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2024年华东师大版七年级数学暑期提升精讲 第04讲 有理数加减法(知识点+练习)
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有理数加法运算法则
1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
即:若a>0,b>0,则a+b= + (|a|+|b|)；若a<0,b<0,则a+b= - (|a|+|b|).
2）异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
即:若a>0,b<0,且|a|>|b|,则a+b= + (|a|-|b|)；若a<0,b>0,且|a|>|b|,则a+b= -(|a|-|b|).
3）互为相反数的两个数相加和为0.
即：若a>0,b<0, |a|=|b|,则a+b=0.
4）一个数与0相加，仍得这个数.
有理数加法运算率 ① 加法交换律 a+b=b+a ② 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
有理数减法运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即：a-b = a+（-b）
【考点一 有理数加法运算】
例1．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)100
(5)
(6)
【分析】本题主要考查了有理数的加法运算：
（1）根据有理数的加法法则计算，即可求解；
（2）根据有理数的加法法则计算，即可求解；
（3）根据有理数的加法法则计算，即可求解；
（4）根据有理数的加法运算律计算，即可求解；
（5）根据有理数的加法运算律计算，即可求解；
（6）根据有理数的加法法则计算，即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
（3）解： ；
（4）解：
；
（5）解：
（6）解：
【考点二 利用分类讨论解决有理数加法问题】
例2．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习），且，则的值为（ ）
A．3B．C．3或5D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的减法运算．根据绝对值的性质，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
当时，；
当时，；
综上所述，的值为3或5．
故选：C．
变式2-1．（23-24七年级上·云南文山·期末）若，且，则的值为（ ）
A．5B．1C．或1D．1或5
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加法法则．先根据已知条件和绝对值的性质，求出，，再把，的值代入进行计算即可．
【详解】解：，，
，，
，
，，
当，时，；
当，时，；
的值为5或1，
故选：D
变式2-2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下面的问题：已知，求的值．
【答案】4或或10或
【分析】本题考查有理数的加法以及绝对值，掌握有理数的加法法则是解题的关键．根据绝对值的性质求出a与b的值，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故当时，，
当时，，
当时，，
当时，．
故的值为4或或10或．
【考点三 有理数加法中的符号问题】
例3．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如果两个有理数的积是负数，和也是负数，那么这两个有理数（ ）
A．同号，且均为负数B．异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大
C．同号，且均为正数D．异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大
【答案】D
【分析】本题主要考查的是有理数的乘法和有理数的加法，熟练掌握有理数的乘法和加法法则是解题的关键．先依据有理数的乘法法则可得到这两个数异号，然后再依据有理数的加法法则进行判断即可．
【详解】解：两个有理数的积是负数，
这两个数异号．
又这两个数的和也是负数，
这两个数中负数的绝对值较大．
故选：D．
变式3-1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）两数相加，如果和小于任何一个加数，那么这两个数（ ）
A．同为正数B．同为负数
C．一正数一负数D．一个为0，一个为负数
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键．
根据有理数的加法法则，两个负数相加，和也是负数，而且和的绝对值等于两个负数绝对值的和，两个负数，绝对值大的反而小，因此两个负数的和一定小于任何一个加数．
【详解】解：∵两数相加，和小于任何一个加数，
∴这两个数同为负数．
故选：B．
变式3-2．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （ ）
A．一定都是正数B．一定都是负数
C．一定是一个正数，一个负数D．至少有一个是负数
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可．
【详解】解：的值是负数，
a与b的值中至少有一个是负数．
故选：D．
变式3-3．（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（ ）
A．a、b为正数，c为负数B．a、c为正数，b为负数
C．b、c为正数，a为负数D．a、b、c均为负数
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数的加法计算法则确定出a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，是解题的关键．
【详解】解：∵，且，
∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，
∴四个选项中，只有A选项符合题意，
故A．
变式3-4．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知有理数a、b、c，且、，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】D
【分析】本题考查有理数的加法中的符号法则，根据有理数加法的符号法则：“同号相加，取相同的符号，再把绝对值相加，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行计算”，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴的符号可能同为负，也可能一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值，或者一个为负，一个为0，
∵，
∴的符号可能同为正，也可能一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值，或者一个为正，一个为0，
∴不能确定a、b、c的大小关系，
故选D．
【考点四 有理数加法在实际生活中的应用】
例4．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）某支付平台主要提供支付及理财服务，通过该平台购物、生活缴费、金融理财等可以获得相应的积分，积分可以兑换礼品或获得优惠权益． 王先生三天内积内的变动情况为：，，，，，，，，，，． 则这三天后王先生的积分增加了（ ）
A．11分B．14分C．20分D．83分
【答案】A
【分析】本题考查有理数加法的实际应用，将所有数据相加，即可得出结果．
【详解】；
故选A．
变式4-1．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）学校、家、书店依次坐落在广电南路上，学校在家的东边20米，书店在家西边100米，小琪同学从学校出发，向西走了50米，接着又向西走了70米，此时小琪的位置在（ ）
A．在家B．在学校
C．在书店D．不在上述地方
【答案】C
【分析】本题考查了数轴及有理数加法的应用，设出正负方向，从而得出正确坐标．由题意，设家为原点，向东为正方向，向西为负方向，则小琪向西走50，记作，接着又向西走70记作，从而求得结论．
【详解】解：如图，设家为原点，向东为正方向，向西为负方向，
由题意：小琪所走的路程是：（米），
此时小琪的位置在书店．
故选：C．
变式4-2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列问题情境，不能用加法算式表示的是（ ）
A．某日最低气温为，温差为，该日最高气温
B．用8元纸币购买2元文具后找回的零钱
C．数轴上表示与8的两个点之间的距离
D．水位先下降，再上升后的水位变化情况
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数加减法的实际应用，理解有理数加减法赋予的实际意义是解题关键．
根据有理数的加减法的实际意义依次判断即可．
【详解】解：A．可以表示某日最低气温为，温差为，该日最高气温，故本选项不合题意；
B．可以表示用8元纸币购买2元文具后找回的零钱，故本选项不合题意；
C．数轴上与8的两个点之间的距离是，故本选项符合题意；
D．水位先下降，再上升后的水位变化情况，能用加法算式表示，故本选项不合题意．
故选：C．
变式4-3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）足球联赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在联赛的4场比赛中得6分，这支队伍共获胜 场．
【答案】1或2
【分析】
本题考查分类讨论解决实际问题，根据题意，确定最少胜利的场数，进而分情况讨论即可得到答案，根据题意，准确分类是解决问题的关键．
【详解】解：某队在联赛的4场比赛中得6分，
某队在联赛的4场比赛中至少胜1场，
当胜1场时，得分3分，则还需平3场；
当胜2场时，得分6分，则还需负2场；
当胜3场时，得分9分，剩余的1场无论平负均无法满足条件；
综上所述，某队在联赛的4场比赛中得6分，这支队伍共获胜1或2场，
故答案为：1或2．
变式4-4．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录为：（单位：）．若每千米耗油升，则共耗油 升．
【答案】
【分析】本题主要考查正负数的意义及有理数的加减运算，正确理解正负数的意义及掌握有理数的运算法则是解题的关键．求出所记录数据的绝对值的和即为所行的所有的路程，再乘耗油量即可得出结果．
【详解】解：由题可知：
（升）．
故答案为：．
变式4-5．（23-24七年级上·广东清远·期中）快递员开摩托车从总部A地出发，在一条东西走向的街道上来回收取包裹，现记录下他连续行驶的情况如下：（规定向东为正方向，单位：千米）
5，2，，，3，，6
请问：
(1)他最后一次收取包裹后在总部A的什么位置？
(2)如果摩托车每千米耗油30毫升，出发前摩托车有油900毫升，快递员在收完包裹后能回到总部吗？
【答案】(1)在出发点的正东边6千米处
(2)快递员在收完包裹后不能回到出发点
【分析】本题考查了正数和负数、绝对值的定义，有理数四则运算的实际应用．用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示．
（1）将行驶的情况相加，再根据正、负数的定义来确定最后一次收取包裹后的位置；
（2）利用摩托车所走的路程乘以油耗，再比较即可．
【详解】（1）解：（1）
（千米）．
故最后一次收取包裹后在出发点的东边6千米处．
（2）解：
千米，
回到出发点共耗油：（毫升），
，
所以快递员在收完包裹后不能回到出发点．
【考点五 有理数加法运算率】
例5．（23-24七年级上·河北邢台·期末）是应用了（ ）
A．加法交换律B．加法结合律C．分配律D．移项
【答案】A
【分析】根据题意结合运算律即可得到答案，此题考查了加法交换律，．
【详解】解：是应用了加法交换律，
故选：A
变式5-1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键．
【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；
B. ，符合交换律，不符合题意；
C. ，不符合结合律，符合题意；
D. ，符合结合律，不符合题意；
故选C．
变式5-2．（23-24七年级上·山西吕梁·期中）下列变形中正确使用加法交换律的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法运算律逐一判断即可．
【详解】解：，利用的加括号法则，故选项A不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，利用的是加法的交换律，故选项C符合题意；
，故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
变式5-3．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）若m、n为相反数，则 为 ．
【答案】
【分析】根据相反数的定义得到，再根据加法运算律进行运算即可求解．
【详解】解：因为m、n为相反数，
所以，
所以．
故答案为：
【点睛】本题考查了相反数的意义，几个有理数的加法运算，如果两个数互为相反数，则这两个数相加得0，熟知相反数的意义是解题关键．
变式5-4．（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）加法交换律： ．
例： ；
（2）加法结合律： ．
例：[ + ]．
【答案】
【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解；
（2）由有理数的加法结合律即可得解．
【详解】（1）；
．
故答案为：．
（2）；
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键．
【考点六 有理数减法运算】
例6．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）（ ）
A．B．7C．D．3
【答案】B
【分析】此题主要考查了有理数的减法及绝对值计算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用有理数的减法运算法则计算后求绝对值即可得出答案．
【详解】解：，
故选：B．
变式6-1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算所得的结果是（ ）
A．B．C．38D．14
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．根据有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【详解】解：，
故选：C．
变式6-2．（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）下列算式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了化简多重符号以及有理数的减法应用，先根据减法和化简多重符号的法则进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D
【考点七 利用分类讨论解决有理数减法问题】
例7．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，求的值．
【答案】或．
【分析】本题考查了绝对值的性质有理数的减法运算，根据绝对值的性质可得，，然后进一步确定，从而可得当，时；当，时，再计算即可，熟练掌握绝对值的有关概念和性质是解题的关键．
【详解】由，则，
∵，，
∴，，
则当，时，
；
当，时，
，
综上可知：的值为或．
变式7-1．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）若，，且，求的值．
【答案】2
【分析】本题考查绝对值，有理数的减法，先根据绝对值的结果分别求出a，b的所有的值，再根据得出，，最后代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
或，
，
，，
．
变式7-2．（23-24七年级上·广东东莞·期中）已知．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】本题考查了绝对值的性质．
（1）先根据已知条件，求出值，再根据，求出；
（2）由（1）中求出的值，根据，取值进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，，
则；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，或，，
则或．
【考点八 有理数减法在实际生活中的应用】
例8．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）世界最高峰珠穆朗玛峰的海拔高度是8844.43米，死海湖面的海拔高度是米，我国吐鲁番盆地的海拔高度比死海湖面高262米，珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高多少米？
【答案】8998.43米
【分析】本题考查有理数的减法和加法运算，熟练掌握有理数的加法和减法的运算法则是解决本题的关键．根据正数和负数表示两个相反意义的量和有理数的加减法运算法则，即可求解．
【详解】解：吐鲁番盆地的海拔高度是：，
珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高：（米），
答：珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高8998.43米．
变式8-1．（23-24七年级上·河南许昌·期中）秋天流行病多发，某位病人早晨8时的体温是．下面是护士站记录该病人一天中的体温变化．
(1)这位病人的体温最低是多少摄氏度？
(2)若正常体温是，那么从体温变化看，这位病人的病情是在恶化还是好转？请说明原因．
【答案】(1)
(2)好转，理由见解析
【分析】本题主要考查有理数的加减运算的应用，准确的计算是解题的关键．
（1）首先利用有理数的加减法计算出每个时刻的体温，然后进行比较即可得出答案；
（2）通过分析（1）中的体温，即可得出体温的变化趋势，从而得出答案．
【详解】（1）解：11时的体温是；
14时的体温为；
17时的体温是；
20时的体温为；
23时的体温是；
2时的体温是；
5时的体温是；
8时的体温是，
∵，
∴体温最低是次日的凌晨5时，是；
（2）根据（1）求出的数据分析，该病人在逐渐好转，因为体温与正常体温的差越来越小．
变式8-2．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）某中学九（1）班学生的平均身高是166cm．
(1)上表给出了该班6名同学的身高（单位：cm），试完成上表；
(2)谁最高？谁最矮？
(3)最高与最矮的同学身高相差多少？
【答案】(1)，，，，
(2)同学最高，同学最矮；
(3)最高与最矮的同学身高相差
【分析】本题考查有理数加减法的实际应用、正负数的应用．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键．
（1）利用身高减去平均身高进行计算即可；
（2）由表格信息可确定最高和最矮的学生；
（3）确定最高和最矮的学生，两者的身高作差即可．
【详解】（1）解：∵某中学九（1）班学生的平均身高是166cm．
∴完善表格如下：
（2）同学身高，最高，同学身高，最矮；
（3）∵，
∴最高与最矮的同学身高相差．
【考点九 有理数加减混合运算】
例9．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）计算下列各题：
(1)
(2)
【答案】(1)8
(2)
【分析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则．
（1）根据有理数的加减混合运算法则即可求解；
（2）根据有理数的加减混合运算法则即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式9-1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算．
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算；
（1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
变式9-2．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【分析】（）根据有理数的加法运算法则计算即可；
（）根据有理数的加减运算法则计算即可；
（）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可；
（）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可；
（）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可；
本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
，
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
，
；
（5）解：原式
，
．
【考点十 有理数加减混合运算的实际应用】
例10．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数）
北京时间早晨6点时，纽约的当地时间是（ ）点．
A．当天凌晨1点B．当天晚上7点C．前一天晚上7点D．前一天下午5点
【答案】D
【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数加减法的实际应用，先求出北京时间比纽约时间早小时，再用北京早晨6点的时间减去早的时间即可得到答案．
【详解】解：，
∴北京时间早晨6点时，纽约的当地时间是前一天的下午5点，
故选：D．
变式10-1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）2023年9月23日至10月8日杭州亚运会期间，河南某体育用品商店推出一系列打折让利活动，某星期的盈亏情况如表（盈余为正，亏损为负，单位：元）所示：表中星期五的数据被墨水覆盖了，则被墨水覆盖的数据是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的加减及正负数的意义，利用加减法法则计算星期五的盈亏钱数即可解答．
【详解】解：．
故选D．
变式10-2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）五个国际大都市的时差（单位：时）在数轴上表示如下图，那么当北京时间为2023年11月9日9时，下列选项中时间正确的应该是（ ）
A．东京时间2023年11月9日8时B．迪拜时间2023年11月9日5时
C．伦敦时间2023年11月9日2时D．纽约时间2023年11月8日19时
【答案】A
【分析】本题考查了数轴及有理数的加减的应用，理解时区的含义是解题关键．按照图示，将其他四个地区时间依次求出即可判断．
【详解】解：由图得：当北京时间2023年11月9日9时，
由于，故东京时间应为2023年11月9日8时，故A选项正确；
由于，故迪拜时间应为2023年11月9日13时；故B选项错误；
由于，故伦敦时间应为2023年11月9日17时，故C选项错误；
由于，故汉城时间应为2023年11月9日22时，故D选项错误．
故选：A．
变式10-3．（23-24七年级上·天津宁河·期中）出租车司机小张某天下午的营运都是在一条东西走向的大道上，如果规定向东为正，向西为负，那么这天下午小张的行车路程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，
(1)当小张将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点多少千米？
(2)若每千米的营运额为5元，则小张这天下午的总营运额为多少元？
(3)在(2)的条件下，如果营运成本为每千米1.5元，那么这天下午小张盈利 元．
【答案】(1)他离出发地点3千米
(2)小张这天下午的总营运额为575元
(3)402.5
【分析】本题考查有理数运算的实际应用．解题是读懂题意，正确的列出算式．
（1）将所有数据相加，根据和的情况进行分析即可；
（2）将所有数据的绝对值相加，再乘以每千米的营运额即可；
（3）用总路程乘以每千米的盈利计算即可．
【详解】（1）解：（千米），
当小张将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点3千米；
（2）（千米），
小张这天下午的总营运额为：（元；
（3）由（2）知，小张这天下午的总营运路程为115千米，
这天下午小张盈利为：（元．
【考点十一 运用运算律简化有理数的加减运算】
例11．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）计算：．
【答案】9
【分析】
本题考查有理数混合运算，先根据数的特征分组，再将小数化为分数，利用同分母分数加减运算求解，最后由有理数的加法运算求解即可得到答案，熟练掌握分数加减运算是解决问题的关键．
【详解】
解：
．
变式11-1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．分母相同的两个数分别结合为一组求解．
【详解】解：
．
变式11-2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则和运算律是解题的关键．
（1）利用有理数的加减混合运算的法则和加法的运算律解答即可；
（2）利用有理数的加减混合运算的法则和加法的运算律解答即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【考点十二 巧用拆项法简化有理数的加减运算】
例12．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）阅读下题的计算方法
计算：
解：原式
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据拆项法将所求式子拆分计算即可．
【详解】解：原式
．
变式12-1．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【详解】（1）解：
（2）
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键．
一、单选题
1．（23-24七年级上·广东潮州·期中）若两个数之和为正数，则这两个数（ ）
A．都是正数B．只有一个正数
C．至少有一个是正数D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数加法的计算是解题的关键．若两个数之和为正数，可以是两个正数相加，正数加负数或者正数加0，据此得出结论即可．
【详解】解：∵两个数之和为正数，
∴可以是两个正数相加，或正数加负数或者正数加零，
故选：C．
2．（23-24七年级上·山西阳泉·期中）下面是小王存折存取记录的一部分，根据其中提供的信息，截止2023年8月20日，此张存折的余额为（ ）
A．19450元B．8550元C．7650元D．7550元
【答案】D
【分析】
本题考查了正负数的意义，以及有理数的加减运算的应用，根据题意列式计算，即可求解．
【详解】
解：，
（元）．
答：此张存折的余额为7550元．
故选：D．
3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若，则点A表示的数为（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】A
【分析】
本题考查了数轴，两点间的距离．根据，，由，即可得到点A表示的数．
【详解】解：，，
，
点A表示的数为，
故选：A．
4．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）数轴上点A表示2，则与点A的距离为3个单位长度的点表示的数是（ ）
A．5B．5或C．或D．5或
【答案】D
【分析】
本题主要考查了数轴上两点的距离计算，分该点在点A右边与左边两种情况利用数轴上两点距离计算公式求解即可．
【详解】解：当该点在点A右边与点A距离为3个单位长度时，则该点表示的数为；
当该点在点A左边与点A距离为3个单位长度时，则该点表示的数为；
综上所述，该点表示的数为5或，
故选：D．
5．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）将式子省略括号和加号后变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可．
【详解】解：将式子省略括号和加号后变形正确的是，
故选：A．
6．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）两个有理数的和为零，则这两个数（ ）
A．相等B．互为相反数C．都是零D．一定有一个数是零
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数的加法、相反数，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键．根据有理数的加法运算法则解答即可．
【详解】解：两个有理数的和为零，则这两个数互为相反数．
故选：B．
7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知：，且，，则的值等于（ ）
A．1或B．3或C．3或1D．或
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值，本题解题的关键在于，理解一个数的绝对值的含义是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．再就是两数乘积小于0，则这两个数一正一负，异号；若两个数乘积大于0，则这两数同正或者同负，同号．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，即：，同号，
∴当时，，此时：，
当时，，此时：，
故的值为1或，
故选：A．
8．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的加减计算，根据数轴可得，进而得到，，，进一步推出，，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴正确的有①②③，
故选：C．
9．（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）有理数、在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式①；②；③；④；⑤，一定成立的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的大小比较、乘法运算及有理数的数轴表示方法，在利用有理数在数轴上的对应点对有理数的大小进行判断的基础上找出正确选项是解题的关键．
根据数轴确定a、b的范围，即可解答．
【详解】解：由数轴可得：，
∴；；；；，
∴正确的有：①③④⑤，共4个，
故选：B．
10．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记水位比前一日下降数）（单位：m）：
则下列说法正确的有（ ）
①这个星期的水位总体下降了0.01m；
②本周中星期一的水位最高；
③本周中星期六的水位比星期二下降了0.43m．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的加减等知识，根据正数和负数表示相反意义的量和有理数的加减即可解此题，理解正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．
【详解】解：①
故这个星期的水位总体下降了m，①正确；
②星期一：
星期二：
星期三：
星期四：
星期五：
星期六：
星期天：
本周中星期一的水位最高，②正确；
③本周中星期六的水位比星期二下降了：，③正确；
综上所述，下列说法正确的有：①②③
故答案为：．
二、填空题
11．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知，，且，则的值为 ．
【答案】或/或
【分析】本题主要考查绝对值的性质和有理数的加法，先判断出a和b的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，或，
又∵，
∴，或，，
∴或
故答案为：或．
12．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
13．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）设为最小的正整数，和互为相反数，是绝对值最小的有理数，则的值为 ．
【答案】2
【分析】
本题主要考查有理数，相反数，绝对值等知识点，由a为最小的正整数，b和a互为相反数，c是绝对值最小的有理数，可分别得出a、b、c的值，代入计算可得结果，能正确判断有关概念是解题的关键．
【详解】
∵a为最小的正整数，
∴，
∵b和a互为相反数，
∴，
∵c是绝对值最小的有理数，
∴，
∴，
故答案为：2．
14．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加法运算以及加法运算律，根据加法运算律添加大括号，简便计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
15．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有“质量为、、”的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多能相差 kg．
【答案】
【分析】本题考查了正负数的应用， 解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．注意：理解题意能求出质量的最大值和最小值是解此题的关键．根据题意给出三袋面粉的质量波动范围，并求出任意两袋质量相差的最大数．
【详解】解：由题可知面粉的质量最小为：，
面粉的质量大为：，
任意两袋质量相差的最大为：．
故答案为：．
三、解答题
16．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，
(1)数轴上的点A、B、C、D表示的数分别是______、______、______、______；
(2)A、B两点间的距离是______个单位长度；
(3)A、D两点间的距离是______个单位长度．
【答案】(1)1；2.5；；
(2)1.5
(3)4
【分析】此题考查数轴上点与数的一一对应关系，以及在数轴上求两点之间的距离的方法．
（1）根据在数轴上点与数的对应写出即可；
（2）在数轴上，求两点之间的距离，用右边的点表示的数减去左边的点表示得数即可；
（3）在数轴上，求两点之间的距离，用右边的点表示的数减去左边的点表示得数即可．
【详解】（1）解：由图可知：数轴上的点，，，表示的数分别是：1，2.5，，，
故答案为：1，2.5，，；
（2），
所以，两点间的距离是1.5个单位长度；
故答案为： 1.5；
（3），
所以，两点间的距离是4个单位长度．
故答案为：4．
17．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）（1）；
（2）．
【答案】（1）9；（2）8
【分析】本题考查有理数的加减混合运算．
（1）先去括号和绝对值，再进行加减计算即可；
（2）先去括号，再进行加减计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）已知，，
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题主要考查绝对值的定义，有理数的乘法运算的含义，有理数的加减运算的含义，熟练掌握绝对值的定义，由已知条件确定，的值是解题关键．
（1）根据绝对值的定义确定，可能的取值，再根据讨论确定，的值再计算即可得到答案．
（2）根据绝对值的定义确定，可能的取值，再根据讨论确定，的值再计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
，
，
，
或．
（2）∵，，
，
，
或，
或．
19．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，．
【初步体验】
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）：
①_______；②_______；③_______；④_______．
【拓广应用】
（2）合适的方法计算：_______．
（3）简便的方法计算：．
【答案】（1）①；②；③；④ （2）（3）
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键．
（1）①②③④根据题目可得规律当时，；当时；当时，；运用规律可得答案；
（2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案．
（3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案．
【详解】解：（1）由题目运算可得：当，时，；当时；当时，；
①∵
∴；
②∵，
∴；
③∵，
∴；
④∵
∴；
故答案为为：；；；．
（2），
故答案为：．
（3）
．
20．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）定义一种新运算：．例如：．
(1)计算：；
(2)求的绝对值．
【答案】(1)0
(2)4
【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
（1）根据题意得出运算的式子即可；
（2）根据题意得出运算的式子计算即可，再求绝对值
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：，
∴
，
∵，
∴的绝对值是4．模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1. 使学生掌握有理数加/减法法则，掌握加法运算律；
2. 有理数加减法混合运算，灵活运用运算律简化计算.
时间
11时
14时
17时
20时
23时
2时（次日）
5时
8时
体温变化
姓名
A
B
C
D
E
F
身高
170
160
175
与平均身
高的差值
+4
+7
+2
姓名
A
B
C
D
E
F
身高
170
160
175
与平均身
高的差值
+4
+7
+2
城市
伦敦
北京
东京
多伦多
纽约
国际标准时间
0
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
200
1381
38
188
458
试题：计算：．
小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算．
小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程：
解：原式
．
老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习．
日期
存入（）/支出（）
余额
20230630
13500
20230715
20230820
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化
有理数加法运算法则
1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
即:若a>0,b>0,则a+b= + (|a|+|b|)；若a<0,b<0,则a+b= - (|a|+|b|).
2）异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
即:若a>0,b<0,且|a|>|b|,则a+b= + (|a|-|b|)；若a<0,b>0,且|a|>|b|,则a+b= -(|a|-|b|).
3）互为相反数的两个数相加和为0.
即：若a>0,b<0, |a|=|b|,则a+b=0.
4）一个数与0相加，仍得这个数.
有理数加法运算率 ① 加法交换律 a+b=b+a ② 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
有理数减法运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即：a-b = a+（-b）
【考点一 有理数加法运算】
例1．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)100
(5)
(6)
【分析】本题主要考查了有理数的加法运算：
（1）根据有理数的加法法则计算，即可求解；
（2）根据有理数的加法法则计算，即可求解；
（3）根据有理数的加法法则计算，即可求解；
（4）根据有理数的加法运算律计算，即可求解；
（5）根据有理数的加法运算律计算，即可求解；
（6）根据有理数的加法法则计算，即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
（3）解： ；
（4）解：
；
（5）解：
（6）解：
【考点二 利用分类讨论解决有理数加法问题】
例2．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习），且，则的值为（ ）
A．3B．C．3或5D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的减法运算．根据绝对值的性质，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
当时，；
当时，；
综上所述，的值为3或5．
故选：C．
变式2-1．（23-24七年级上·云南文山·期末）若，且，则的值为（ ）
A．5B．1C．或1D．1或5
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加法法则．先根据已知条件和绝对值的性质，求出，，再把，的值代入进行计算即可．
【详解】解：，，
，，
，
，，
当，时，；
当，时，；
的值为5或1，
故选：D
变式2-2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下面的问题：已知，求的值．
【答案】4或或10或
【分析】本题考查有理数的加法以及绝对值，掌握有理数的加法法则是解题的关键．根据绝对值的性质求出a与b的值，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故当时，，
当时，，
当时，，
当时，．
故的值为4或或10或．
【考点三 有理数加法中的符号问题】
例3．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如果两个有理数的积是负数，和也是负数，那么这两个有理数（ ）
A．同号，且均为负数B．异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大
C．同号，且均为正数D．异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大
【答案】D
【分析】本题主要考查的是有理数的乘法和有理数的加法，熟练掌握有理数的乘法和加法法则是解题的关键．先依据有理数的乘法法则可得到这两个数异号，然后再依据有理数的加法法则进行判断即可．
【详解】解：两个有理数的积是负数，
这两个数异号．
又这两个数的和也是负数，
这两个数中负数的绝对值较大．
故选：D．
变式3-1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）两数相加，如果和小于任何一个加数，那么这两个数（ ）
A．同为正数B．同为负数
C．一正数一负数D．一个为0，一个为负数
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键．
根据有理数的加法法则，两个负数相加，和也是负数，而且和的绝对值等于两个负数绝对值的和，两个负数，绝对值大的反而小，因此两个负数的和一定小于任何一个加数．
【详解】解：∵两数相加，和小于任何一个加数，
∴这两个数同为负数．
故选：B．
变式3-2．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （ ）
A．一定都是正数B．一定都是负数
C．一定是一个正数，一个负数D．至少有一个是负数
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可．
【详解】解：的值是负数，
a与b的值中至少有一个是负数．
故选：D．
变式3-3．（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（ ）
A．a、b为正数，c为负数B．a、c为正数，b为负数
C．b、c为正数，a为负数D．a、b、c均为负数
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数的加法计算法则确定出a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，是解题的关键．
【详解】解：∵，且，
∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，
∴四个选项中，只有A选项符合题意，
故A．
变式3-4．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知有理数a、b、c，且、，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】D
【分析】本题考查有理数的加法中的符号法则，根据有理数加法的符号法则：“同号相加，取相同的符号，再把绝对值相加，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行计算”，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴的符号可能同为负，也可能一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值，或者一个为负，一个为0，
∵，
∴的符号可能同为正，也可能一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值，或者一个为正，一个为0，
∴不能确定a、b、c的大小关系，
故选D．
【考点四 有理数加法在实际生活中的应用】
例4．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）某支付平台主要提供支付及理财服务，通过该平台购物、生活缴费、金融理财等可以获得相应的积分，积分可以兑换礼品或获得优惠权益． 王先生三天内积内的变动情况为：，，，，，，，，，，． 则这三天后王先生的积分增加了（ ）
A．11分B．14分C．20分D．83分
【答案】A
【分析】本题考查有理数加法的实际应用，将所有数据相加，即可得出结果．
【详解】；
故选A．
变式4-1．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）学校、家、书店依次坐落在广电南路上，学校在家的东边20米，书店在家西边100米，小琪同学从学校出发，向西走了50米，接着又向西走了70米，此时小琪的位置在（ ）
A．在家B．在学校
C．在书店D．不在上述地方
【答案】C
【分析】本题考查了数轴及有理数加法的应用，设出正负方向，从而得出正确坐标．由题意，设家为原点，向东为正方向，向西为负方向，则小琪向西走50，记作，接着又向西走70记作，从而求得结论．
【详解】解：如图，设家为原点，向东为正方向，向西为负方向，
由题意：小琪所走的路程是：（米），
此时小琪的位置在书店．
故选：C．
变式4-2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列问题情境，不能用加法算式表示的是（ ）
A．某日最低气温为，温差为，该日最高气温
B．用8元纸币购买2元文具后找回的零钱
C．数轴上表示与8的两个点之间的距离
D．水位先下降，再上升后的水位变化情况
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数加减法的实际应用，理解有理数加减法赋予的实际意义是解题关键．
根据有理数的加减法的实际意义依次判断即可．
【详解】解：A．可以表示某日最低气温为，温差为，该日最高气温，故本选项不合题意；
B．可以表示用8元纸币购买2元文具后找回的零钱，故本选项不合题意；
C．数轴上与8的两个点之间的距离是，故本选项符合题意；
D．水位先下降，再上升后的水位变化情况，能用加法算式表示，故本选项不合题意．
故选：C．
变式4-3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）足球联赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在联赛的4场比赛中得6分，这支队伍共获胜 场．
【答案】1或2
【分析】
本题考查分类讨论解决实际问题，根据题意，确定最少胜利的场数，进而分情况讨论即可得到答案，根据题意，准确分类是解决问题的关键．
【详解】解：某队在联赛的4场比赛中得6分，
某队在联赛的4场比赛中至少胜1场，
当胜1场时，得分3分，则还需平3场；
当胜2场时，得分6分，则还需负2场；
当胜3场时，得分9分，剩余的1场无论平负均无法满足条件；
综上所述，某队在联赛的4场比赛中得6分，这支队伍共获胜1或2场，
故答案为：1或2．
变式4-4．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录为：（单位：）．若每千米耗油升，则共耗油 升．
【答案】
【分析】本题主要考查正负数的意义及有理数的加减运算，正确理解正负数的意义及掌握有理数的运算法则是解题的关键．求出所记录数据的绝对值的和即为所行的所有的路程，再乘耗油量即可得出结果．
【详解】解：由题可知：
（升）．
故答案为：．
变式4-5．（23-24七年级上·广东清远·期中）快递员开摩托车从总部A地出发，在一条东西走向的街道上来回收取包裹，现记录下他连续行驶的情况如下：（规定向东为正方向，单位：千米）
5，2，，，3，，6
请问：
(1)他最后一次收取包裹后在总部A的什么位置？
(2)如果摩托车每千米耗油30毫升，出发前摩托车有油900毫升，快递员在收完包裹后能回到总部吗？
【答案】(1)在出发点的正东边6千米处
(2)快递员在收完包裹后不能回到出发点
【分析】本题考查了正数和负数、绝对值的定义，有理数四则运算的实际应用．用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示．
（1）将行驶的情况相加，再根据正、负数的定义来确定最后一次收取包裹后的位置；
（2）利用摩托车所走的路程乘以油耗，再比较即可．
【详解】（1）解：（1）
（千米）．
故最后一次收取包裹后在出发点的东边6千米处．
（2）解：
千米，
回到出发点共耗油：（毫升），
，
所以快递员在收完包裹后不能回到出发点．
【考点五 有理数加法运算率】
例5．（23-24七年级上·河北邢台·期末）是应用了（ ）
A．加法交换律B．加法结合律C．分配律D．移项
【答案】A
【分析】根据题意结合运算律即可得到答案，此题考查了加法交换律，．
【详解】解：是应用了加法交换律，
故选：A
变式5-1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键．
【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；
B. ，符合交换律，不符合题意；
C. ，不符合结合律，符合题意；
D. ，符合结合律，不符合题意；
故选C．
变式5-2．（23-24七年级上·山西吕梁·期中）下列变形中正确使用加法交换律的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法运算律逐一判断即可．
【详解】解：，利用的加括号法则，故选项A不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，利用的是加法的交换律，故选项C符合题意；
，故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
变式5-3．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）若m、n为相反数，则 为 ．
【答案】
【分析】根据相反数的定义得到，再根据加法运算律进行运算即可求解．
【详解】解：因为m、n为相反数，
所以，
所以．
故答案为：
【点睛】本题考查了相反数的意义，几个有理数的加法运算，如果两个数互为相反数，则这两个数相加得0，熟知相反数的意义是解题关键．
变式5-4．（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）加法交换律： ．
例： ；
（2）加法结合律： ．
例：[ + ]．
【答案】
【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解；
（2）由有理数的加法结合律即可得解．
【详解】（1）；
．
故答案为：．
（2）；
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键．
【考点六 有理数减法运算】
例6．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）（ ）
A．B．7C．D．3
【答案】B
【分析】此题主要考查了有理数的减法及绝对值计算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用有理数的减法运算法则计算后求绝对值即可得出答案．
【详解】解：，
故选：B．
变式6-1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算所得的结果是（ ）
A．B．C．38D．14
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．根据有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【详解】解：，
故选：C．
变式6-2．（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）下列算式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了化简多重符号以及有理数的减法应用，先根据减法和化简多重符号的法则进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D
【考点七 利用分类讨论解决有理数减法问题】
例7．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，求的值．
【答案】或．
【分析】本题考查了绝对值的性质有理数的减法运算，根据绝对值的性质可得，，然后进一步确定，从而可得当，时；当，时，再计算即可，熟练掌握绝对值的有关概念和性质是解题的关键．
【详解】由，则，
∵，，
∴，，
则当，时，
；
当，时，
，
综上可知：的值为或．
变式7-1．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）若，，且，求的值．
【答案】2
【分析】本题考查绝对值，有理数的减法，先根据绝对值的结果分别求出a，b的所有的值，再根据得出，，最后代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
或，
，
，，
．
变式7-2．（23-24七年级上·广东东莞·期中）已知．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】本题考查了绝对值的性质．
（1）先根据已知条件，求出值，再根据，求出；
（2）由（1）中求出的值，根据，取值进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，，
则；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，或，，
则或．
【考点八 有理数减法在实际生活中的应用】
例8．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）世界最高峰珠穆朗玛峰的海拔高度是8844.43米，死海湖面的海拔高度是米，我国吐鲁番盆地的海拔高度比死海湖面高262米，珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高多少米？
【答案】8998.43米
【分析】本题考查有理数的减法和加法运算，熟练掌握有理数的加法和减法的运算法则是解决本题的关键．根据正数和负数表示两个相反意义的量和有理数的加减法运算法则，即可求解．
【详解】解：吐鲁番盆地的海拔高度是：，
珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高：（米），
答：珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高8998.43米．
变式8-1．（23-24七年级上·河南许昌·期中）秋天流行病多发，某位病人早晨8时的体温是．下面是护士站记录该病人一天中的体温变化．
(1)这位病人的体温最低是多少摄氏度？
(2)若正常体温是，那么从体温变化看，这位病人的病情是在恶化还是好转？请说明原因．
【答案】(1)
(2)好转，理由见解析
【分析】本题主要考查有理数的加减运算的应用，准确的计算是解题的关键．
（1）首先利用有理数的加减法计算出每个时刻的体温，然后进行比较即可得出答案；
（2）通过分析（1）中的体温，即可得出体温的变化趋势，从而得出答案．
【详解】（1）解：11时的体温是；
14时的体温为；
17时的体温是；
20时的体温为；
23时的体温是；
2时的体温是；
5时的体温是；
8时的体温是，
∵，
∴体温最低是次日的凌晨5时，是；
（2）根据（1）求出的数据分析，该病人在逐渐好转，因为体温与正常体温的差越来越小．
变式8-2．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）某中学九（1）班学生的平均身高是166cm．
(1)上表给出了该班6名同学的身高（单位：cm），试完成上表；
(2)谁最高？谁最矮？
(3)最高与最矮的同学身高相差多少？
【答案】(1)，，，，
(2)同学最高，同学最矮；
(3)最高与最矮的同学身高相差
【分析】本题考查有理数加减法的实际应用、正负数的应用．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键．
（1）利用身高减去平均身高进行计算即可；
（2）由表格信息可确定最高和最矮的学生；
（3）确定最高和最矮的学生，两者的身高作差即可．
【详解】（1）解：∵某中学九（1）班学生的平均身高是166cm．
∴完善表格如下：
（2）同学身高，最高，同学身高，最矮；
（3）∵，
∴最高与最矮的同学身高相差．
【考点九 有理数加减混合运算】
例9．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）计算下列各题：
(1)
(2)
【答案】(1)8
(2)
【分析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则．
（1）根据有理数的加减混合运算法则即可求解；
（2）根据有理数的加减混合运算法则即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式9-1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算．
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算；
（1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
变式9-2．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【分析】（）根据有理数的加法运算法则计算即可；
（）根据有理数的加减运算法则计算即可；
（）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可；
（）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可；
（）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可；
本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
，
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
，
；
（5）解：原式
，
．
【考点十 有理数加减混合运算的实际应用】
例10．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数）
北京时间早晨6点时，纽约的当地时间是（ ）点．
A．当天凌晨1点B．当天晚上7点C．前一天晚上7点D．前一天下午5点
【答案】D
【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数加减法的实际应用，先求出北京时间比纽约时间早小时，再用北京早晨6点的时间减去早的时间即可得到答案．
【详解】解：，
∴北京时间早晨6点时，纽约的当地时间是前一天的下午5点，
故选：D．
变式10-1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）2023年9月23日至10月8日杭州亚运会期间，河南某体育用品商店推出一系列打折让利活动，某星期的盈亏情况如表（盈余为正，亏损为负，单位：元）所示：表中星期五的数据被墨水覆盖了，则被墨水覆盖的数据是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的加减及正负数的意义，利用加减法法则计算星期五的盈亏钱数即可解答．
【详解】解：．
故选D．
变式10-2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）五个国际大都市的时差（单位：时）在数轴上表示如下图，那么当北京时间为2023年11月9日9时，下列选项中时间正确的应该是（ ）
A．东京时间2023年11月9日8时B．迪拜时间2023年11月9日5时
C．伦敦时间2023年11月9日2时D．纽约时间2023年11月8日19时
【答案】A
【分析】本题考查了数轴及有理数的加减的应用，理解时区的含义是解题关键．按照图示，将其他四个地区时间依次求出即可判断．
【详解】解：由图得：当北京时间2023年11月9日9时，
由于，故东京时间应为2023年11月9日8时，故A选项正确；
由于，故迪拜时间应为2023年11月9日13时；故B选项错误；
由于，故伦敦时间应为2023年11月9日17时，故C选项错误；
由于，故汉城时间应为2023年11月9日22时，故D选项错误．
故选：A．
变式10-3．（23-24七年级上·天津宁河·期中）出租车司机小张某天下午的营运都是在一条东西走向的大道上，如果规定向东为正，向西为负，那么这天下午小张的行车路程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，
(1)当小张将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点多少千米？
(2)若每千米的营运额为5元，则小张这天下午的总营运额为多少元？
(3)在(2)的条件下，如果营运成本为每千米1.5元，那么这天下午小张盈利 元．
【答案】(1)他离出发地点3千米
(2)小张这天下午的总营运额为575元
(3)402.5
【分析】本题考查有理数运算的实际应用．解题是读懂题意，正确的列出算式．
（1）将所有数据相加，根据和的情况进行分析即可；
（2）将所有数据的绝对值相加，再乘以每千米的营运额即可；
（3）用总路程乘以每千米的盈利计算即可．
【详解】（1）解：（千米），
当小张将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点3千米；
（2）（千米），
小张这天下午的总营运额为：（元；
（3）由（2）知，小张这天下午的总营运路程为115千米，
这天下午小张盈利为：（元．
【考点十一 运用运算律简化有理数的加减运算】
例11．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）计算：．
【答案】9
【分析】
本题考查有理数混合运算，先根据数的特征分组，再将小数化为分数，利用同分母分数加减运算求解，最后由有理数的加法运算求解即可得到答案，熟练掌握分数加减运算是解决问题的关键．
【详解】
解：
．
变式11-1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．分母相同的两个数分别结合为一组求解．
【详解】解：
．
变式11-2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则和运算律是解题的关键．
（1）利用有理数的加减混合运算的法则和加法的运算律解答即可；
（2）利用有理数的加减混合运算的法则和加法的运算律解答即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【考点十二 巧用拆项法简化有理数的加减运算】
例12．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）阅读下题的计算方法
计算：
解：原式
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据拆项法将所求式子拆分计算即可．
【详解】解：原式
．
变式12-1．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【详解】（1）解：
（2）
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键．
一、单选题
1．（23-24七年级上·广东潮州·期中）若两个数之和为正数，则这两个数（ ）
A．都是正数B．只有一个正数
C．至少有一个是正数D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数加法的计算是解题的关键．若两个数之和为正数，可以是两个正数相加，正数加负数或者正数加0，据此得出结论即可．
【详解】解：∵两个数之和为正数，
∴可以是两个正数相加，或正数加负数或者正数加零，
故选：C．
2．（23-24七年级上·山西阳泉·期中）下面是小王存折存取记录的一部分，根据其中提供的信息，截止2023年8月20日，此张存折的余额为（ ）
A．19450元B．8550元C．7650元D．7550元
【答案】D
【分析】
本题考查了正负数的意义，以及有理数的加减运算的应用，根据题意列式计算，即可求解．
【详解】
解：，
（元）．
答：此张存折的余额为7550元．
故选：D．
3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若，则点A表示的数为（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】A
【分析】
本题考查了数轴，两点间的距离．根据，，由，即可得到点A表示的数．
【详解】解：，，
，
点A表示的数为，
故选：A．
4．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）数轴上点A表示2，则与点A的距离为3个单位长度的点表示的数是（ ）
A．5B．5或C．或D．5或
【答案】D
【分析】
本题主要考查了数轴上两点的距离计算，分该点在点A右边与左边两种情况利用数轴上两点距离计算公式求解即可．
【详解】解：当该点在点A右边与点A距离为3个单位长度时，则该点表示的数为；
当该点在点A左边与点A距离为3个单位长度时，则该点表示的数为；
综上所述，该点表示的数为5或，
故选：D．
5．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）将式子省略括号和加号后变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可．
【详解】解：将式子省略括号和加号后变形正确的是，
故选：A．
6．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）两个有理数的和为零，则这两个数（ ）
A．相等B．互为相反数C．都是零D．一定有一个数是零
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数的加法、相反数，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键．根据有理数的加法运算法则解答即可．
【详解】解：两个有理数的和为零，则这两个数互为相反数．
故选：B．
7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知：，且，，则的值等于（ ）
A．1或B．3或C．3或1D．或
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值，本题解题的关键在于，理解一个数的绝对值的含义是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．再就是两数乘积小于0，则这两个数一正一负，异号；若两个数乘积大于0，则这两数同正或者同负，同号．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，即：，同号，
∴当时，，此时：，
当时，，此时：，
故的值为1或，
故选：A．
8．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的加减计算，根据数轴可得，进而得到，，，进一步推出，，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴正确的有①②③，
故选：C．
9．（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）有理数、在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式①；②；③；④；⑤，一定成立的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的大小比较、乘法运算及有理数的数轴表示方法，在利用有理数在数轴上的对应点对有理数的大小进行判断的基础上找出正确选项是解题的关键．
根据数轴确定a、b的范围，即可解答．
【详解】解：由数轴可得：，
∴；；；；，
∴正确的有：①③④⑤，共4个，
故选：B．
10．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记水位比前一日下降数）（单位：m）：
则下列说法正确的有（ ）
①这个星期的水位总体下降了0.01m；
②本周中星期一的水位最高；
③本周中星期六的水位比星期二下降了0.43m．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的加减等知识，根据正数和负数表示相反意义的量和有理数的加减即可解此题，理解正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．
【详解】解：①
故这个星期的水位总体下降了m，①正确；
②星期一：
星期二：
星期三：
星期四：
星期五：
星期六：
星期天：
本周中星期一的水位最高，②正确；
③本周中星期六的水位比星期二下降了：，③正确；
综上所述，下列说法正确的有：①②③
故答案为：．
二、填空题
11．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知，，且，则的值为 ．
【答案】或/或
【分析】本题主要考查绝对值的性质和有理数的加法，先判断出a和b的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，或，
又∵，
∴，或，，
∴或
故答案为：或．
12．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
13．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）设为最小的正整数，和互为相反数，是绝对值最小的有理数，则的值为 ．
【答案】2
【分析】
本题主要考查有理数，相反数，绝对值等知识点，由a为最小的正整数，b和a互为相反数，c是绝对值最小的有理数，可分别得出a、b、c的值，代入计算可得结果，能正确判断有关概念是解题的关键．
【详解】
∵a为最小的正整数，
∴，
∵b和a互为相反数，
∴，
∵c是绝对值最小的有理数，
∴，
∴，
故答案为：2．
14．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加法运算以及加法运算律，根据加法运算律添加大括号，简便计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
15．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有“质量为、、”的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多能相差 kg．
【答案】
【分析】本题考查了正负数的应用， 解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．注意：理解题意能求出质量的最大值和最小值是解此题的关键．根据题意给出三袋面粉的质量波动范围，并求出任意两袋质量相差的最大数．
【详解】解：由题可知面粉的质量最小为：，
面粉的质量大为：，
任意两袋质量相差的最大为：．
故答案为：．
三、解答题
16．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，
(1)数轴上的点A、B、C、D表示的数分别是______、______、______、______；
(2)A、B两点间的距离是______个单位长度；
(3)A、D两点间的距离是______个单位长度．
【答案】(1)1；2.5；；
(2)1.5
(3)4
【分析】此题考查数轴上点与数的一一对应关系，以及在数轴上求两点之间的距离的方法．
（1）根据在数轴上点与数的对应写出即可；
（2）在数轴上，求两点之间的距离，用右边的点表示的数减去左边的点表示得数即可；
（3）在数轴上，求两点之间的距离，用右边的点表示的数减去左边的点表示得数即可．
【详解】（1）解：由图可知：数轴上的点，，，表示的数分别是：1，2.5，，，
故答案为：1，2.5，，；
（2），
所以，两点间的距离是1.5个单位长度；
故答案为： 1.5；
（3），
所以，两点间的距离是4个单位长度．
故答案为：4．
17．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）（1）；
（2）．
【答案】（1）9；（2）8
【分析】本题考查有理数的加减混合运算．
（1）先去括号和绝对值，再进行加减计算即可；
（2）先去括号，再进行加减计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）已知，，
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题主要考查绝对值的定义，有理数的乘法运算的含义，有理数的加减运算的含义，熟练掌握绝对值的定义，由已知条件确定，的值是解题关键．
（1）根据绝对值的定义确定，可能的取值，再根据讨论确定，的值再计算即可得到答案．
（2）根据绝对值的定义确定，可能的取值，再根据讨论确定，的值再计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
，
，
，
或．
（2）∵，，
，
，
或，
或．
19．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，．
【初步体验】
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）：
①_______；②_______；③_______；④_______．
【拓广应用】
（2）合适的方法计算：_______．
（3）简便的方法计算：．
【答案】（1）①；②；③；④ （2）（3）
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键．
（1）①②③④根据题目可得规律当时，；当时；当时，；运用规律可得答案；
（2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案．
（3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案．
【详解】解：（1）由题目运算可得：当，时，；当时；当时，；
①∵
∴；
②∵，
∴；
③∵，
∴；
④∵
∴；
故答案为为：；；；．
（2），
故答案为：．
（3）
．
20．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）定义一种新运算：．例如：．
(1)计算：；
(2)求的绝对值．
【答案】(1)0
(2)4
【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
（1）根据题意得出运算的式子即可；
（2）根据题意得出运算的式子计算即可，再求绝对值
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：，
∴
，
∵，
∴的绝对值是4．模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1. 使学生掌握有理数加/减法法则，掌握加法运算律；
2. 有理数加减法混合运算，灵活运用运算律简化计算.
时间
11时
14时
17时
20时
23时
2时（次日）
5时
8时
体温变化
姓名
A
B
C
D
E
F
身高
170
160
175
与平均身
高的差值
+4
+7
+2
姓名
A
B
C
D
E
F
身高
170
160
175
与平均身
高的差值
+4
+7
+2
城市
伦敦
北京
东京
多伦多
纽约
国际标准时间
0
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
200
1381
38
188
458
试题：计算：．
小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算．
小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程：
解：原式
．
老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习．
日期
存入（）/支出（）
余额
20230630
13500
20230715
20230820
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化
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