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2024年沪教版七年级数学暑期提升精讲 专题01 有理数(知识点+练习)
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这是一份2024年沪教版七年级数学暑期提升精讲 专题01 有理数(知识点+练习)，文件包含2024年沪教版七年级数学暑期提升精讲专题01有理数原卷版docx、2024年沪教版七年级数学暑期提升精讲专题01有理数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
核心考点聚焦
1、有理数的概念及分类
2、数轴和绝对值
3、有理数的乘方及应用、科学计数法
4、有理数的混合运算
5、有理数的混合运算的应用
一、有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
【方法规律】
（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
【方法规律】（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
【方法规律】（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【方法规律】“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
四、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
1.有理数的大小比较
例.比较大小： _______
解法一：作差法
由于，所以
解法二：倒数比较法：因为
所以
2.分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值
解：因为| x|＝5，所以x为-5或5
因为|y|＝3，所以y为3或-3．
当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2
当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8
当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8
当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2
故（x-y）的值为±2或±8
提升专练
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．飞机上升米，实际上就是下降-30米
B．“向东行走”与“向西行走”是具有相反意义的量
C．“盈利20000元”与“支出1000元”是具有相反意义的量
D．弹簧“伸长”与“缩短”是具有相反意义的量
【答案】D
【分析】利用相反意义量的定义判断即可．
【解析】解：A、飞机上升米，实际上就是下降30米，故错误；
B、“向东行走”与“向西行走”是具有相反意义，但不是量，故错误；
C、“盈利20000元”与“支出1000元”不是具有相反意义的量，故错误；
D、弹簧“伸长”与“缩短”是具有相反意义的量，故正确；
故选D．
【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，明确什么是相反意义的量．
2．在这五个数中，最小的数为（ ）
A．B．0C．D．
【答案】D
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解析】解：∵-2＜＜0＜＜1，
∴在这五个数中，最小的数为-2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
3．下列各组数中，互为相反数是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【分析】根据绝对值与相反数的定义进行解答．
【解析】解：A. =，=，两数相等，不互为相反数，此选项不符合；
B. =，=，两数不互为相反数，此选项不符合；
C. =，=，两数互为相反数，选项符合；
D. =，=，两数不互为相反数，此选项不符合；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，相反数定义，关键是正确理解绝对值的性质与相反数的定义．
4．用科学记数法表示289万正确的是（ ）
A．2.89×107B．2.89×106C．28.9×105D．2.89×104
【答案】B
【分析】应先把289万整理为用个表示的数，科学记数法的一般形式为：a×10n，在本题中a为2.89，10的指数为整数数位减1．
【解析】解：289万=2 890 000=2.89×106．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
5．数轴上，距离原点3个单位长度的点表示的数是（ ）
A．3B．C．D．6
【答案】C
【分析】绝对值的意义：一个数的绝对值，即数轴上表示这个数的点到原点的距离．
【解析】解：根据绝对值的意义得：数轴上距离原点3个单位长度的点所表示的有理数，即绝对值是3的数，是±3．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义和数轴，注意两种情况是解答此题的关键．
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】计算出各项结果，即可做出判断．
【解析】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．若与互为相反数，则a＋b的值为（ ）
A．3B．－3C．0D．3或﹣3
【答案】A
【分析】根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，再根据有理数的加法，可得答案．
【解析】解：由|与互为相反数，得
a−1＝0，b−2＝0，
解得a＝1，b＝2，
a＋b＝1＋2＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出这两个数为零是解题关键．
8．观察图中的数轴，用字母，， 依次表示点，，对应的数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由图可知-1＜a＜＜＜b＜0＜1＜c，据此进行解答即可.
【解析】解：由图可知-1＜a＜＜＜b＜0＜1＜c，
由-1＜a＜可知，＜-a＜1，则由＜b＜0可得，＜b-a＜1，则1＜3；
由1＜c可得，；
由-1＜a＜、＜b＜0可得，＜-a＜1，0＜-b＜，则0＜ab＜，则＞3；
综上可得，，
故选择C.
【点睛】本题由图得到各数的大小关系及正负性是解题关键，此外各项表达式在整理变形时的数值范围变化需要当心.
9．一根1米长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第六次剪去后剩下绳子的长度是（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】表示出第一次，第二次后剩下的长度，…，归纳总结得到第六次后剩下的长度即可．
【解析】解：第1次后剩下的绳子的长度，
第2次后剩下的绳子的长度为，
第3次后剩下的绳子的长度为，
...，
∴第6次后剩下的绳子的长度为，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了乘方的意义．正确理解题意是解题的关键，能够根据题意列出代数式是解题主要步骤．
10．观察下列等式：，则的末位数是( )
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】由题中可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的，故个位的数字是以4为周期变化的，用，计算一下看看有多少个周期即可．
【解析】解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的，
∵，
∴的个位数字是4．
故选B．
【点睛】此题主要考查了找规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到以2为底的幂的末位数字的循环规律．
二、填空题
11．用“”，“ ”号连接下列各组数： ； ．
【答案】 ＞， ＞
【分析】先对比较的两个数进行化简，然后根据有理数的大小比较方法进行求解即可．
【解析】解：，，
有理数规定正数大于负数，
，
两个负数相比，绝对值大的反而小，
，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，解题的关键在于能够准确化简各数．
12．在，中，最小数的相反数是 ．
【答案】8
【分析】先判断出最小的数为-8，再由相反数的定义即可得出答案．
【解析】解：
所给数据中最小数为-8，-8的相反数为8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较及相反数的定义，属于基础题，注意掌握有理数的大小比较法则．
13．将算式写成省略括号和加号的形式： ．
【答案】
【分析】根据有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，正号可以省略，负数前面的加号省略，把算式写成省略括号和加号的形式即可．
【解析】解：将算式写成省略括号和加号的形式是：．
故答案为：．
【点睛】题目主要考察有理数的加减法法则，熟练掌握应用法则是解题关键．
14．绝对值小于的正整数是 ．
【答案】1，2，3
【分析】根据绝对值的意义解答即可．
【解析】解：绝对值小于的正整数有1，2，3，
故答案为：1，2，3．
【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a．
15．已知点A和点B都在同一条数轴上，点A表示3，又知点B和点A相距5个单位长，则点B表示的数是 ．
【答案】﹣2或8/8或﹣2
【分析】根据题意分两种情况，一种是点B在点A的左边，一种是点B在点A的右边，分别进行求解即可．
【解析】解：当点B在点A的左边时，点B表示的数是3﹣5＝﹣2，
当点B在点A的右边时，点B表示的数是3+5＝8，
故点B表示的数是﹣2或8，
故答案为：﹣2或8．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，利用分类讨论的思想是解题的关键．
16．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且|c|＝1，则＋c2－cd的值为 ．
【答案】0
【分析】据倒数与互为相反数的定义，分别得出a+b=0，cd=1，代入求出即可．
【解析】解：∵a，b互为相反数，
∴a＋b＝0．
∵c，d互为倒数，
∴cd＝1．
∵|c|＝1，
∴c2＝1．
∴＋c2－cd＝0＋1－1＝0．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了倒数与互为相反数的概念及性质．根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．相加和为0的叫互数是互为相反数，求出是解决问题的关键．
17．计算：
（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ．
【答案】1010
【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可．
【解析】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020
＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020]
＝1+1+…+1
＝1010，
故答案为：1010．
【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，分组进行求解是解题的关键．
18．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是＝﹣，﹣的差倒数是＝，已知a1＝2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…．依此类推，则a4＝ ；a1+a2+a3+a4+…+a2023＝ ．
【答案】 2 1013
【分析】根据差倒数的定义计算即可求出a4；再通过计算发现循环规律，计算求解即可．
【解析】解：根据题意可知：
a1＝2，a2＝＝﹣1；a3＝＝；a4＝＝2；
…．依此类推，
发现2，﹣1，..三个数为一个循环，
∴2023÷3＝674…1，
∵2﹣1＝，
则a1+a2+a3+a4+…+a2023＝674×+2＝1013．
故答案为：2，1013．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过计算，找到数字的循环规律是解题的关键．
三、解答题
19．（1）把数，，，，在数轴上表示出来，然后用“＜”把它们连接起来；
（2）根据（1）中的数轴，试分别找出大于的最小整数和小于的最大整数．
【答案】（1）数轴见解析，；（2）-3，-1
【分析】（1）把各数在数轴上表示出来，从左到右用“”把它们连接起来即可；
（2）在数轴上找出大于的最小整数和小于的最大整数．
【解析】解：（1）如图所示，
由图可知，；
（2）由（1）中的数轴可知，大于的最小整数是，小于的最大整数是．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键．
20．计算
（1）
（2）
（3） −19×(−12)
（4）
【答案】（1）-0.7；（2）9；（3）；（4）-15
【分析】（1）先去括号，再计算加减法；
（2）先确定结果的符号，将带分数化为假分数，同时将除法化为乘法，再计算乘法即可；
（3）将带分数化为整数与分数的和，再利用乘法分配律计算；
（4）先计算乘方，再计算加减法．
【解析】解：（1）
=1.6-2.7-2.3+2.7
=1.6-2.7+2.7-2.3
=-0.7；
（2）
=
=9；
（3） −19×(−12)
=
=
=
=；
（4）
=-9-9+4-1
=-15
【点睛】此题考查有理数的计算法则，正确掌握有理数的加减法计算法则、混合运算法则、乘方法则、乘法分配律是解题的关键．
21．认真阅读材料后，解决问题：
计算：．
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．
解：原式的倒数是
＝
＝
＝20﹣3+5﹣12＝10，
故原式＝．
仿照阅读材料计算：．
【答案】
【分析】仿照阅读材料，先求原数的倒数，进而求解即可．
【解析】解：原式的倒数是
，
故原式．
【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，有理数除法，有理数乘法的分配律，正确理解题意是解题的关键．
22．10月1日这一天下午，警车司机小张在东西走向的江北大道上值勤．如果规定向东为正，警车的所有行程如下（单位：千米）：
，，，，，，，
（1）最后，警车司机小张在距离出发点的什么位置？
（2）若警车每行驶10千米的耗油量为升，那么这一天下午警车共耗油多少升？
（3）如现在油价为每升元，那么花费了多少油钱？
【答案】（1）距离出发点以西4千米；（2）3.2升；（3）23.5元
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据单位耗油量乘以行车距离，可得答案；
（3）根据油的单价乘耗油量，可得答案．
【解析】解：（1）5-4+3-6-2+10-3-7=-4，
答：小张在距离出发点以西4千米．
（2）5+|-4|+3+|-6|+|-2|+10+|-3|+|-7|=40，
40÷10×0.8=3.2（升），
答：这一天下午警车共耗油3.2升；
（3）3.2×7.34≈23.5（元）
答：那么花费了23.5元油钱．
【点睛】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法运算，有理数的乘法运算．
23．已知，
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）-4或-10；（2）10或-10；（3）-19
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，再逐一计算求解即可．
【解析】解：∵|x|=3，|y|=7，
∴x=±3，y=±7，
（1）当x＜y时，x=3，y=7或x=-3，y=7，
此时x-y=-4或-10；
（2）∵xy＞0，∴x与y同号，即x=3，y=7或x=-3，y=-7，
此时x+y=10或-10；
（3）由x=±3，y=±7，
∴==-19．
【点睛】此题考查有理数的乘法，有理数的加减法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
问题，计算：
①；
②
【答案】①； ②
【分析】①根据题目中的式子，先拆项，然后相加化简即可；
②仿照题目中的例子，先拆项，再化简即可．
【解析】解：①
；
②
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是会用拆项抵消法解答．
25．探索研究：
（1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接）
①_________；
②_______；
③________．
（2）通过以上比较，请你归纳出当a，b为有理数时与的大小关系．（直接写出结果）
（3）根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是________．若，，则________．
【答案】（1）①>；②=；③>；（2）；（3），10或或5或
【分析】（1）根据有理数绝对值的化简方法分别化简、计算后进行比较即可；
（2）根据（1）的规律即可得到答案；
（3）根据（2）的规律即可得到答案.
【解析】（1）①因为，
所以.
②因为，
所以.
③因为，
所以.
故答案为>，=，>；
（2）当a，b异号时，，
当a，b同号时，，
所以；
（3）由（2）中得出的结论可知，x与同号，
所以x的取值范围是.
因为，
所以与异号，
则或或5或，
故答案为，10或或5或.
【点睛】此题考查了有理数绝对值的化简：正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等于它的相反数，以及绝对值的化简方法的应用.
26．对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别是C1，C2 ，C3 ，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数 .
【答案】（1），；（2）①－50或或；②50或70或110.
【分析】（1）题目给定的规律，联盟点必须满足其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，根据规律找出即可（2）已知点A的大小，点B的大小，根据不同的位置分别找出点P的坐标即可.
【解析】解：（1），；
（2）① 设点P表示的数为x，
如图，当点在点A左侧时，，
则 30－x＝2（－10－x），
解得 x＝－50.
所以点表示的数为－50；
如图，当点在线段AB上且时，
则 30－x＝2（x＋10），
解得 x＝.
所以点表示的数为；
如图，当点在线段AB上且时，
则 x＋10＝2（30－x），
解得 x＝.
所以点表示的数为.
综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为－50或或.
② 50或70或110.
【点睛】此题重点考查学生对坐标轴上的点的大小的理解，理解数轴上的点的大小是解题的关键.
目录
考点聚焦：核心考点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
学以致用：提升专练，全面突破
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数
核心考点聚焦
1、有理数的概念及分类
2、数轴和绝对值
3、有理数的乘方及应用、科学计数法
4、有理数的混合运算
5、有理数的混合运算的应用
一、有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
【方法规律】
（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
【方法规律】（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
【方法规律】（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【方法规律】“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
四、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
1.有理数的大小比较
例.比较大小： _______
解法一：作差法
由于，所以
解法二：倒数比较法：因为
所以
2.分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值
解：因为| x|＝5，所以x为-5或5
因为|y|＝3，所以y为3或-3．
当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2
当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8
当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8
当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2
故（x-y）的值为±2或±8
提升专练
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．飞机上升米，实际上就是下降-30米
B．“向东行走”与“向西行走”是具有相反意义的量
C．“盈利20000元”与“支出1000元”是具有相反意义的量
D．弹簧“伸长”与“缩短”是具有相反意义的量
【答案】D
【分析】利用相反意义量的定义判断即可．
【解析】解：A、飞机上升米，实际上就是下降30米，故错误；
B、“向东行走”与“向西行走”是具有相反意义，但不是量，故错误；
C、“盈利20000元”与“支出1000元”不是具有相反意义的量，故错误；
D、弹簧“伸长”与“缩短”是具有相反意义的量，故正确；
故选D．
【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，明确什么是相反意义的量．
2．在这五个数中，最小的数为（ ）
A．B．0C．D．
【答案】D
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解析】解：∵-2＜＜0＜＜1，
∴在这五个数中，最小的数为-2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
3．下列各组数中，互为相反数是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【分析】根据绝对值与相反数的定义进行解答．
【解析】解：A. =，=，两数相等，不互为相反数，此选项不符合；
B. =，=，两数不互为相反数，此选项不符合；
C. =，=，两数互为相反数，选项符合；
D. =，=，两数不互为相反数，此选项不符合；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，相反数定义，关键是正确理解绝对值的性质与相反数的定义．
4．用科学记数法表示289万正确的是（ ）
A．2.89×107B．2.89×106C．28.9×105D．2.89×104
【答案】B
【分析】应先把289万整理为用个表示的数，科学记数法的一般形式为：a×10n，在本题中a为2.89，10的指数为整数数位减1．
【解析】解：289万=2 890 000=2.89×106．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
5．数轴上，距离原点3个单位长度的点表示的数是（ ）
A．3B．C．D．6
【答案】C
【分析】绝对值的意义：一个数的绝对值，即数轴上表示这个数的点到原点的距离．
【解析】解：根据绝对值的意义得：数轴上距离原点3个单位长度的点所表示的有理数，即绝对值是3的数，是±3．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义和数轴，注意两种情况是解答此题的关键．
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】计算出各项结果，即可做出判断．
【解析】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．若与互为相反数，则a＋b的值为（ ）
A．3B．－3C．0D．3或﹣3
【答案】A
【分析】根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，再根据有理数的加法，可得答案．
【解析】解：由|与互为相反数，得
a−1＝0，b−2＝0，
解得a＝1，b＝2，
a＋b＝1＋2＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出这两个数为零是解题关键．
8．观察图中的数轴，用字母，， 依次表示点，，对应的数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由图可知-1＜a＜＜＜b＜0＜1＜c，据此进行解答即可.
【解析】解：由图可知-1＜a＜＜＜b＜0＜1＜c，
由-1＜a＜可知，＜-a＜1，则由＜b＜0可得，＜b-a＜1，则1＜3；
由1＜c可得，；
由-1＜a＜、＜b＜0可得，＜-a＜1，0＜-b＜，则0＜ab＜，则＞3；
综上可得，，
故选择C.
【点睛】本题由图得到各数的大小关系及正负性是解题关键，此外各项表达式在整理变形时的数值范围变化需要当心.
9．一根1米长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第六次剪去后剩下绳子的长度是（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】表示出第一次，第二次后剩下的长度，…，归纳总结得到第六次后剩下的长度即可．
【解析】解：第1次后剩下的绳子的长度，
第2次后剩下的绳子的长度为，
第3次后剩下的绳子的长度为，
...，
∴第6次后剩下的绳子的长度为，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了乘方的意义．正确理解题意是解题的关键，能够根据题意列出代数式是解题主要步骤．
10．观察下列等式：，则的末位数是( )
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】由题中可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的，故个位的数字是以4为周期变化的，用，计算一下看看有多少个周期即可．
【解析】解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的，
∵，
∴的个位数字是4．
故选B．
【点睛】此题主要考查了找规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到以2为底的幂的末位数字的循环规律．
二、填空题
11．用“”，“ ”号连接下列各组数： ； ．
【答案】 ＞， ＞
【分析】先对比较的两个数进行化简，然后根据有理数的大小比较方法进行求解即可．
【解析】解：，，
有理数规定正数大于负数，
，
两个负数相比，绝对值大的反而小，
，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，解题的关键在于能够准确化简各数．
12．在，中，最小数的相反数是 ．
【答案】8
【分析】先判断出最小的数为-8，再由相反数的定义即可得出答案．
【解析】解：
所给数据中最小数为-8，-8的相反数为8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较及相反数的定义，属于基础题，注意掌握有理数的大小比较法则．
13．将算式写成省略括号和加号的形式： ．
【答案】
【分析】根据有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，正号可以省略，负数前面的加号省略，把算式写成省略括号和加号的形式即可．
【解析】解：将算式写成省略括号和加号的形式是：．
故答案为：．
【点睛】题目主要考察有理数的加减法法则，熟练掌握应用法则是解题关键．
14．绝对值小于的正整数是 ．
【答案】1，2，3
【分析】根据绝对值的意义解答即可．
【解析】解：绝对值小于的正整数有1，2，3，
故答案为：1，2，3．
【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a．
15．已知点A和点B都在同一条数轴上，点A表示3，又知点B和点A相距5个单位长，则点B表示的数是 ．
【答案】﹣2或8/8或﹣2
【分析】根据题意分两种情况，一种是点B在点A的左边，一种是点B在点A的右边，分别进行求解即可．
【解析】解：当点B在点A的左边时，点B表示的数是3﹣5＝﹣2，
当点B在点A的右边时，点B表示的数是3+5＝8，
故点B表示的数是﹣2或8，
故答案为：﹣2或8．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，利用分类讨论的思想是解题的关键．
16．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且|c|＝1，则＋c2－cd的值为 ．
【答案】0
【分析】据倒数与互为相反数的定义，分别得出a+b=0，cd=1，代入求出即可．
【解析】解：∵a，b互为相反数，
∴a＋b＝0．
∵c，d互为倒数，
∴cd＝1．
∵|c|＝1，
∴c2＝1．
∴＋c2－cd＝0＋1－1＝0．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了倒数与互为相反数的概念及性质．根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．相加和为0的叫互数是互为相反数，求出是解决问题的关键．
17．计算：
（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ．
【答案】1010
【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可．
【解析】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020
＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020]
＝1+1+…+1
＝1010，
故答案为：1010．
【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，分组进行求解是解题的关键．
18．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是＝﹣，﹣的差倒数是＝，已知a1＝2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…．依此类推，则a4＝ ；a1+a2+a3+a4+…+a2023＝ ．
【答案】 2 1013
【分析】根据差倒数的定义计算即可求出a4；再通过计算发现循环规律，计算求解即可．
【解析】解：根据题意可知：
a1＝2，a2＝＝﹣1；a3＝＝；a4＝＝2；
…．依此类推，
发现2，﹣1，..三个数为一个循环，
∴2023÷3＝674…1，
∵2﹣1＝，
则a1+a2+a3+a4+…+a2023＝674×+2＝1013．
故答案为：2，1013．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过计算，找到数字的循环规律是解题的关键．
三、解答题
19．（1）把数，，，，在数轴上表示出来，然后用“＜”把它们连接起来；
（2）根据（1）中的数轴，试分别找出大于的最小整数和小于的最大整数．
【答案】（1）数轴见解析，；（2）-3，-1
【分析】（1）把各数在数轴上表示出来，从左到右用“”把它们连接起来即可；
（2）在数轴上找出大于的最小整数和小于的最大整数．
【解析】解：（1）如图所示，
由图可知，；
（2）由（1）中的数轴可知，大于的最小整数是，小于的最大整数是．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键．
20．计算
（1）
（2）
（3） −19×(−12)
（4）
【答案】（1）-0.7；（2）9；（3）；（4）-15
【分析】（1）先去括号，再计算加减法；
（2）先确定结果的符号，将带分数化为假分数，同时将除法化为乘法，再计算乘法即可；
（3）将带分数化为整数与分数的和，再利用乘法分配律计算；
（4）先计算乘方，再计算加减法．
【解析】解：（1）
=1.6-2.7-2.3+2.7
=1.6-2.7+2.7-2.3
=-0.7；
（2）
=
=9；
（3） −19×(−12)
=
=
=
=；
（4）
=-9-9+4-1
=-15
【点睛】此题考查有理数的计算法则，正确掌握有理数的加减法计算法则、混合运算法则、乘方法则、乘法分配律是解题的关键．
21．认真阅读材料后，解决问题：
计算：．
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．
解：原式的倒数是
＝
＝
＝20﹣3+5﹣12＝10，
故原式＝．
仿照阅读材料计算：．
【答案】
【分析】仿照阅读材料，先求原数的倒数，进而求解即可．
【解析】解：原式的倒数是
，
故原式．
【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，有理数除法，有理数乘法的分配律，正确理解题意是解题的关键．
22．10月1日这一天下午，警车司机小张在东西走向的江北大道上值勤．如果规定向东为正，警车的所有行程如下（单位：千米）：
，，，，，，，
（1）最后，警车司机小张在距离出发点的什么位置？
（2）若警车每行驶10千米的耗油量为升，那么这一天下午警车共耗油多少升？
（3）如现在油价为每升元，那么花费了多少油钱？
【答案】（1）距离出发点以西4千米；（2）3.2升；（3）23.5元
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据单位耗油量乘以行车距离，可得答案；
（3）根据油的单价乘耗油量，可得答案．
【解析】解：（1）5-4+3-6-2+10-3-7=-4，
答：小张在距离出发点以西4千米．
（2）5+|-4|+3+|-6|+|-2|+10+|-3|+|-7|=40，
40÷10×0.8=3.2（升），
答：这一天下午警车共耗油3.2升；
（3）3.2×7.34≈23.5（元）
答：那么花费了23.5元油钱．
【点睛】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法运算，有理数的乘法运算．
23．已知，
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）-4或-10；（2）10或-10；（3）-19
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，再逐一计算求解即可．
【解析】解：∵|x|=3，|y|=7，
∴x=±3，y=±7，
（1）当x＜y时，x=3，y=7或x=-3，y=7，
此时x-y=-4或-10；
（2）∵xy＞0，∴x与y同号，即x=3，y=7或x=-3，y=-7，
此时x+y=10或-10；
（3）由x=±3，y=±7，
∴==-19．
【点睛】此题考查有理数的乘法，有理数的加减法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
问题，计算：
①；
②
【答案】①； ②
【分析】①根据题目中的式子，先拆项，然后相加化简即可；
②仿照题目中的例子，先拆项，再化简即可．
【解析】解：①
；
②
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是会用拆项抵消法解答．
25．探索研究：
（1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接）
①_________；
②_______；
③________．
（2）通过以上比较，请你归纳出当a，b为有理数时与的大小关系．（直接写出结果）
（3）根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是________．若，，则________．
【答案】（1）①>；②=；③>；（2）；（3），10或或5或
【分析】（1）根据有理数绝对值的化简方法分别化简、计算后进行比较即可；
（2）根据（1）的规律即可得到答案；
（3）根据（2）的规律即可得到答案.
【解析】（1）①因为，
所以.
②因为，
所以.
③因为，
所以.
故答案为>，=，>；
（2）当a，b异号时，，
当a，b同号时，，
所以；
（3）由（2）中得出的结论可知，x与同号，
所以x的取值范围是.
因为，
所以与异号，
则或或5或，
故答案为，10或或5或.
【点睛】此题考查了有理数绝对值的化简：正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等于它的相反数，以及绝对值的化简方法的应用.
26．对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别是C1，C2 ，C3 ，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数 .
【答案】（1），；（2）①－50或或；②50或70或110.
【分析】（1）题目给定的规律，联盟点必须满足其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，根据规律找出即可（2）已知点A的大小，点B的大小，根据不同的位置分别找出点P的坐标即可.
【解析】解：（1），；
（2）① 设点P表示的数为x，
如图，当点在点A左侧时，，
则 30－x＝2（－10－x），
解得 x＝－50.
所以点表示的数为－50；
如图，当点在线段AB上且时，
则 30－x＝2（x＋10），
解得 x＝.
所以点表示的数为；
如图，当点在线段AB上且时，
则 x＋10＝2（30－x），
解得 x＝.
所以点表示的数为.
综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为－50或或.
② 50或70或110.
【点睛】此题重点考查学生对坐标轴上的点的大小的理解，理解数轴上的点的大小是解题的关键.
目录
考点聚焦：核心考点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
学以致用：提升专练，全面突破
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数
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