安徽省安庆市桐城市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份安徽省安庆市桐城市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的立方根是（）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了立方根的求解，根据立方根的定义进行求解即可．
解：，
故选：B．
2. 在显微镜下，人体的一种细胞的形状可以近似地看成球形，它的半径约为0.00000078米，则0.00000078用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
解：，
故选：C．
3. 如图，这是关于x的不等式的解集，则a的值是（）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式解集、解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式和在数轴上表示不等式解集得出是解题的关键．先解一元一次不等式得，再根据数轴可得，从而可得，再解方程即可．
解：解不等式得，，
由数轴可得，，
∴，
解得，
故选：D．
4. 如图，这是利用量角器测量角的示意图，则图中的度数为（）
AB. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查角的测量，对顶角相等，利用互为对顶角的两个角相等解答即可．
解：的对顶角为，
．
故选：A．
5. 解方程，两边同乘后得到的式子为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤去分母进行求解即可．
解：，
两边同乘后得：，
故选：B．
6. 某校举行防溺水知识竞赛，共有20道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于90分，则至少应该答对几道题？设答对x道题，则可列不等式（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式解决实际问题，根据题意列出不等式即可．
解：设答对x道题，根据题意可得：，
故选：D．
7. 物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底的C处，射线是光线的延长线．若，，则的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、对顶角相等等知识点，由平行线的性质可知，再由求出，再根据对顶角相等得出的度数，求解即可．
解：，
，
，
．
故选：A．
8. 如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各15张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，若小明要拼出一个宽为，长为的大长方形，则他准备的C类卡片（）
A. 够用，剩余0张B. 够用，剩余2张
C. 不够用，还缺1张D. 不够用，还缺2张
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查多项式与多项式乘法与图形的面积，根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解．
解：大长方形的面积为，C类卡片的面积为，
∴需要C类卡片的张数是13，
∴够用，剩余2张，
故选：B．
9. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”．例如：因为，所以称24为“完美数”．下面4个数中为“完美数”的是（）
A. 200B. 202C. 210D. 230
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查整式混合运算的应用，根据题意可设这两个连续奇数分别为和（n为正整数），即得这个“完美数”为，即为8的倍数，从而即可求解．
解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，
∴可设这两个连续奇数分别为和（n为正整数），
∴这个“完美数”为
∴这个“完美数”为8的倍数．
观察各选项可知只有200是8的倍数，
∴这4个数中200是“完美数”．
故选：A．
10. 如图，在锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质， 熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键.
根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到之间的等量关系，列出方程求解即可.
解：如图1，当点在上时，过点C作．
因为三角形由三角形平移得到，
所以．
因为，，
所以．
①当时，设，则．
因为，，
所以，．
因为，
所以，
解得，
所以；
图1
②当时，设，则．
因，，
所以，．
因为，
所以，
解得，
所以．
如图2，过点C作．
因为三角形由三角形ABC平移得到，
所以．
因为，，
所以．
①当时，设，则．
因为，，
所以，．
因为，
所以，
解得，所以；
图2
②当时，由图可知，，故不存在这种情况
综上所述，的度数为或或，
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小：______（填“，或”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的大小比较，运用作差法比较即可
解：∵，
∴，
故答案：
12. 因式分解：________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
解：原式
．
故答案为：．
13. 关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的解，先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
解：去分母得，
解得：，
∵方程的解为正数，
∴且，
解得：且．
14. 把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．
（1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为______．
（2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键．
（1）根据平行线性质可知，依据，可求出结果；
（2）依据，可知，再根据，即可求出结果．
解：（1），
，
，
，
解得，
；
（2），
，
即，
整理得，
故答案为：，．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式组，并列出该不等式组的所有的正整数解．
【答案】，正整数解是1，2，3
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组解集的求解，一元一次不等式组的整数解，分别求出不等式的解，再根据不等式组解集的口诀，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到解答即可．
解：解不等式，得；
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
所以该不等式组的所有正整数解是1，2，3．
16. 先化简，再求值，其中．
【答案】，2
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式的应用，先将括号里的式子通分，再将除法变为乘法，进行约分化简，最后将代入求值即可．
解：．
当时，原式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知实数a，b，c，d，e，若a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的算术平方根为3，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质及实数的运算等知识点，掌握倒数、相反数及算术平方根的意义是解决本题的关键．
根据倒数、相反数及算术平方根的意义，先求出、、，再代入计算即可．
解：∵a，b互为倒数，
∴．
∵c，d互为相反数，
∴．
∵e的算术平方根为3，
∴，
∴，
∴4的平方根为．
18. 如图，直线相交于点O，，平分．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查垂直的定义，平角的定义，邻补角互补，有关角平分线计算，解题的关键是熟练掌握几种角的关系．
（1）根据因为平分，，得到的度数，结合得到，即可得到答案；
（2）因为，设，则，根据，解出x的值，根据角平分线定义结合平角定义得到．
【小问1】
解：平分，，
，
，
．
【小问2】
，
设，则．
，
，解得，
．
平分，
．
，
，
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 观察以下等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
按照以上规律，解决下列问题．
（1）写出第5个等式：______．
（2）写出你猜想的第n个等式．（用含n的式子表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
（1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可；
（2）观察一系列等式，归纳总结得到第n个等式，用字母表示出所得的规律即可．
【小问1】
解：通过观察前面式子可得：
第5个等式：，
故答案为：；
【小问2】
通过观察前面式子可得：
第n个等式：．
20. 常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解、如：，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程如下：
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．
（1）分解因式：．
（2）已知a，b，c满足，且，试判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
（1）根据分组分解法可以分解题目中的因式，本题得以解决；
（2）根据因式分解法可以分解题目中的式子，即可得到或，根据，本题得以解决．
【小问1】
解：
．
【小问2】
．
理由：因为，
所以，
所以，
所以，
所以或．
因为，所以．
六、（本题满分12分）
21. 怀远的石榴，砀山的梨，因品质优良，而享誉全国．某水果店老板用3600元购进石榴、1200元购进砀山梨，购进石榴的数量是购进砀山梨的数量的1.5倍，已知每斤砀山梨的进价比每斤石榴的进价便宜2元．
（1）求石榴、砀山梨每斤的进价．
（2）若石榴每斤的售价为7元，砀山梨每斤的售价为4元，水果店老板在售出200斤石榴和200斤梨后，为减少库存压力，打算将剩余的梨打折销售，石榴保持原价销售，两种水果全部售出后，要使总获利不低于3500元，则剩下的梨最低可以打几折？
【答案】（1）石榴每斤进价为4元，砀山梨每斤进价为2元
（2）最低可以打7.5折
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设石榴每斤的进价为x元，则砀山梨每斤的进价为元，根据题意．列出分式方程，解方程即可；
（2）设梨打m折出售，根据总获利不低于3500元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1】
解：设石榴每斤的进价为x元，则砀山梨每斤的进价为元，
由题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
所以，
答：石榴每斤进价为4元，砀山梨每斤进价为2元；
【小问2】
设梨打m折出售，
石榴的数量为（斤），梨的数量为（斤），
由题意，得，
解得，
答：最低可以打7.5折．
七、（本题满分12分）
22. 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形
理解应用：
（1）观察图2，用两种不同的方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
拓展升华：
（2）①已知，，求的值．
②已知，求的值．
【答案】（1）；（2）①5；②6
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式变形计算，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
（1）用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即可得到等式；
（2）①利用（1）的等式代入求出的值；
②利用（1）的等式代入求值即可．
解：（1）用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形，则阴影面积为，
阴影部分为两个正方形，面积表示为，
∴．
（2）①由（1），可得．
当，时，，解得．
②．
由（1），可得，
所以．
八、（本题满分14分）
23. 如图，，点E，G分别在直线，上，F是平面内任意一点，连接，．
（1）探究：如图1，当点F在直线的左侧时，试说明：．
（2）问题迁移：如图2，当点F在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由．
（3）联想拓展：如图3，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数．
【答案】（1）见解析（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】该题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线．
（1）如图1，过点F作，根据平行线性质得出．再结合，得出，得出，即可证明．
（2）如图2，过点F作，根据平行线性质得出．结合，得出，根据平行线性质得出，即可证明．
（3）如图3，过点F作，过点P作，得出，．证明，，根据平行线性质得出，．结合角平分线的定义即可求解；
【小问1】
解：如图1，过点F作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【小问2】
解：．
理由：如图2，过点F作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【小问3】
解：如图3，过点F作，过点P作，
则，．
∵，
∴，，
∴，．
∵，，
∴，．
∵的平分线和的平分线交于点P，
∴，，
∴，
∴．
=……分组
=……组内分解因式
=……整体思想提公因式