如果购进甲种羽绒服x件，那么购进乙种羽绒服件，
当购进的30件羽绒服全部售出后，所获利润为元；
若当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，
∴，
解得：，
则a的值是20．
10．（23-24七年级上·广西贵港·期中）实践与探究
数学活动课上，老师准备了不同规格的长方形纸片，组织同学们进行数学探究活动．

【动手操作】小睿将6张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为，已知小长方形的长为，宽为，且．
【初步尝试】（1）当时，请直接写出长方形的面积；
（2）当时，请用含的式子表示的值；
【拓展提升】小睿换一张新的长方形纸片继续探究，其中长度不变，变长，将这6张小长方形纸片按照同样的方法放在新的长方形内，小睿发现，当，满足一定的数量关系时，的值总保持不变，求此时应满足怎样的数量关系．
【答案】初步尝试（1）216，（2）；拓展提升：
【分析】本题考查了整式的混合运算．
初步尝试：（1）根据求出，再根据长方形面积公式求解即可；（2）易得，由图可知，，根据长方形面积公式得出，即可求解；
拓展提升：，，根据长方形面积公式得出，，则，根据的值总保持不变，得出的值与无关，则．
【详解】初步尝试：
解：（1）由图可知，，
∵，
∴，
∵，
∴长方形的面积；
（2）∵，
∴，
由图可知，，
∴，，
∴；

拓展提升：
解：由图可知：，，
∴，，
∴，
∵的值总保持不变，
∴的值与无关，
∴，即．