2024年北师大版七年级数学暑期提升精讲 第19讲 解题技巧专题：线段和角的动态问题（知识点+练习）

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【题型一 线段和与差问题】
例1．（2023秋·江西南昌·七年级南昌市第二十八中学校联考期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．

(1)若，，线段在线段上移动．
①如图1，当为中点时，求的长；
②若点在线段上，且，，求的长；
(2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值．
【答案】(1)①；②或
(2)或
【分析】（1）根据已知条件得到，，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②点在点的左侧，点是的中点，所以，可以根据进行求解，当点在点的右侧，，，求出的长度，再根据进行求解即可；
（2）当在点的右侧时，设，，则，，，求得，当在点的左侧时，设，，则，，，求得，分别代入关系式即可得出答案．
【详解】（1）解：①，，，
，，
如图，

为中点，
，
，
；
②如图，

，
点在点的左侧，
点是的中点，
，
，
；
当点在点的右侧，如图

，，
，
，
，
综上所述，的长为或；
（2），，满足关系式，
如图，当在点的右侧时：

设，，则，
，，
，，
，
，
，
，
解得，，
；
如图，当在点的左侧时：

设，，则，
，，
，，
，
，
，
，
解得，，
．
故答案为是或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题的关键．
【变式1-1】（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，点为线段上一点，点为的中点，且，．

(1)图中共有多少条线段，请写出这些线段；
(2)求的长；
(3)若点在直线上，且，求的长．
【答案】(1)图中的线段有，，，，，共条
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意结合图形，数出线段即可求解．
（2）根据线段中点的性质可得，根据，即可求解；
（3）分点在上时，点在延长线上时，两种情况分别讨论即可求解．
【详解】（1）解： 图中的线段有，，，，，共条，

（2）点为的中点，，
．
，
；
（3）分两种情况讨论：
①如图，当点在上时， ，，

；
②如图，当点在延长线上时，

，，；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了线段数量问题，线段中点以及线段和差问题，数形结合是解题的关键．
【变式1-2】（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点，的速度分别是，．
①若，当动点，运动了时，求的值；
②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求；
(2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①先计算，再计算；②利用中点的性质求解；
（2）将用其它线段表示即可．
【详解】（1）解：①由题意得：，．
．
②点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，设运动时间为t，
则：，，
．
（2）解：设运动时间为，则，，
，
．
．
【点睛】本题考查线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键．
【变式1-3】（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）如图，将一段长为厘米绳子拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠.
若将绳子沿、点折叠，点、分别落在，处.
(1)如图2，若，恰好重合于点处，展开拉直后如图3，求的长；
(2)若点落在的左侧，且，画出展开拉直后的图形，并求的长度；
(3)若点落在的右侧，且，画出展开拉直后的图形，并求的长度.
【答案】(1)厘米
(2)厘米
(3)厘米
【分析】（1）根据线段中点的性质得出，，进而根据即可求解；
（2）先根据题意画出图形，根据线段中点的性质，得出，，根据即可求解；
（3）先根据题意画出图形，同（2）的方法即可求解．
【详解】（1）解：∵绳子沿、点折叠，点、分别落在、处，、恰好重合于点处，
∴，，
∴；
（2）
∵，，
∴.
根据题意得，、分别为、的中点，
∵，，
∴，
∴；
（3）当点落在点的右侧时，
∵，
∴.
∴.
【点睛】本题考查了线段的和差，线段的中点的性质，数形结合是解题的关键．
【题型二 线段上动点定值问题】
例2.（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点．
(1)若，求线段的长度．
(2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，还是，理由见解析
【分析】（1）由题意可得，，结合中点的含义可得；
（2）由已知可得，，再由，结合中点的性质即可解．
【详解】（1）解∶，，，
点是的中点，点是的中点，
，
；
（2）线段的长度不发生变化．
点是的中点，点是的中点，
，
．
【点睛】本题考查线段的和差运算，中点的含义；熟练掌握线段的和差运算，灵活应用中点的性质解题是关键．
【变式2-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．

(1)若，求线段的长；
(2)若C为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．
(3)若C在线段的延长线上，且满足，M 、N分别为的中点，你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，图及理由见解析
【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；
（2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；
（3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵M、N分别是的中点，
∴，
∴
∴线段的长为．
（2）解∶ ∵M、N分别是的中点，
∴，
∵，
∴；
（3）解∶ ，理由如下∶
如图:

∵M、N分别是的中点，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键．
【变式2-2】（2023秋·七年级单元测试）如图，B是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，C是线段的中点，cm，设点B运动的时间为（t不超过10）

(1)当时，________cm．
(2)当时，求线段的长．
(3)在运动过程中，若的中点为E，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)3cm
(3)不变，5cm
【分析】（1）利用路程等于速度乘以时间可得答案；
（2）当时，而，先求解，再利用中点的含义可得答案；
（3）由的中点为E，C是线段的中点，可得 BD．从而可得结论．
【详解】（1）解：当时，；
（2）当时，而，
∴．
∵C是的中点，
∴ 即线段的长为3cm．
（3）不变 ，如图，

∵的中点为E，C是线段的中点，
∴ BD．
∴ 即的长为5cm．
【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，理解题意，利用数形结合的方法解题的关键．
【变式2-3】（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点．
(1)若点恰好是中点，则____________；
(2)若，求的长；
(3)试利用“字母代替数”的方法，设“”，请说明不论取何值（不超过），的长不变．
【答案】(1)6
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据线段中点的性质得出，，结合图形即可求解；
（2）根据（1）的方法即可求解；
（3）根据（1）的方法进行求解即可．
【详解】（1）解： ，点为的中点，
．
点、分别是和的中点，
，
．
故答案为：6；
（2）解：，，
．
点、分别是和的中点，
，，
；
（3）解：设，则，
点、分别是和的中点，
∴，
，
不论取何值（不超过），的长不变；
【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，掌握线段中点的性质，数形结合是解题的关键．
【题型三 线段上动点求时间问题】
例3. （2023秋·云南临沧·七年级统考期末）如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s

(1)当P、Q两点重合时，求t的值；
(2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)满足条件的值为4或7或
【分析】（1）根据相遇时间=路程和速度和，列出方程计算即可求解；
（2）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案；
【详解】（1）由题意可得：，，
∴当P、Q重合时，，解得：；
（2）由题意可得：，
∴①当点C是线段的中点时，，
解得：；
②当点P是线段的中点时，，
解得：
③当点Q是线段的中点时，，
解得：；
综上所述，满足条件的值为4或7或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论以防遗漏
【变式3-1】（2023秋·河南安阳·七年级统考期末）A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）．
(1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______；
(2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______；
(3)当时，求t的值．
【答案】(1)6，4
(2)3
(3)当时，t的值为4或6
【分析】（1）根据路程速度时间进行求解即可；
（2）根据数轴上两点中点公式进行求解即可；
（3）先求出，再由，得到，然后分点P在点B左侧和右侧两种情况，利用线段的和差关系求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴点P表示的数为，
故答案为：6，4；
（2）解：∵点P为的中点，点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8，
∴点P对应的有理数为，
故答案为：3；
（3）解：∵，
∴当时，则，
①当点P在点B左边时，
∵，
∴，
∴；
②当点P在点B右边时，
∵，
∴，
∴；
综上所述，当时，t的值为4或6．
【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式3-2】如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：
（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，求线段AD的长度；
（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出时间t：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）时间t为2．
【分析】（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB即可；
（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，即可求线段AD的长度；
（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？即可求出时间t．
【详解】解：（1）如图所示：延长线段AB到点C，使BC＝3AB；
（2）∵AB＝2，
∴BC＝3AB＝6，
∴AC＝AB+BC＝8，
∵点D为线段BC的中点，
∴BD＝BC＝3，
∴AD＝AB+BD＝5．
答：线段AD的长度为5；
（3）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．
设点P的运动时间为t秒，
则PB＝|t﹣2|，PA＝t，PC＝8﹣t，
PB＝PA﹣PC
即|t﹣2|＝t﹣（8﹣t）
解得t＝2或（舍去）．
答：时间t为2．
【点睛】本题考查作图－基本作图、两点间的距离，掌握尺规作图的方法和各线段之间的比例关系是解题的关键．
【变式3-3】（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点在线段上，若，则__________；若，则____________；
(2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系．
拓展运用：
(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)存在和使等式成立
【分析】（1）根据定义直接得出结果即可求解；
（2）根据题意，得出，，相加即可求解；
（3）分在点到达点之前，在点到达点返回之后，两种情况分类讨论即可求解．
【详解】（1）根据定义可得：∵，则；
∵，
∴,则；
故答案为：．，；
（2）∵
∴
∵
∴
∴
∴
（3）①在点到达点之前
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
②在点到达点返回之后
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴存在和使等式成立．
【点睛】本题考查了几何新定义，线段的和差，理解新定义，数形结合是解题的关键．
【题型四 几何图形中动角定值问题】
例4. （2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图是的平分线，是的平分线，，
(1)求的度数.
(2)当射线在的内部线绕点转动时，射线、的位置是否发生变化？说明理由.
(3)在（2）的条件下，的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围.
【答案】(1)
(2)发生变化，理由见解析
(3)不变，
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，进而根据即可求解；
（2）根据，则转动时同样在动，同理也在动；
（3）根据（1）的结论即可求解．
【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴转动时同样在动，
同理同样转动；
（3）不变同样35°；
解：当射线在的内部线绕点转动时，
∵是的平分线，是的平分线，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算是解题的关键．
【变式4-1】如图，将两块直角三角板的角和一个角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板的直角边始终在的内部，在旋转过程中

(1)若时，______°；
(2)善于思考的小明发现，在旋转过程中，
①和②的度数均各为一个定值，请你写出这两个定值，
定值：①______；②______．
(3)作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化的范围．
【答案】(1)9
(2)，；
(3)
【分析】（1）由角的和差关系可得：，再代入数据可得答案；
（2）由在的内部，如图，，，再代入数据可得答案；
（3）由角平分线的定义可得，，结合（1）得：，（2）得：，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）∵在的内部，如图，

∴
；
∴
；
（3）∵，分别平分和，

∴，，
∵由（1）得：，
由（2）得：，
∴
．
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角的动态定义，角平分线的定义，熟练的利用角的和差运算是解本题的关键．
【变式4-2】（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点，绕着点转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题：
(1)如图1，当点在射线上时，直接写出的度数是____________度；
(2)①如图2，当为的角平分线时，求出此时的度数；
②如图3，当为的角平分线时，求出此时的度数；
(3)若只在内部旋转，作平分线交于点，再作的平分线交于点，在转动过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)的值不会发生变化，，理由见解析
【分析】（1）根据三角板中角度的特点进行求解即可；
（2）①根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；②根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；
（3）分别用表示出 ．再根据角平分线的定义表示出，，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
∴，
故答案为：；
（2）解：①由题意得，，
∵为的角平分线，
∴，
∴；
②由题意得，，
∵为的角平分线，
∴，
∴；
（3）解：的值不会发生变化，，理由如下：
由题意得，，
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴

．
【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知三角板中角度的特点是解题的关键．
【变式4-3】（2023秋·重庆·七年级校考期末）如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，，，，分别是，的角平分线．
(1)当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图2），则的大小为 ；
(2)如图3，在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时，则的大小为 ；
(3)在绕点顺时针旋转到内部时，请你画出图形，的度数是否发生变化，若变化请说明理由，若不变请求出的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)的度数不变，为，图形见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义得到即可求解；
（2）通过角的转化得到即可求解；
（3）通过角的转化得到即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，分别是，的角平分线，
∴，
∴
（2）∵，分别是，的角平分线，
∴，
∴
；
（3）的度数不变，为，作图见下图．
∵，分别是，的角平分线，
∴，
∴
；
∴的度数不变，为．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和角的和差转化，解题关键是能利用角平分线的定义得到关于的表达式，再利用角的和差关系进行计算即可．
【题型五 几何图形中动角数量关系问题】
例5. （2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．

(1)如图1，当平分时，求的度数；
(2)点在射线上，若射线绕点逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
【答案】(1)
(2)不改变，，理由见解析
【分析】（1）由平分，则，由，得到，最后得到；
（2）分两种情况，在内部时，令，则，，结论成立；的两边在射线的两侧时．令，则，，，进而结论得证．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴；
（2）①在内部时．
令，则，，
∴，
∴；
②的两边在射线的两侧时．令，
则，，，
∴，
∴．
综上可得，和的数量关系不改变，
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．
【变式5-1】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）在数学实践活动课上，“奋进”小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，是直角，OE平分．

问题发现：
(1)如图1，若，则的度数为______；
(2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）先求解再利用角平分线的含义求解再利用角的和差关系可得答案；
（2）先求解，再利用角平分线的定义可得，再利用角的和差关系可得结论；
【详解】（1）解：

平分


故答案为：；
（2）．
理由：因为是直角
所以
所以
因为平分
所以
所以
所以．
【点睛】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，掌握“几何图形中角的和差关系”是解本题的关键．
【变式5-2】（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，．
(1)如图1，若是的平分线，求的度数；
(2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得答案；
（2）设，则，再利用，然后整理可得结论．
【详解】（1）∵是的平分线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2），
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．
【变式5-3】如图①，O是直线上的一点，是直角，平分．
(1)若时，则的度数为__________；
(2)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(3)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系：__________．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由已知可求出，再由是直角，平分求出的度数；
（2）由是直角，平分可得出，则得，从而得出和的度数之间的关系；
（3）根据（2）的解题思路，即可解答．
【详解】（1）由已知得，
又是直角，平分，
，
故答案为：；
（2）；
理由：是直角，平分，
，
则得，
所以得：；
（3）；
理由：平分，
，
则得，
所以得：．
【点睛】本题考查的知识点是角平分线的定义、及角的计算，解题的关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．
【题型六 几何图形中动角求运动时间问题】
例6. （2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）如图1，点依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿道时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为(的值在到之间，单位：秒)．

(1)当时，求的度数；
(2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值；
(3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值：如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)秒
(3)存在，秒或秒
【分析】（1）当时，，，根据平角减去，即可求解；
（2）根据题意，当第二次达到时，则，解方程即可求解；
（3）当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转，当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转，分别解方程即可求解．
【详解】（1）解：当时，，，
所以，
答：的度数是；
（2）根据题意，当第二次达到时，
，解得，
答：当第二次达到时，的值是秒；
（3）存在这样的，使得射线与射线的夹角为，理由如下：
当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转，
所以，解得；
当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转，
所以，解得，综上所述，的值是秒或秒．
【点睛】本题考查了结合图形中的角度计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．
【变式6-1】（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．

(1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值；并判断此时是否平分？说明理由；
(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间平分？请说明理由．
【答案】(1)；平分，理由见解析
(2)的值为或
【分析】（1）根据的度数求出的度数，根据互余得出的度数，进而求出时间t即可；根据题意和图形得出，，再根据，即可得出平分；
（2）根据题意和图形得出，再根据旋转求出结果即可．
【详解】（1）解：旋转前,
当平分时，，
则,
解得：，
结论：平分,
理由：∵，
又∵，
∴,
∴平分；
（2）解：
若平分，

则 ，
∴，
∴，
当停止时, 平分, 则有,

∴,
综上所述，满足条件的的值为或．
【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.
【变式6-2】（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．

(1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；
(2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；
(3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．
①直接写出和的数量关系；
②若，当，求t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案；
（2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得；
（3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：①∵，
∴，
∴
由题意得：，
∴，，
∴；
②由①知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
把代入得：
解得，
∴若，当时，．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．
【变式6-3】（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）解答下列问题．

(1)【探索新知】
如图1，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．
①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）
②如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．（用含的代数式表示出所有可能的结果）
(2)【深入研究】
如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与与成时停止旋转，旋转的时间为秒．
①当为何值时，射线是的“巧分线”．
②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止．请直接写出当射线是的“巧分线”时的值．
【答案】(1)①是；②或或
(2)①或或；②或或
【分析】（1）①根据巧分线定义即可求解；
②分3种情况，根据巧分线定义即可求解；
（2）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；
②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．
【详解】（1）解：①一个角的平分线是这个角的“巧分线”；
故答案为：是
②∵，
当是的角平分线时，
∴；
当是三等分线时，较小时，
∴；
当是三等分线时，较大时，
∴；
故答案为：或或；
（2）解：①∵是的“巧分线”，
∴在内部，所以转至左侧，
∵与成时停止旋转，且，旋转速度为．
∴．
当时，如图所示：

，
解得；
当时，如图所示：

，
解得；
当时，如图所示：

，
解得．
∵或或均在的范围内，
∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”；
②依题意有：在的内部，
∴，，
当时，如图所示：

，
解得；
②当时，如图所示：

，
解得；
③当时，如图所示：

，
解得．
∴当t为或或时，射线是的“巧分线”．
【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了角之间的数量关系，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义．
一、解答题
1．（23-24七年级上·广东茂名·期末）如图，线段，点在的延长线上，且．

(1)比较线段与的大小，并说明理由；
(2)若，，求的长；
(3)若，点为线段上一动点，要使点分别到点的距离和最小，问点在何处？此时最小值为多少？请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)；
(3)当在点时，到点的距离和最小，最小值为，理由见解析．
【分析】（）利用线段的和差关系即可求解；
（）利用线段的比求出，再根据线段的和差关系即可求出；
（）利用线段的和差关系即可求解；
本题考查了线段的和差关系，利用数形结合解答是解题的关键．
【详解】（1）解：．
理由：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当在点时，到点的距离和最小，最小值为．
理由：∵点到的距离分别为、、，
∵，的长是固定值，
∴要使距离和最短，则需最短即可，

∴当在点时，为，此时的最小值．
2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知：两块三角尺（直角三角形和直角三角形）按如图1摆放，点在同一条直线上，分别平分和．

(1)求的度数；
(2)求的度数；
(3)将三角尺绕点按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不变，
【分析】本题考查求角度，涉及平角定义、角平分线性质和角度和差倍分关系，数形结合，准确表示出角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
（1）根据题意，数形结合，利用平角定义求解即可得到答案；
（2）根据题意，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案；
（3）根据题意，设，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案．
【详解】（1）解：在同一条直线上，
，
，
；
（2）解：平分，
，
由（1）知，
平分，
，
；
（3）解：的度数在转动过程中不会变化，
设，
平分，则，，
平分，
，
．
3．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒．
(1)若时， 求的长；
(2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由；
(3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度．
【答案】(1)
(2)是定值，定值为
(3)
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键．
（1）当时，，则，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，，根据，求解作答即可；
（3）由题意知，分当P在线段上运动时，如图1，根据，计算求解即可；当P在线段的延长线上运动时，如图2，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∵M 为的中点，
∴，
∴，
∴的长为．
（2）解：当P在线段上运动时， 是定值；
由题意知，，，
∴，
∴是定值，定值为；
（3）解：当P在线段上运动时，如图1，
图1
由题意知，，
∴；
当P在线段的延长线上运动时，如图2，
图2
由题意知，，
；
综上所述，的长度为．
4．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．

(1)如图2，若，则______，______；
(2)若射线是的角平分线，且．
①旋转到图3的位置，的度数是多少？（用含的代数式表示）
②在旋转过程中，若，则此时的值．
【答案】(1)；
(2)；或
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键．
（1）根据，以及角的和差计算即可；
（2）①先求，再利用得出结论；
②分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，解答即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
，
∴；
故答案为：；．
（2）解：①∵，，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
②当旋转到左侧时，如图所示：

∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当旋转到右侧时，如图所示：

设，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上分析可知，的值为：或．
故答案为：或．
5．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）综合与实践
已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．

(1)观察发现：
直接写出线段__________．
(2)情境探究：
情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________；
情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？
(3)迁移类比：
当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长．
【答案】(1)12
(2)情境①：图见解析，6；情境②：的长度不变．
(3)6
【分析】本题考查了两点间的距离，线段的中点，理解中点的定义是解答本题的关键．
（1）根据两点间的距离求解即可；
（2）情境①：先根据点P为线段的中点求出，再根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可；
情境②：根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可；
（3）根据中点的定义得，，然后根据求解即可．
【详解】（1）．
故答案为：12；
（2）情境①：如图，

∵点P为线段的中点，
∴．
∵M为的中点，N为的中点，
∴，，
∴．
故答案为：6；
情境②：∵M为的中点，N为的中点，
∴，，
∴．
∴，
∴的长度不变；
（3）∵M为的中点，N为的中点，
∴，，
∴．
6．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”．
【问题感知】
（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）
【问题初探】
（2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________；
【问题推广】
（3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可）
【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，；
【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键．
（1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可；
（2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可；
（3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可．
【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义，
故答案为：是；
（2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论：
当时，如图，
∵，
∴；
当时，如图，
∵
∴；
当时，如图，
∵，
∴；
综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”．
（3）∵射线是的“量尺金线”，
∴在的内部，
∴在的外部；
分三种情况：
①如图，当时，如图所示：
∴，
∴；
②如图，当时，如图所示：
∴，
∴；
③当时，如图所示：
∵，
∴，
∴；
综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”．
7．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”．
(1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）
(2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ．
(3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点．
①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？
②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值．
【答案】(1)不是
(2)3或6或9或18
(3)或4或10；②或8或10或13
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差，
（1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答；
（2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可；
（3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可；
熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）假设点P是线段的中点，
∴，
∴线段的中点不是该线段的“倍距点”，
故答案为：不是；
（2）当点C在线段上时，，
若，则，
若，则；
当点C在线段延长线上时，，则，则
当点C在线段延长线上时，，则；
故答案为：3或6或9或18；
（3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点，
∴点C表示的数为11，
①由题意得，，
∴，
若点为的“倍距点”，
则或，
即，解得或10；
或，解得（负舍）；
综上，的值为或4或10；
②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，
∴，
∵点为的“倍距点”，
∴则或，
即或，
解得或8或10或13．
8．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s．
（ⅰ）________cm．
（ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
（2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，．
（ⅰ）________度．
（ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．
①当平分，，其中的两边组成的角时，________．
②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（ⅰ）10（ⅱ）；（2）（ⅰ）75（ⅱ）①的值为，，②当或时，存在
【分析】（1）（ⅰ）根据线段中点，可得答案；（ⅱ）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．
（2）（ⅰ）根据平角的定义即可得到结论；（ⅱ）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）（ⅰ）∵C为的中点
∴．
故答案为：10；
（ⅱ）存在，
①∵P的速度2，Q的速度是1，
∴，
又，
∴
∴不是线段的中点；
②为线段的中点，得
，解得；
③为线段的中点，得
，解得
综上所述：或．
（2）（ⅰ），，
，
故答案为：75；
（ⅱ）①当平分时，
，，
，
，
，
当平分时，
，
，
；
当平分时，
，
，
，
综上所述，旋转角度的值为，，；
②当在的左侧时，则，，
，
，
；
当在的右侧时，则，，
，
，
，
综上所述，当或时，存在．
【点睛】本题考查了两点间的距离，角的计算，特殊角，角平分线的定义，利用线段中点的性质得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．