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2024年华东师大版七年级数学暑期提升精讲 第07讲 有理数的混合运算与近似数(知识点+练习)
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1. 有理数混合运算
运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2)同级运算，从左到右依次进行；
3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行.
【补充】加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）.
2.近似数
近似数的概念：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数.
准确数的概念：与实际完全符合的数值称为准确数.
精确度的概念：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
【补充说明】
1）一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度.
2）带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位.
3）对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6×105.
4）求用科学记数法表示数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0.
【考点一 有理数混合运算】
例1．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算：
(1)．
(2)．
变式1-1．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
(4)
变式1-2．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【考点二 有理数混合运算的八种技巧】
【类型一 凑整法】
【解题思路】将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消.
例2．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）计算：．
变式2-1．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）用简便方法计算：
(1)
变式2-2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【类型二 拆项法】
【解题思路】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.
例3．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下题的计算方法．
计算：．
解：原式
．
上面这种解题方法叫拆项法．
按此方法计算：．
变式3-1．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算：
(1)．
(2)．
【类型三 组合法】
【解题思路】找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消，从而简化题目.
例4．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算．
(1)
(2)
变式4-1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题：
(1)计算：
①______；
②______．
(2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置
变式4-2．（24-25七年级上·全国·假期作业）简算，并写出简算过程．
．
【类型四 相互转化法】
【解题思路】先统一成分数，再算乘除即可
例5．（23-24六年级下·上海·期中）计算：．
变式5-1．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：．
变式5-2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
【类型五 裂项相消法】例6．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题．
【类比探究】（1）猜想并写出：______；
【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：；
【迁移应用】（3）探究并计算：．
变式6-1．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）请你观察：
，，；…
；
；
以上方法称为“裂项相消求和法”．
请类比完成：
(1)猜想并写出：______；
(2)规律应用：计算：；
(3)拓展提高：计算：．
变式6-2．（21-22七年级上·贵州遵义·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题．
【类比探究】（1）猜想并写出：________；
【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：；
【迁移应用】（3）探究并计算：．
【类型六 巧用分配律计算】
例7．（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算
变式7-1．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
计算：
(1)；
(2)；
(3)．
变式7-2．（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：；
（2）计算：．
【类型七 巧用倒数法计算】
例8．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料，计算：．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为．
故原式．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的．
请你选择合适的解法解答下列问题：
计算：
（1）；
（2）．
变式8-1．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）阅读下列材料，完成下面任务：
任务：
(1)材料中的方法1是先求括号内的 运算，再求括号外的 运算．（填“加法”“减法”“乘法”“除法”）
(2)小明联想到材料的方法，给出了如下解法．
解：原式
．
显然小明的解法是错误的，错误的原因是 ．
(3)根据材料中的方法2计算：．
变式8-2．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读材料：
请你根据对材料的理解，选择合适的方法计算：．
变式8-3．（23-24七年级上·吉林白城·阶段练习）数学老师布置了一道思考题：计算，小明仔细思考了一番，用了一种方法解决了这个问题．
小明的解法：原式的倒数为．．．．．第一步
．．．．．．．第二步
．．．．．．第三步
．．．．．第四步．所以．
(1)小明的解法第二步到第三步的运算依据是什么？
(2)请你运用小明的解法，计算．
【类型八 变形相加法】
例9．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读材料：求的值．
解：设
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：
(1)
(2)
变式9-1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值．
变式9-2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）阅读下面文字，回答后面问题：求的值．
解：令①
将等式两边同时乘5，得
②
②①，得，
．
问题：
(1)求的值；
(2)求的值．
【考点三 求一个数的近似数】
例10．（24-25七年级上·全国·假期作业）用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数．
(1)0.6328（精确到0.01）；
(2)7.9122（精确到个位）；
(3)47155（精确到百位）；
(4)130.06（精确到0.1）；
(5)4602.15（精确到千位）．
变式10-1．（23-24七年级上·全国·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上．
（）（精确到）； ；
（）（精确到十分位）； ；
（）（精确到）； ；
（）（精确到个位）； ；
（）（精确到）； ；
（）（精确到千分位）． ．
变式10-2．（22-23七年级上·广西崇左·阶段练习）按要求完成下列各题：
(1)用科学记数法表示以下各数：300000= ； ；11万= ；亿= ．
(2)按要求去以下各数的近似数： （精确到个位）； （精确到）； （精确到千位）；2567000≈ （精确到万位）
变式10-3．（2022七年级上·浙江·专题练习）用四舍五入法按下列要求取各数的近似数：
(1)0.4605（精确到0.01）；
(2)3.955（精确到十分位）；
(3)132.5667（精确到千分位）；
(4)86.4（精确到个位）；
(5)1.820648（精确到小数点后第四位）；
(6)4.6298（精确到千分位）．
【考点四 支出一个近似数精确到哪一位】
例11．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列各数精确到什么位？请分别指出来．
(1)．
(2)．
(3)．
(4)万．
变式11-1．（2022七年级·全国·专题练习）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)600万
(2)7.03万
(3)5.8亿
(4)3.30×105
变式11-2．（2022七年级下·上海·专题练习）写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位？
(1)2000；
(2)4.523亿；
(3)；
(4)0.00125．
一、单选题
1．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，将四条长为，宽为的长方形纸条垂直相交平放在桌面上，则桌面被盖住的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习），括号里应该填（ ）
A．B．0C．1D．
3．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）为了求的值，可令则，因此，所以，仿照以上计算出的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24七年级上·河南新乡·期中）下列计算：①；②；③；④．其中错误的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）清晨蜗牛从树根沿着树干往上爬，树高，白天爬，夜间下滑，它从树根爬上树顶，需（ ）
A．9天B．10天C．11天D．12天
8．（23-24七年级上·广东广州·期中）用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．2.1（精确到B．2.06（精确到百分位）
C．2.0（精确到十分位）D．2.0603（精确到
9．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位B．万精确到个位
C．精确到千分位D．精确到千位
10．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）期中考试后，小明用计算器计算出他六科的平均成绩为分．对小明这六科的平均成绩，下面用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是（ ）
A．（精确到千分位）B．（精确到）
C．（精确到）D．（精确到个位）
二、填空题
11．（23-24七年级上·广东深圳·期中）对于任意有理数a，b，规定，如，则 ．
12．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）计算： ．
13．（23-24七年级上·湖北孝感·期中）计算：的值为 ．
14．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： ．
15．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算 ．
16．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在学习了有理数的运算后，小明定义了新的运算“※”，当时，；当时，．例如∶，，利用“加、减、乘、除”以及新运算法则进行运算，下列运算中正确的是 ．
①；
②；
③；
④．
三、解答题
17．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）计算：
18．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
，，，．
(1)独立思考：解答王老师提出的问题：第5个式子为______，第n个式子为______．
(2)实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算：；
(3)问题拓展，求；
19．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算，能简算的要简算．
(1)(2)
(3)(4)
20．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？”
(1)图纸要求精确到2.80m，原轴的长度范围是多少？
(2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？
21．（23-24七年级上·全国·课后作业）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)（精确到百分位）；
(2)（精确到万位）；
(3)（精确到百位）．模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.正确应用有理数混合运算法则；
2.灵活运用运算律，使计算简便；
3.掌握近似数的相关概念，能通过四舍五入的方法得到符合要求的近似数.
试题：计算：．
小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算．
小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程：
解：原式
．
老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习．
逆用乘法分配律解题
我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多
巧用乘法分配律计算
周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题：
计算：，该杂志上的解法有如下两种方法：
解：方法1：原式＝；
方法2：原式的倒数＝，
所以原式．
计算：．
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．
解：原式的倒数
．
故原式．
1. 有理数混合运算
运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2)同级运算，从左到右依次进行；
3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行.
【补充】加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）.
2.近似数
近似数的概念：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数.
准确数的概念：与实际完全符合的数值称为准确数.
精确度的概念：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
【补充说明】
1）一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度.
2）带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位.
3）对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6×105.
4）求用科学记数法表示数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0.
【考点一 有理数混合运算】
例1．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算：
(1)．
(2)．
变式1-1．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
(4)
变式1-2．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【考点二 有理数混合运算的八种技巧】
【类型一 凑整法】
【解题思路】将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消.
例2．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）计算：．
变式2-1．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）用简便方法计算：
(1)
变式2-2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【类型二 拆项法】
【解题思路】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.
例3．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下题的计算方法．
计算：．
解：原式
．
上面这种解题方法叫拆项法．
按此方法计算：．
变式3-1．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算：
(1)．
(2)．
【类型三 组合法】
【解题思路】找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消，从而简化题目.
例4．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算．
(1)
(2)
变式4-1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题：
(1)计算：
①______；
②______．
(2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置
变式4-2．（24-25七年级上·全国·假期作业）简算，并写出简算过程．
．
【类型四 相互转化法】
【解题思路】先统一成分数，再算乘除即可
例5．（23-24六年级下·上海·期中）计算：．
变式5-1．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：．
变式5-2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
【类型五 裂项相消法】例6．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题．
【类比探究】（1）猜想并写出：______；
【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：；
【迁移应用】（3）探究并计算：．
变式6-1．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）请你观察：
，，；…
；
；
以上方法称为“裂项相消求和法”．
请类比完成：
(1)猜想并写出：______；
(2)规律应用：计算：；
(3)拓展提高：计算：．
变式6-2．（21-22七年级上·贵州遵义·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题．
【类比探究】（1）猜想并写出：________；
【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：；
【迁移应用】（3）探究并计算：．
【类型六 巧用分配律计算】
例7．（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算
变式7-1．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
计算：
(1)；
(2)；
(3)．
变式7-2．（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：；
（2）计算：．
【类型七 巧用倒数法计算】
例8．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料，计算：．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为．
故原式．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的．
请你选择合适的解法解答下列问题：
计算：
（1）；
（2）．
变式8-1．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）阅读下列材料，完成下面任务：
任务：
(1)材料中的方法1是先求括号内的 运算，再求括号外的 运算．（填“加法”“减法”“乘法”“除法”）
(2)小明联想到材料的方法，给出了如下解法．
解：原式
．
显然小明的解法是错误的，错误的原因是 ．
(3)根据材料中的方法2计算：．
变式8-2．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读材料：
请你根据对材料的理解，选择合适的方法计算：．
变式8-3．（23-24七年级上·吉林白城·阶段练习）数学老师布置了一道思考题：计算，小明仔细思考了一番，用了一种方法解决了这个问题．
小明的解法：原式的倒数为．．．．．第一步
．．．．．．．第二步
．．．．．．第三步
．．．．．第四步．所以．
(1)小明的解法第二步到第三步的运算依据是什么？
(2)请你运用小明的解法，计算．
【类型八 变形相加法】
例9．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读材料：求的值．
解：设
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：
(1)
(2)
变式9-1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值．
变式9-2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）阅读下面文字，回答后面问题：求的值．
解：令①
将等式两边同时乘5，得
②
②①，得，
．
问题：
(1)求的值；
(2)求的值．
【考点三 求一个数的近似数】
例10．（24-25七年级上·全国·假期作业）用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数．
(1)0.6328（精确到0.01）；
(2)7.9122（精确到个位）；
(3)47155（精确到百位）；
(4)130.06（精确到0.1）；
(5)4602.15（精确到千位）．
变式10-1．（23-24七年级上·全国·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上．
（）（精确到）； ；
（）（精确到十分位）； ；
（）（精确到）； ；
（）（精确到个位）； ；
（）（精确到）； ；
（）（精确到千分位）． ．
变式10-2．（22-23七年级上·广西崇左·阶段练习）按要求完成下列各题：
(1)用科学记数法表示以下各数：300000= ； ；11万= ；亿= ．
(2)按要求去以下各数的近似数： （精确到个位）； （精确到）； （精确到千位）；2567000≈ （精确到万位）
变式10-3．（2022七年级上·浙江·专题练习）用四舍五入法按下列要求取各数的近似数：
(1)0.4605（精确到0.01）；
(2)3.955（精确到十分位）；
(3)132.5667（精确到千分位）；
(4)86.4（精确到个位）；
(5)1.820648（精确到小数点后第四位）；
(6)4.6298（精确到千分位）．
【考点四 支出一个近似数精确到哪一位】
例11．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列各数精确到什么位？请分别指出来．
(1)．
(2)．
(3)．
(4)万．
变式11-1．（2022七年级·全国·专题练习）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)600万
(2)7.03万
(3)5.8亿
(4)3.30×105
变式11-2．（2022七年级下·上海·专题练习）写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位？
(1)2000；
(2)4.523亿；
(3)；
(4)0.00125．
一、单选题
1．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，将四条长为，宽为的长方形纸条垂直相交平放在桌面上，则桌面被盖住的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习），括号里应该填（ ）
A．B．0C．1D．
3．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）为了求的值，可令则，因此，所以，仿照以上计算出的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24七年级上·河南新乡·期中）下列计算：①；②；③；④．其中错误的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）清晨蜗牛从树根沿着树干往上爬，树高，白天爬，夜间下滑，它从树根爬上树顶，需（ ）
A．9天B．10天C．11天D．12天
8．（23-24七年级上·广东广州·期中）用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．2.1（精确到B．2.06（精确到百分位）
C．2.0（精确到十分位）D．2.0603（精确到
9．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位B．万精确到个位
C．精确到千分位D．精确到千位
10．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）期中考试后，小明用计算器计算出他六科的平均成绩为分．对小明这六科的平均成绩，下面用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是（ ）
A．（精确到千分位）B．（精确到）
C．（精确到）D．（精确到个位）
二、填空题
11．（23-24七年级上·广东深圳·期中）对于任意有理数a，b，规定，如，则 ．
12．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）计算： ．
13．（23-24七年级上·湖北孝感·期中）计算：的值为 ．
14．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： ．
15．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算 ．
16．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在学习了有理数的运算后，小明定义了新的运算“※”，当时，；当时，．例如∶，，利用“加、减、乘、除”以及新运算法则进行运算，下列运算中正确的是 ．
①；
②；
③；
④．
三、解答题
17．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）计算：
18．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
，，，．
(1)独立思考：解答王老师提出的问题：第5个式子为______，第n个式子为______．
(2)实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算：；
(3)问题拓展，求；
19．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算，能简算的要简算．
(1)(2)
(3)(4)
20．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？”
(1)图纸要求精确到2.80m，原轴的长度范围是多少？
(2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？
21．（23-24七年级上·全国·课后作业）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)（精确到百分位）；
(2)（精确到万位）；
(3)（精确到百位）．模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.正确应用有理数混合运算法则；
2.灵活运用运算律，使计算简便；
3.掌握近似数的相关概念，能通过四舍五入的方法得到符合要求的近似数.
试题：计算：．
小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算．
小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程：
解：原式
．
老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习．
逆用乘法分配律解题
我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多
巧用乘法分配律计算
周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题：
计算：，该杂志上的解法有如下两种方法：
解：方法1：原式＝；
方法2：原式的倒数＝，
所以原式．
计算：．
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．
解：原式的倒数
．
故原式．
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