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2024年沪教版七年级数学暑期提升精讲 第08讲 完全平方公式（九大题型）(知识点+练习)
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这是一份2024年沪教版七年级数学暑期提升精讲 第08讲 完全平方公式（九大题型）(知识点+练习)，文件包含2024年沪教版七年级数学暑期提升精讲第08讲完全平方公式九大题型原卷版docx、2024年沪教版七年级数学暑期提升精讲第08讲完全平方公式九大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
一、知识引入
计算下列各题，并观察乘式与结果的特征：
(1)(a+b)²= (2)(2a+3b)²= (3)(x-y)²= (4)(2x-3y)²=
通过计算你发现什么规律?
比较等号两边的代数式，可以看到
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的两倍，即
(a+b)²=a²+2ab+b²,
(a-b)²=a²-2ab+b².
这两个公式叫做完全平方公式.平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式.
思考：你能根据图9-14和图9-15中的图形来说明完全平方公式吗?
9-14 9-15
二、完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
【方法规律】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
三、补充公式
；；
；.
题型1：利用完全平方公式计算
1．计算：
(1)；
(2)；
(3)
2．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
题型2：利用乘法公式计算
4．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
5．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
6．综合运用乘法公式计算：
(1)；
(2)．
题型3：乘法公式的化简求值型
7．先化简，再求值：，其中，．
8．先化简，再求值：，其中．
9．先化简，再求值：，其中．
题型4：根据完全平方公式求参数的值
10．若多项式是完全平方式，则 ．
11．若是完全平方式，则常数（ ）
A．12B．24C．D．
12．若，则的值为（ ）
A．28B．C．24或D．28或
13．关于x的多项式是完全平方式，则实数a的值是（ ）
A．3B．C．D．6
14．如果是一个完全平方式，那么k等于 ．
15．如果是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．5B．-3C．5或D．3或5
题型5：根据完全平方公式求代数式的值
16．已知：，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
17．已知，，求的值．
18．已知实数，满足，．
(1)求的值；
(2)求的值．
19．若，，则的值为（ ）
A．21B．29C．17D．33
20．已知，且，则 ．
21．例：已知，求的值．
解：因为，所以，则，所以．
观察以上解答，解答以下问题：
已知，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
22．已知，求的值．
23．已知，，，那么的值等于（ ）
A．6B．3C．2D．0
题型6：完全平方公式的图形应用
24．如图所示，请完成下列问题：
(1)填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为______或______．
(2)通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来．
25．如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成 9块，下面是四个计算种花土地总面积的代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（ ）
A．（2）B．（1） （3）C．（1） （4）D．（4）
26．如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（ ）
A．1B．2C．4D．8
27．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：__________________________．
方法2：__________________________．
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：___________________
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：
如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=ab=9，求阴影部分的面积．
28．如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为 ．
29．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（ ）
A．40B．44C．32D．50
30．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
(1)图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a，b的式子表示）
(2)已知，，求图2中空白部分的正方形的面积．
(3)观察图2，用一个等式表示下列三个整式：，，ab之间的数量关系．
(4)拓展提升：当时，求．
题型7：完全平方公式的代数应用
31．已知实数a，b满足，若，则p的最小值为 ．
32．不论a、b为任意有理数，多项式的值总是不小于 ．
33．实数，，满足，则 0．（填“”、“”、“”、“”、“”）
34．已知，，则的值为 ．
35．阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？
【初步思考】
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：
因为，
所以．
所以当时，的值最大，最大值是0.
所以当时，的值最大，最大值是4.
所以的最大值是4
【尝试应用】
(1)求代数式的最大值，并写出相应的的值．
(2)已知，，请比较与的大小，并说明理由．
【拓展提高】
(3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由．
题型8：“杨辉三角”
36．观察下列各式及其展开式：
；
；
；
；
请你猜想的展开式中含项的系数是
37．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ．
题型9：完全平方公式的图形应用难点
38．阅读材料：
若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴
请仿照上面的方法求解下列问题：
(1)若满足，求的值．
(2)，求．
(3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积．
39．综合与实践
数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形.
（）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张；
（）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________；
（）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积．
一、单选题
1．下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
2．将变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若，下列等式：① ② ③ ④ ⑤，其中错误的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．若是完全平方式，则实数m的值是（ ）
A．B．C．6或D．6或
5．的计算结果是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值是( )
A．4B．9C．13D．15
7．如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，则的值是
A．3B．7C．9D．11
9．a，b，c是实数．若，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（ ）
A．长方形纸片的周长和面积B．长方形纸片长和宽的差
C．①和②的面积差D．长方形纸片和①的面积差
二、填空题
11．用完全平方公式计算
12．（1） ；
（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ．
13．要使成为一个完全平方式，可以加上一个单项式 .
14．已知a、b满足等式，，则m、n的大小关系为 ．
15．如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则图中阴影部分的面积为 ．
16．代数式的最小值为 ．
17．若x满足，则的值是 ．
18．已知，求 ．
三、解答题
19．运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)；
20．利用乘法公式计算：
(1)．
(2)．
21．下面是王玲同学化简整式的过程，仔细阅读后完成所提出的问题：
(1)任务一：王玲的计算过程，第 步出现错误，错误的原因是 ．
(2)任务二：请你帮助王玲把错误圈画出来，再完成此题的正确解答过程．
(3)任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出几点建议．（最少一点）
22．先化简再求值：，其中，满足．
23．（1）已知，，求的值；
（2）已知，，求的值；
（3）已知，，求的值．
24．探究规律并解决问题．
(1)比较与的大小用“”“”或“”填空：
①当，时，______；
②当，时，______；
③当，时，______．
(2)通过上面的填空，猜想与的大小关系，并说明理由．
25．已知，，求：
(1)的值．
(2)求的值．
26．某学校教学楼前有一块长为米，宽为米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是草坪，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为米．
（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；
（2）当，时，需要铺地砖的面积是多少？
27．如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．
(1)若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示）
(2)由（1）你可以得到乘法公式____________．
(3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题：
计算：①；
②．
28．（1）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
①请你检验这个等式的正确性．
②若，，，求出的值．
（2）利用我们学过的知识，尝试解决问题：若，，求出的值．
29．如图①，一个宽为a，长为的长方形，然后用四块小长方形拼成一个正方形（如图②）．
(1)观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：____；
(2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值．
(3)如果，求的值．
30．通过第14章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到：；现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)【探索发现】根据图中条件，猜想并验证与之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）；图3表示：_____________；
(2)【解决问题】①若，，则_______；
②当时，求的值．
(3)【拓展提升】如图4，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为42，求两个正方形的面积和．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点精准练（九大题型）
模块四 小试牛刀过关测
1、会用图形证明完全平方公式；
2、学会用完全平方公式计算；
3、完全平方公式的应用
第一步
第二步
一、知识引入
计算下列各题，并观察乘式与结果的特征：
(1)(a+b)²= (2)(2a+3b)²= (3)(x-y)²= (4)(2x-3y)²=
通过计算你发现什么规律?
比较等号两边的代数式，可以看到
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的两倍，即
(a+b)²=a²+2ab+b²,
(a-b)²=a²-2ab+b².
这两个公式叫做完全平方公式.平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式.
思考：你能根据图9-14和图9-15中的图形来说明完全平方公式吗?
9-14 9-15
二、完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
【方法规律】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
三、补充公式
；；
；.
题型1：利用完全平方公式计算
1．计算：
(1)；
(2)；
(3)
2．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
题型2：利用乘法公式计算
4．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
5．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
6．综合运用乘法公式计算：
(1)；
(2)．
题型3：乘法公式的化简求值型
7．先化简，再求值：，其中，．
8．先化简，再求值：，其中．
9．先化简，再求值：，其中．
题型4：根据完全平方公式求参数的值
10．若多项式是完全平方式，则 ．
11．若是完全平方式，则常数（ ）
A．12B．24C．D．
12．若，则的值为（ ）
A．28B．C．24或D．28或
13．关于x的多项式是完全平方式，则实数a的值是（ ）
A．3B．C．D．6
14．如果是一个完全平方式，那么k等于 ．
15．如果是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．5B．-3C．5或D．3或5
题型5：根据完全平方公式求代数式的值
16．已知：，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
17．已知，，求的值．
18．已知实数，满足，．
(1)求的值；
(2)求的值．
19．若，，则的值为（ ）
A．21B．29C．17D．33
20．已知，且，则 ．
21．例：已知，求的值．
解：因为，所以，则，所以．
观察以上解答，解答以下问题：
已知，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
22．已知，求的值．
23．已知，，，那么的值等于（ ）
A．6B．3C．2D．0
题型6：完全平方公式的图形应用
24．如图所示，请完成下列问题：
(1)填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为______或______．
(2)通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来．
25．如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成 9块，下面是四个计算种花土地总面积的代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（ ）
A．（2）B．（1） （3）C．（1） （4）D．（4）
26．如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（ ）
A．1B．2C．4D．8
27．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：__________________________．
方法2：__________________________．
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：___________________
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：
如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=ab=9，求阴影部分的面积．
28．如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为 ．
29．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（ ）
A．40B．44C．32D．50
30．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
(1)图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a，b的式子表示）
(2)已知，，求图2中空白部分的正方形的面积．
(3)观察图2，用一个等式表示下列三个整式：，，ab之间的数量关系．
(4)拓展提升：当时，求．
题型7：完全平方公式的代数应用
31．已知实数a，b满足，若，则p的最小值为 ．
32．不论a、b为任意有理数，多项式的值总是不小于 ．
33．实数，，满足，则 0．（填“”、“”、“”、“”、“”）
34．已知，，则的值为 ．
35．阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？
【初步思考】
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：
因为，
所以．
所以当时，的值最大，最大值是0.
所以当时，的值最大，最大值是4.
所以的最大值是4
【尝试应用】
(1)求代数式的最大值，并写出相应的的值．
(2)已知，，请比较与的大小，并说明理由．
【拓展提高】
(3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由．
题型8：“杨辉三角”
36．观察下列各式及其展开式：
；
；
；
；
请你猜想的展开式中含项的系数是
37．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ．
题型9：完全平方公式的图形应用难点
38．阅读材料：
若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴
请仿照上面的方法求解下列问题：
(1)若满足，求的值．
(2)，求．
(3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积．
39．综合与实践
数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形.
（）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张；
（）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________；
（）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积．
一、单选题
1．下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
2．将变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若，下列等式：① ② ③ ④ ⑤，其中错误的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．若是完全平方式，则实数m的值是（ ）
A．B．C．6或D．6或
5．的计算结果是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值是( )
A．4B．9C．13D．15
7．如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，则的值是
A．3B．7C．9D．11
9．a，b，c是实数．若，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（ ）
A．长方形纸片的周长和面积B．长方形纸片长和宽的差
C．①和②的面积差D．长方形纸片和①的面积差
二、填空题
11．用完全平方公式计算
12．（1） ；
（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ．
13．要使成为一个完全平方式，可以加上一个单项式 .
14．已知a、b满足等式，，则m、n的大小关系为 ．
15．如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则图中阴影部分的面积为 ．
16．代数式的最小值为 ．
17．若x满足，则的值是 ．
18．已知，求 ．
三、解答题
19．运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)；
20．利用乘法公式计算：
(1)．
(2)．
21．下面是王玲同学化简整式的过程，仔细阅读后完成所提出的问题：
(1)任务一：王玲的计算过程，第 步出现错误，错误的原因是 ．
(2)任务二：请你帮助王玲把错误圈画出来，再完成此题的正确解答过程．
(3)任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出几点建议．（最少一点）
22．先化简再求值：，其中，满足．
23．（1）已知，，求的值；
（2）已知，，求的值；
（3）已知，，求的值．
24．探究规律并解决问题．
(1)比较与的大小用“”“”或“”填空：
①当，时，______；
②当，时，______；
③当，时，______．
(2)通过上面的填空，猜想与的大小关系，并说明理由．
25．已知，，求：
(1)的值．
(2)求的值．
26．某学校教学楼前有一块长为米，宽为米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是草坪，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为米．
（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；
（2）当，时，需要铺地砖的面积是多少？
27．如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．
(1)若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示）
(2)由（1）你可以得到乘法公式____________．
(3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题：
计算：①；
②．
28．（1）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
①请你检验这个等式的正确性．
②若，，，求出的值．
（2）利用我们学过的知识，尝试解决问题：若，，求出的值．
29．如图①，一个宽为a，长为的长方形，然后用四块小长方形拼成一个正方形（如图②）．
(1)观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：____；
(2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值．
(3)如果，求的值．
30．通过第14章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到：；现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)【探索发现】根据图中条件，猜想并验证与之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）；图3表示：_____________；
(2)【解决问题】①若，，则_______；
②当时，求的值．
(3)【拓展提升】如图4，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为42，求两个正方形的面积和．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点精准练（九大题型）
模块四 小试牛刀过关测
1、会用图形证明完全平方公式；
2、学会用完全平方公式计算；
3、完全平方公式的应用
第一步
第二步
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