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2024年北师大版七年级数学暑期提升精讲 第18讲 角与角的比较（知识点+练习）
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知识点一 角的概念
1.角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
知识点二 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
知识点三 钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
知识点四 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
知识点六 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
知识点七 角的运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
知识点八 角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种：
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
考点一：角的概念和表示
例1．（2023春·河北承德·七年级校考开学考试）下列说法中，正确的是（ ）
A．一个周角就是一条射线B．平角是一条直线
C．角的两边越长，角就越大D．也可以表示为
【变式1-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，下列表示角的方法，错误的是（ ）
A．与表示同一个角 B．也可用来表示
C．图中共有三个角：，， D．表示的是
【变式1-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图所示，回答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角：________________；
(2)写出以点B为顶点的角________________；
(3)图中共有______________个小于平角的角．
【变式1-3】（2023秋·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：
(1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以为顶点的角有几个？请表示出来．
(4)与是同一个角吗？请说明理由．
(5)图中共有几个小于平角的角？
考点二：角的单位与角度制
例2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算：
（1） ′；
（2） ；
（3） ．
【变式2-1】（2023春·山东泰安·六年级校考期中）计算： ．
【变式2-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）（1）1周角 平角 直角；
（2） ′= ″；
（3） ′， ．
【变式2-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
考点三：与方位角有关的计算题
例3. （2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点，乙从点A出发走到点，若，则乙从点A出发沿（ ）方向走到点
A．南偏西B．西偏南C．南偏西D．西偏南
【变式3-2】（2023秋·吉林松原·七年级统考期末）如图①，货轮停靠在点，发现灯塔在它的东北（东偏北或北偏东）方向上．货轮在码头的西北方向上．
(1)仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮方向的射线；
(2)如图②，两艘货轮从码头出发，货轮向东偏北的的方向行驶，货轮向北偏西的方向航行，求的度数．
【变式3-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
考点四：钟面角
例4. （2023春·陕西西安·七年级校考开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度．
【变式4-1】（2023秋·湖南衡阳·七年级校考开学考试）李老师从家出发去单位上班，到单位的时间是，那么这段时间，分针走了 °，时针走了 °．
【变式4-2】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）我校下午到校时间为14时10分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为 度．
【变式4-3】（2023秋·七年级课时练习）小明利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，小明到家时时针和分针夹角的度数是 ．
考点五：角的比较
例5. （2023秋·七年级课时练习）如图，，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．与无法比较大小
【变式5-1】（2023秋·七年级课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023秋·湖南郴州·七年级校联考期末）如图，若 ，则 与 的大小关系是（ ）．
A．B．
C．D．不能确定
【变式5-3】（2023秋·八年级课时练习）在图中所示的4×4的网格中，记，，，则，，从小到大的排列顺序是 ．
考点六：三角板中角度计算问题
例6. （2023春·山东淄博·六年级校考阶段练习）将一副直角三角尺如图放置，若，则等于 ．
【变式6-1】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么
【变式6-2】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．
(1)当时，求的度数；
(2)当时， _________（用含α的式子表示）．
【变式6-3】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．
(1)当时，求的大小；
(2)若时，求的值．
考点七：角平分线的有关计算
例7. （2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知O为直线上一点，是直角，平分．
(1)如图①，若，则__________；若，则__________；与的数量关系为__________；
(2)当射线绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
【变式7-1】（2023秋·七年级课时练习）如图所示，是平角，分别是的平分线．
(1)当时，求的度数；
(2)当时，求的度数．
【变式7-2】（2023春·山东青岛·六年级统考期中）如图，已知，平分，平分．
(1)求的度数；
(2)如果，那么是多少度？
(3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示)
【变式7-3】（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）（1）如图1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数；
（2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数；
（3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点C与点B在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数
考点八：角n等分线的有关计算
例8. （2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
【变式8-1】（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
【变式8-2】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则 ．
【变式8-3】（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
一、单选题
1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）在下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（ ）
A．B．
C．D．不确定
3．（23-24七年级上·山东德州·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2024·江西新余·模拟预测）如图，南昌位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于南昌的（ ）
A．南偏西方向B．南偏东方向C．北偏西方向D．北偏东方向
5．（23-24七年级下·陕西西安·开学考试）以的顶点O为端点引射线，使，若，则为（ ）
A．或B．或C．或D．以上答案都不正确
二、填空题
6．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习） ′ ″；
7．（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，用三个大写字母表示所标记的各角．
（1）可以表示为 ；
（2）可以表示为 ；
（3）可以表示为 ．
8．（23-24六年级下·全国·假期作业）小明每天下午放学，此时钟面上时针和分针的夹角是 ．
9．（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则的度数为 ．
10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，在内部顺次有一组射线，，，，满足，，，，. 若，则 （用含，的代数式表示）.
三、解答题
11．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
12．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．
(1)若，求的度数．
(2)请写出与的数量关系，并说明理由．
13．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，已知是内部任意的一条射线，、分别是，的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若，则 ；若，则 ．
14．（23-24六年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图是依依家到学校的行走路线图．
(1)小公园在依依家的 偏 米处．
(2)小公园在银行的 偏 米处．
(3)学校西偏南，距离处是超市，请用★标出超市的位置．（表示）
15．（23-24七年级下·山东青岛·期中）【实践操作】
在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分．
【问题发现】
（1）若，求的度数；
（2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【变式探究】
将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握角的概念及角的表示方法，钟面角、方位角，并掌握其运算,并能进行角度的互换；
2．掌握运用尺规作已知角，相等角等；
3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算;
4.掌握角大小比较方法.
知识点一 角的概念
1.角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
知识点二 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
知识点三 钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
知识点四 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
知识点六 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
知识点七 角的运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
知识点八 角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种：
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
考点一：角的概念和表示
例1．（2023春·河北承德·七年级校考开学考试）下列说法中，正确的是（ ）
A．一个周角就是一条射线B．平角是一条直线
C．角的两边越长，角就越大D．也可以表示为
【变式1-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，下列表示角的方法，错误的是（ ）
A．与表示同一个角 B．也可用来表示
C．图中共有三个角：，， D．表示的是
【变式1-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图所示，回答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角：________________；
(2)写出以点B为顶点的角________________；
(3)图中共有______________个小于平角的角．
【变式1-3】（2023秋·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：
(1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以为顶点的角有几个？请表示出来．
(4)与是同一个角吗？请说明理由．
(5)图中共有几个小于平角的角？
考点二：角的单位与角度制
例2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算：
（1） ′；
（2） ；
（3） ．
【变式2-1】（2023春·山东泰安·六年级校考期中）计算： ．
【变式2-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）（1）1周角 平角 直角；
（2） ′= ″；
（3） ′， ．
【变式2-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
考点三：与方位角有关的计算题
例3. （2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点，乙从点A出发走到点，若，则乙从点A出发沿（ ）方向走到点
A．南偏西B．西偏南C．南偏西D．西偏南
【变式3-2】（2023秋·吉林松原·七年级统考期末）如图①，货轮停靠在点，发现灯塔在它的东北（东偏北或北偏东）方向上．货轮在码头的西北方向上．
(1)仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮方向的射线；
(2)如图②，两艘货轮从码头出发，货轮向东偏北的的方向行驶，货轮向北偏西的方向航行，求的度数．
【变式3-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
考点四：钟面角
例4. （2023春·陕西西安·七年级校考开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度．
【变式4-1】（2023秋·湖南衡阳·七年级校考开学考试）李老师从家出发去单位上班，到单位的时间是，那么这段时间，分针走了 °，时针走了 °．
【变式4-2】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）我校下午到校时间为14时10分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为 度．
【变式4-3】（2023秋·七年级课时练习）小明利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，小明到家时时针和分针夹角的度数是 ．
考点五：角的比较
例5. （2023秋·七年级课时练习）如图，，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．与无法比较大小
【变式5-1】（2023秋·七年级课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023秋·湖南郴州·七年级校联考期末）如图，若 ，则 与 的大小关系是（ ）．
A．B．
C．D．不能确定
【变式5-3】（2023秋·八年级课时练习）在图中所示的4×4的网格中，记，，，则，，从小到大的排列顺序是 ．
考点六：三角板中角度计算问题
例6. （2023春·山东淄博·六年级校考阶段练习）将一副直角三角尺如图放置，若，则等于 ．
【变式6-1】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么
【变式6-2】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．
(1)当时，求的度数；
(2)当时， _________（用含α的式子表示）．
【变式6-3】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．
(1)当时，求的大小；
(2)若时，求的值．
考点七：角平分线的有关计算
例7. （2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知O为直线上一点，是直角，平分．
(1)如图①，若，则__________；若，则__________；与的数量关系为__________；
(2)当射线绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
【变式7-1】（2023秋·七年级课时练习）如图所示，是平角，分别是的平分线．
(1)当时，求的度数；
(2)当时，求的度数．
【变式7-2】（2023春·山东青岛·六年级统考期中）如图，已知，平分，平分．
(1)求的度数；
(2)如果，那么是多少度？
(3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示)
【变式7-3】（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）（1）如图1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数；
（2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数；
（3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点C与点B在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数
考点八：角n等分线的有关计算
例8. （2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
【变式8-1】（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
【变式8-2】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则 ．
【变式8-3】（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
一、单选题
1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）在下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（ ）
A．B．
C．D．不确定
3．（23-24七年级上·山东德州·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2024·江西新余·模拟预测）如图，南昌位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于南昌的（ ）
A．南偏西方向B．南偏东方向C．北偏西方向D．北偏东方向
5．（23-24七年级下·陕西西安·开学考试）以的顶点O为端点引射线，使，若，则为（ ）
A．或B．或C．或D．以上答案都不正确
二、填空题
6．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习） ′ ″；
7．（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，用三个大写字母表示所标记的各角．
（1）可以表示为 ；
（2）可以表示为 ；
（3）可以表示为 ．
8．（23-24六年级下·全国·假期作业）小明每天下午放学，此时钟面上时针和分针的夹角是 ．
9．（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则的度数为 ．
10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，在内部顺次有一组射线，，，，满足，，，，. 若，则 （用含，的代数式表示）.
三、解答题
11．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
12．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．
(1)若，求的度数．
(2)请写出与的数量关系，并说明理由．
13．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，已知是内部任意的一条射线，、分别是，的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若，则 ；若，则 ．
14．（23-24六年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图是依依家到学校的行走路线图．
(1)小公园在依依家的 偏 米处．
(2)小公园在银行的 偏 米处．
(3)学校西偏南，距离处是超市，请用★标出超市的位置．（表示）
15．（23-24七年级下·山东青岛·期中）【实践操作】
在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分．
【问题发现】
（1）若，求的度数；
（2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【变式探究】
将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握角的概念及角的表示方法，钟面角、方位角，并掌握其运算,并能进行角度的互换；
2．掌握运用尺规作已知角，相等角等；
3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算;
4.掌握角大小比较方法.
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