2024年华东师大版七年级数学暑期提升精讲 第16讲 整式及其加减章末九大题型总结(知识点+练习)

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【题型一】整式的相关概念辨析
1．（23-24七年级上·云南昆明·期末）下列说法正确的是（ ）
A．是整式B．是单项式
C．单项式的系数是，次数是5D．多项式是五次三项式
【答案】B
【分析】本题考查整式的相关概念，根据整式的定义，单项式的定义，单项式的系数，次数，多项式的项数和次数的定义，逐一进行判断即可．掌握相关定义，是解题的关键．
【详解】解：A、不是整式，故选项错误；
B、是单项式，选项正确；
C、单项式的系数是，次数是5，故选项错误；
D、多项式是四次三项式，故选项错误；
故选B．
2．（23-24七年级上·广西玉林·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．不是整式B．多项式是整式
C．单项式的系数是D．多项式是四次三项式
【答案】B
【分析】此题考查的是单项式与多项式，掌握表示数与字母积的式子叫单项式，单独数与字母也叫单项式；几个单项式的和叫多项式；单项式和多项式统称整式是解决此题的关键．
根据单项式与多项式，整式的相关定义解答即可．
【详解】解：A、x是整式，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、多项式是整式，原说法正确，故此选项符合题意；
C、单项式的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、多项式是三次三项式，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）单项式的次数是 ．
【答案】5
【分析】
此题考查了单项式的次数，根据单项式的次数是单项式中所有字母的指数和进行解答即可．
【详解】解：单项式的次数是，
故答案为：5
4．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）已知是关于的四次单项式，则的值为
【答案】
【分析】本题考查了单项式的定义及其有关概念，代数式求值，根据单项式定义及次数的概念求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握单项式的定义及其有关概念是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的四次单项式，
∴，且，，
∴，，
∴，
故答案为：．
5．（23-24六年级下·全国·假期作业）多项式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ．
【答案】 7 4
【分析】本题考查多项式的项，解答本题需要我们掌握多项式中次数、项数的定义．
【详解】解：多项式的二次项系数是，三次项系数是7，常数项是，次数最高项的系数是4．
故答案为：，7，，4．
6．（23-24七年级上·上海青浦·期中）把多项式按字母的升幂排列是 ．
【答案】
【分析】本题考查了将多项式按每个字母升幂（降幂）排列．
根据升幂排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列起来即可．
【详解】把多项式按字母的升幂排列是
故答案为：．
【题型二】（合并）同类项
7．（24-25七年级上·全国·假期作业）1.在下列单项式中：①；②； ③； ④； ⑤；⑥，说法正确的是（ ）
A．②③⑤是同类项B．②与③是同类项C．②与⑤是同类项D．①④⑥是同类项
【答案】B
【分析】本题考查了同类项的判定，掌握同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数相等，是判断同类项的关键．根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），即可判断．
【详解】解：A、②③是同类项，⑤与②③不是同类项，故不符合题意；
B、②与③是同类项，故符合题意；
C、②和⑤所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故不符合题意；
D、①④⑥所含字母不同，不是同类项．故不符合题意；
故选：B．
8．（2024·河南周口·三模）如果单项式：与的和仍为单项式，则 ．
【答案】1
【分析】此题考查同类项定义，根据两个单项式的和仍为单项式可得与是同类项，由此求出m，n的值，代入计算可得答案．
【详解】解：∵与的和仍为单项式，
∴与是同类项，
，
∴，
故答案为：1．
9．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）先化简，再求值：
(1)，其中．
(2)已知与是同类项，求的值．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查整式的化简求值及同类项，
（1）将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可；
（2）将原式化简，再根据同类项的定义求得，的值，然后将其代入化简结果中计算即可；
熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
当时，
原式；
（2）
，
∵与是同类项，
∴，，
∴，，
原式．
10．（22-23七年级上·云南昆明·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)化简：；
(4)化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．去括号法则和合并同类项法则，准确计算．
（1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；
（3）先去括号，再合并同类项即可；
（4）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
11．（22-23七年级上·山东青岛·期中）化简：
(1)
(2)
(3)．其中
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，整式的加减，熟知相关计算法则是解题的关键。
（1）先算乘法，去括号，再进行加减即可；
（2）先算乘法，去括号，再进行加减即可；
（3）先算乘法，去括号，再进行加减，最后代入求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
，
当时，
原式．
【题型三】单项式、多项式规律问题
12．（23-24九年级下·云南玉溪·阶段练习）按一定规律排列的单项式：x，，，，，，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了单项式的规律探寻，根据给出的单项式找出系数和次数的规律是解题的关键，找出给出的一列单项式的系数和次数的规律即可解答．
【详解】解：单项式的系数分别是，
次数的规律是从1开始的连续的奇数，即，
第个单项式是：，
故选：B．
13．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则：
（1）它的第5项是 ；
（2）当时，多项式前100项的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查多项式中的规律探究．解题的关键是得到多项式按照的升幂排列，第项为．
（1）由多项式的构成，可知第项为，进而得到第5项即可；
（2）当时，得到和为：，进行计算即可．
【详解】解：（1）由题意，可知：多项式按照的升幂排列，第项为，
∴它的第5项是；
故答案为：；
（2）当时，多项式前100项的和为
．
故答案为：．
14．（22-23七年级上·山西忻州·期中）观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2021个多项式是 ．
【答案】
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．
【详解】解：多项式的第一项依次是，，，，，
第二项依次是，，，
则可以得到第2021个多项式是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．
15．（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）观察下列单项式的特点：．
(1)按此规律写出第6个单项式；
(2)按此规律写出第2023个单项式；
(3)试猜想第个单项式是什么？它的系数和次数分别是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)，它的系数,次数是
【分析】本题考查了整式的规律探索题、单项式的系数及次数：
（1）根据规律即可求解；
（2）根据规律即可求解；
（3）根据规律得第个单项式是，根据单项式的系数及次数即可求解；
准确找出规律是解题的关键．
【详解】（1）解：按此规律得第6个单项式为：．
（2）按此规律得第2023个单项式为：．
（3）按此规律得第个单项式是，
它的系数,次数是．
16．（22-23七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面的三行单项式
、……
、……
、……
根据你发现的规律：
(1)第①行第n个单项式为
(2)第②行第n个单项式为
(3)第③行第n个单项式为
(4)取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当x＝时，512（A＋）的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）观察第①行式子的特点，可得第n个数是 ；
（2）观察第②行式子的特点，可得第n个数是；
（3）观察第③行式子的特点，可得第n个数是 ；
（4）先求出A，再将 x值代入计算即可．
【详解】（1）观察第①行的每个单项式可知：
系数依次，次数依次，
∴第n个单项式为；
故答案为：；
（2）观察第②行的单项式可知：
第奇数个是负数，第偶数个是正数，系数和次数同（1），
∴第n个单项式为；
故答案为：；
（3）观察第③行单项式可知：
在（1）、（2）的基础上符号与（2）的相反，
（1）的系数，次数可得（3）系数的绝对值和次数，
∴第n个单项式为．
故答案为：．
（4），
．
答：当时，的值为．
【点睛】本题考查了整式中单项式的变化规律，能够通过所给例子，找到数字的规律，利用整式的加减运算法则是解题的关键．
17．（22-23六年级上·全国·单元测试）已知多项式．
(1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗
(2)最后一项的系数的值为多少
(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么
【答案】(1)十次十一项式；
(2)；
(3)；
【分析】（1）该多项式按照的降幂排列，每一项的次数是，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号即可解答；
（2）观察已知多项式每一项的系数即可得到最后一项的系数的值；
（3）结合（1）即可得到多项式的第七项和第八项．
【详解】（1）解：∵多项式是按照的降幂排列，
∴该多项式有项，并且每一项的次数是，
∴该多项式是十次十一项式；
（2）解：∵多项式有项，
∴每一项的系数是，且偶数项为负数，奇数项为正数，
∴第项的系数为，
∴第项的系数为，
∴,
∴最后一项的系数的值为．
（3）解：∵多项式第项的系数为，
∴第七项的系数是，第八项的系数是，
∵多项式按照的降幂排列，且每一项的次数是，
∴第七项是, 第八项,
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化列，多项式的的有关概念，理解多项式的项，项数，次数是解题的关键．
【题型四】整体代入法求值
18．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则；我们将作为一个整体代入，则原式．咱仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)若，求的值：
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式加减化简求值：
（1）把化为的形式，然后整体代入计算；
（2）得，再把化为的形式，最后整体代入计算；
掌握整式的加减的计算法则，理解题意根据题目要求用整体思想解题是关键．
【详解】（1）解：，
因为，
所以，
所以；
（2）解：依题意，，
故得，
那么，
所以．
19．（23-24七年级上·河南许昌·期末）【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容．
“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程；
(2)【简单应用】
已知，则的值为__________．
【答案】(1)，
(2)2
【分析】本题主要考查了整式的加减运算，代数式的求值，整体代入是解题的关键；
（1）把看作一个整体，合并同类项，即可进行化简；
（2）先把看作一个整体，合并同类项，再整体代入计算即可；
【详解】（1）解：令，
则原式
∵，，
∴，
∴原式．
（2）解：
20．（23-24七年级上·福建莆田·期末）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)已知，在求的值时，可这样变换：．
仿照求的值．
(2)已知，，求的值．
【答案】(1)的值为12
(2)的值为1
【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握整体代入的思想，把整式进行适当的变形是解题的关键．
（1）根据，再整体代入计算即可求解；
（2）由已知得到，，再整体代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴
．
21．（22-23七年级上·辽宁营口·期中）阅读材料：我们知道，，我们把看成一个整体，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)尝试应用：把看成个整体，合并的结果是 ；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了合并同类项、代数式求值等知识点，掌握整体思想是解题的关键．
（1）将当作一个整体合并同类项即可；
（2）将原式变形成，然后将整体代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
．
故答案为：．
（2）解：．
22．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（A级选做题）
（1）把看成一个整体，合并______；
（2）运用“整体思想”合并；
（3），则______．
（B级选做题）
（1）把看成一个整体，合并______；
（2）已知，运用“整体思想”求的值；
（3）若，则______．
（C级选做题）
（1）把看成一个整体，合并______；
（2）已知，运用“整体思想”求的值；
（3）若，则______．
【答案】（A级选做题）（1）2；（2）；（3）2；（B级选做题）（1）2；（2）；（3）；（C级选做题）（1）2；（2）；（3）．
【分析】本题考查了整式的加减、求代数式的值，解此题的关键是采用整体代入的思想进行计算．
（A级选做题）
（1）运用“整体思想”合并同类项即可；
（2）运用“整体思想”合并同类项即可；
（3）把写成，整体代入计算即可；
（B级选做题）
（1）运用“整体思想”合并同类项即可；
（2）把写成，整体代入计算即可；
（3）由可得，把写成，整体代入计算即可；
（C级选做题）
（1）运用“整体思想”合并同类项即可；
（2）将写成，整体代入计算即可；
（3）由可得，再将写成，整体代入计算即可．
【详解】解：（A级选做题）
（1），
故答案为：；
（2）；
（3），
，
故答案为：；
（B级选做题）
（1），
故答案为：；
（2），
；
（3），
，
，
故答案为：；
，则
（C级选做题）
（1），
故答案为：；
（2），
，
（3），
，即，
故答案为：．
【题型五】整式加减中的错看问题
23．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）某同学把错抄成，若符合题意的答案为，抄错后的结果为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是整式的加减运算．设框表示的数为，再表示正确的结果为：，抄错后的结果为：，再列式计算即可．
【详解】解：设框表示的数为，
则正确的结果为：，
抄错后的结果为：，
．
故答案为：．
24．（23-24七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）某同学做数学题：已知两个多项式A，B，其中，他在求时，把错看成了，求得的结果为．请你帮助这位同学求出的正确结果．
【答案】
【分析】根据加法的应用，先求出代数式A，再计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是掌握整式加减的运算顺序和运算法则，以及去括号法则．
25．（21-22七年级上·江苏无锡·期中）马虎的李明在计算多项式M加上时，因错看成加上，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为．
（1）求多项式M；
（2）求出本题的正确答案．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据错误的结果减去，去括号合并表示出多项式即可；
（2）由表示出的加上，去括号合并即可得到正确的答案．
【详解】解：（1）根据题意列得：
，
即；
（2）正确答案为：
，
即正确答案为．
【点睛】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
【题型六】整式加减中的无关问题
26．（22-23七年级上·广东广州·期中）有这样一道计算题：的值，其中，．
(1)小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明；
(2)求该多项式的值．
【答案】(1)理由见解析；
(2)．
【分析】（1）原式去括号合并同类项得到最简的结果，即可作出判断；
（2）把代入化简后的整式中计算即可．
【详解】（1）解：


化简后的结果不含，所以取值与无关，故小明看错结果也会是正确的；
又时，，
故小华看错，结果也是正确的；
（2）解：原式
．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
27．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知代数式的值与字母x的取值无关，求的值．
【答案】
【分析】题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解．
【详解】解：
，
∵代数式的值与字母x的取值无关，
∴，
∴，
∴
．
28．（23-24七年级上·四川广安·期末）小明在求多项式与的差时，发现系数“”印刷不清楚．小明的妈妈说：“我查到的该题的标准答案与字母x的取值无关”，则“”的值应该是多少？
【答案】
【分析】本题考查了多项式的加减运算，先计算与的差得到，根据“该题的标准答案与字母x的取值无关”得到，即可得到．
【详解】解：
．
因为标准答案与字母x的取值无关，
所以，
解得．
29．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）已知，
(1)计算：；
(2)若的值与y的取值无关，求（1）中代数式的值．
【答案】(1)
(2)值为6
【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，掌握合并同类项和去括号法则是解答本题的关键．
（1）先化简，再把A，B带入化简结果，去括号合并同类项即可；
（2）根据的值与y的取值无关，可知y的系数为0，列方程即可得求出x的值，再代入（1）中代数式即可求出结果．
【详解】（1）∵，
∴
；
（2）∵
∵的值与y的取值无关，
∴，
∴，
∴原式．
【题型七】整式加减中的不含问题
30．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）多项式中不含项．
(1)求的值；
(2)当时，求多项式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查合并同类项，整式的化简求值，熟练掌握合并同类项法则和对多项式中不含某一项的理解．
（1）先化简，结果不含项，得到，解出m的值，代入求值即可；
（2）将代入求值即可；
【详解】（1）解：原式，
由于结果不含项，得到，
解得，
则；
（2）解：由（1）得，则原式，
当时，原式．
31．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知 ．
(1)若m的倒数等于它本身，且，求当时，的值；
(2)若的结果中不含一次项和常数项，求的值．
【答案】(1)1
(2)1
【分析】本题考查整式的加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握整式的加减运算法则．
（1）根据题意，可以得到，代入可求得结果；
（2）先计算的结果，让一次项的系数为0，常数项也为0，可求得，再代入式子可求得结果．
【详解】（1）解：解：∵m的倒数等于它本身，且，
∴，
故，
则
；
把代入上式得
（2）解：
．
∵的结果中不含一次项和常数项，
∴，
解得：，
∴
．
32．（23-24七年级上·四川广元·期中）化简求值：，其中使得关于x的多项式不含项和项．
【答案】，
【分析】本题考查整式的化简求值先去括号，再合并同类项，然后根据不含的项的系数等于列方程求出、的值，最后代入求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
∵关于的多项式不含项和项，
∴，，
解得，，
当，时，原式．
33．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.如阴影部分的三个整式之间的关系即为.
(1)求整式M；
(2)若整式P中不含x的一次项，求a的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）本题考查对题意的理解和整式的加减混合运算，掌握运算法则即可解题．
（2）本题考查整式的加减混合运算，以及整式中不含某项，由题意先算出整式，再得到整式，根据整式中不含x的一次项，即整理后x的一次项系数为零，据此列式求解即可．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：由题知，
，
，
，
又有，
即，
整理得，
整式P中不含x的一次项，
，解得．
【题型八】整式加减中的遮挡问题
34．（23-24七年级上·广西河池·期中）综合与实践：
小红和小丽在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了．
小红说：“我猜被墨迹污染的系数是2．”
小丽说：“你猜错啦，我看到这道题的标准答案是常数．”
(1)请你根据小红的话化简：；
(2)请你根据小丽的话通过计算说明原题中系数“”是多少？
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键；
（1）直接去括号合并同类项，进而得出答案；
（2）直接去括号合并同类项，再利用结果是常数，得出答案．
【详解】（1）解：∵系数是2，
∴
；
（2）解：原式
，
∵计算结果是常数，
∴，
∴．
35．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分．
(1)若污染的是一个多项式，求这个多项式；
(2)若污染的是常数，求的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】
本题考查整式的加减运算，解一元二次方程．
（1）根据整式加减运算法则计算即可求解；
（2）将代入，整理后，利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：这个多项式
；
（2）解：由题意得，，
整理得，，
即，
或，
解得，，．
36．（23-24七年级上·山西大同·期末）阅读与思考
阅读下列材料，完成后面任务
任务：
(1)根据材料中小红的话，化简式子．
(2)根据材料中小英的话，求这道问题中的系数“”及该式子的结果
【答案】(1)
(2)系数“”为；该式子的结果为
【分析】
本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键；
（1）直接去括号合并同类项，进而得出答案；
（2）直接去括号合并同类项，再利用结果是常数，得出答案．
【详解】（1）∵系数是，
．
（2）原式
计算结果是常数，
37．（23-24七年级上·广东广州·期中）小明和小宇在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了．
(1)请你根据小明的话化简：；
(2)请你根据小宇的话通过计算说明原题中系数“”是多少？
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可．
（1）计算即可；
（2）令原题中系数“”是a，化简，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
（2）解：令原题中系数“”是a，
则
∴，
解得：
即：原题中系数“”是4
38．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．
其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即；
步骤3：计算与的和，即；
步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即；
步骤5：计算与的差就是校验码，即．
请解答下列问题：
(1)《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为 ，校验码的值为 ．
(2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程．
(3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是8，这两个数字从左到右分别是 （请直接写出结果）．
【答案】(1)73，7
(2)，，过程见解析
(3)2，6或7，1
【分析】（1）根据特定的算法代入计算即可求解；
（2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解；
（3）根据校验码为8结合两个数字的和是8即可求解．
【详解】（1）解：∵《数学故事》的图书码为，
∴，，
∴“步骤3”中的c的值为，校验码的值为．
故答案为： 73，7；
（2）解： 依题意有，，
∴，
∴，
∵d为10的整数倍，
∴的个位必须是9，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：可设这两个数字从左到右分别是p，q，依题意有：
，
∴，
∵校验码是8，
∴，
∵d为10的整数倍，
∴则的个位是2，
∵，
∴或或
∴或或（舍去）．
∴这两个数字从左到右分别是2，6或7，1．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键．
【题型九】整式加减中的新定义问题
39．（2024·河北石家庄·二模）定义：a，b，m为实数，若，则称a与b是关于的对称数．
(1)2与4是关于______的对称数，与______是关于3的对称数；
(2)若，，且a与b是关于的对称数，试求出x的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查新定义的实数运算，
（1）运用对称数的定义进行解答即可；
（2）运用对称数的定义列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴2与4是关于3的对称数；
，
∴与是关于3的对称数；
（2）解：根据题意得，
解得，．
40．（22-23七年级上·四川成都·期中）新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律：
，
，
，
，
(1)直接写出新定义运算律： ______；
(2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由；
(3)先化简，再求值：，其中
【答案】(1)
(2)新运算“”不满足交换律，见解析
(3)，
【分析】
本题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，理解定义的新运算是解题的关键．
（1）从数字找规律进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论进行计算，即可解答；
（3）按照定义的新运算先进行化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：新定义运算律：，
故答案为：；
（2）解：新运算“”不满足交换律，
理由：∵，，
∴；
（3）解：
，
当时，原式．
41．（22-23八年级上·陕西商洛·期末）定义，如．
(1)若，求的值；
(2)若的值与无关，求值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键．
（1）根据定义将化为，解方程即可得到答案；
（2）根据定义得到，再由的值与无关，得到方程组求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，即，解得；
（2）解：，
的值与无关，
，解得，
．
42．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）对a，b定义一种新运算T：规定，这里等式右边是通常的四则运算．如．
(1)求的值；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，整式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
（1）根据新运算的运算法则进行计算即可；
（2）根据新运算的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）根据题中的新定义得，
，
；
（2）根据题中的新定义得，
，
．
X年X月X日
一天，我在某杂志上看到这样一道题：
小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话：
…