2024年沪教版七年级数学暑期提升精讲 第09讲 提取公因式法（七大题型）(知识点+练习)

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一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【方法规律】（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
【方法规律】（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
【方法规律】（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
题型1：判断是否属于因式分解
1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列变形属于因式分解的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．
(1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)；
(2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2；
(3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1；
(4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2；
(5)x2＋x＝x2(1+)；
(6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)．
题型2：公因式
4．单项式，，的公因式是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各组中，没有公因式的一组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
6．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．B．C．D．
题型3：已知公因式求另一个因式
7．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（ ）
A．5－mB．5＋mC．m－5D．－m－5
8．若多项式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（ ）
A．B．C．D．
9．把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（ ）
A．6B．4C．3D．2
题型4：已知因式分解的结果求参数
10．若，则m的值是（ ）
A．2B．C．5D．
11．若，则、的值分别为（ ）
A．，2B．4，C． ，D．4，2
12．已知多项式分解因式后的结果为，则，的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
题型5：用提公因式法分解因式
13．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
14．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
15．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
(5)；
(6)．
题型6：根据提公因式法分解因式求值
16．先因式分解，再求值；已知，，求的值．
17．已知，求的值．
18．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
题型7：提公因式法分解因式拓展
19．观察下列因式分解的过程：
①
②
③
……
根据上述因式分解的方法，尝试将下列各式进行因式分解：
（1）；
（2）．
20．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
．
(1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次；
(2)将下列多项式分解因式：；
(3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________．
一、单选题
1．用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如果多项式mx+A可分解为m（x﹣y），则A为（ ）
A．mB．﹣myC．﹣yD．my
3．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．B．C．D．
4．下列因式分解：①；②；③．其中结果正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．把多项式分解因式，结果为（ ）
A．B．C．D．
6．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是( )．
A．abcB．2aC．2cD．2ac
7．计算：＋等于（ ）
A．B．C．D．
8．多项式的公因式是，则等于（ ）
A．B．C．D．
9．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．四个长宽分别为，的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为、的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
11．把一个多项式化为 的形式，叫做把这个多项式因式分解．
12．分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
13．多项式各项的公因式是 ．
14．已知多项式有一个因式是，则k的值为 ．
15．分解因式： ＝
16．若x＋y＝6，xy＝4，则x2y＋xy2＝ ．
17．已知2x+4﹣2•2x＝112，则x的值为 ．
18．若a, b, c 满足，则
三、解答题
19．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
20．运用提公因式法分解因式：
（1）；
（2）．
21．把下列各式分解因式：
(1)4x3-6x2；
(2)2a2b+5ab+b；
(3)6p(p+q)-4q(p+q)；
(4)(x-1)2-x+1；
(5)－3a2b＋6ab2－3ab.
22．用提公因式法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
23．辨别下面因式分解的正误并指明错误的原因.
（1）；
（2）；
（3）
24．分解因式：．
25．因式分解：．
26．如图，操场的两端为半圆形，中间是一个长方形． 已知半圆的半径为r，直跑道的长为l，请用关于r，l的多项式表示这个操场的面积． 这个多项式能分解因式吗？若能，请把它分解因式，并计算当r＝40m，l＝30πm时操场的面积(结果保留π)；若不能，请说明理由．
27．阅读下列材料．
形如型的二次三项式，有以下特点：①二项式的系数是1；②常数项是两个数之积：③一次项系数是常数项的两个因数的和，把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：


请利用上述方法将下列多项式因式分解：
(1)；
(2)．
28．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是______，共应用了_____次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2019，则需应用上述方法______次，结果是______．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是_______．
29．仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
，，
解得，，
∴另一个因式为，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式可分解为，则________；
（2）若二次三项式可分解为，则________；
（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点精准练（七大题型）
模块四 小试牛刀过关测
1、能判断是否属于因式分解；
2、知道公因式的概念，会求公因式；
3、掌握提取公因式法因式分解