2024年人教版七年级数学暑期提升精讲 第07讲 有理数的除法(知识点+练习）

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知识点1.有理数除法法则（重点）
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•1b （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
【例1】计算
(1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－eq \f(1,4))；
(3)(－0.75)÷(0.25)．
解析：采用有理数的除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答．
解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；
(2)12÷(－eq \f(1,4))＝－(12÷eq \f(1,4))＝－48；
(3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3.
方法总结：注意先确定运算的符号．根据“同号得正，异号得负”的法则进行计算．本题属于基础题，考查对有理数的除法运算法则掌握的程度．
【变式1-1】计算−4÷2的结果是（ ）
A．−2B．2C．−6D．−8
【变式1-2】计算：___________×−6=−54．
【变式1-3】．在−2，3，−4，12这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是______．
【例2】计算：
(1)(－18)÷(－eq \f(2,3))； (2)16÷(－eq \f(4,3))÷(－eq \f(9,8))．
【变式2-1】把−43÷−54转化为乘法是（ ）．
A．53B．−43×−45C．−43×45D．−43×−54
【变式2-2】两个数的积是−29，其中一个是−16，则另一个是______．
【变式2-3】计算：
(1)(−0.5)÷(−14) (2)(−1.25)÷14
(3)47÷(−12) (4)−378÷−7÷−9
(5)(−0.75)÷54÷(−0.3) (6)(−3.2)÷965
(7)(−914)÷2.5
知识点2.有理数的乘除混合运算（重点）
有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果.
注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算
【例3】计算：
(1)－2.5÷eq \f(5,8)×(－eq \f(1,4))； (2)(－eq \f(4,7))÷(－eq \f(3,14))×(－1eq \f(1,2))．
【变式3-1】计算−1÷−5×−15的结果是（ ）
A．−125B．125C．−1D．1
【变式3-2】计算：−48÷7×17=_____________．
【变式3-3】计算：
(1)−3÷−134×0.75÷−37×−6；
(2)−15×−0.1÷125×−10；
(3)−72×−23×−35÷−815．
知识点3.有理数的加减乘除混合运算（重点）
1.有理数的加减乘除混合运算
在运算时要注意按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如有括号,应先算括号里面的.在同级运算中,要按从左到右的顺序来计算,并能合理运用运算律,简化运算
2.计算器的使用
不同品牌的计算器操作方法可能有所不同,具体操作方法应参考计算器的使用说明,熟悉各功能键.另外,还要注意以下几点:
(1)计算器要平稳放置,以免按键时发生晃动和滑动
(2)计算开始时,要先按开启键;停止使用时,要注意按关闭键
(3)确定按键顺序后,按照算式从左到右的顺序直接输入
(4)在输入数据和算式时,每次按键都要注意显示器上是否显示出了相应的数字或运算符号,以免因漏按或按不实而出现错误.
(5)每次运算时,要按一下清零键
6)注意负数的输入方式.
【例4】计算：．
(1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填写序号即可）
(2)请给出正确解答．
【变式4-11】34−25×34÷12=（ ）．
A．310 B．511C．320D．13
【变式4-2】计算：(−1)÷1+0÷8−(−5)×(−2)=__________
【变式4-3】计算：．
易错点.有理数除法运算中误用分配律
【例5】（2023秋·江苏·七年级专题练习）观察下列解题过程．
计算：．
解：原式＝
＝
＝
＝2
你认为以上解题是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程．
【变式5-1】．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：计算．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为
．
故原式．
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．
(2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：
【变式5-2】．计算：
(1)前后两部分之间存在着什么关系？
(2)先计算哪部分比较简单?请给予解答；
(3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；
(4)根据上述分析，求出原式的结果．
考点1：有理数的加减乘除混合运算的实际应用
1．某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃．若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：
(1)这20箱樱桃质量相差最大是多少千克？
(2)这20箱樱桃的总质量是多少千克？
(3)水果店购进这批樱桃需要付运费100元，要把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，并按照全部销售后获得利润为成本的作为销售目标制定零售价，若第一天水果店以该零售价售出了总质量的，第二天因害怕剩余的樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃按原零售价的七折售完，请计算该水果店在销售这批樱桃的过程中共盈利或亏损多少元？（提示：成本＝总进价＋运费）
2．为常态化开展社会人群核酸检测工作，我市在人群密集、流动量大的区域布局了健康小屋（便民核酸采样点）．某采样点计划每天完成人次的核酸采样，实际每天采样的数量相比有出入，下表是十月份某一周该采样点的实际采样人次（超过为正，不足为负，单位：人次）
(1)根据记录可知该采样点前三天共完成了多少人次的核酸采样？
(2)采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了多少人次？
(3)该采样点采用十人混检的方式收集核酸样本（将个人的样本采集后放到同一根采样管中进行检测），该采样点在这周至少需要多少根采样管？
3．某市出租车收费标准如下表：
(1)一次小华乘出租车从家去动物园，下车时付出租车费41.8元.小华家到动物园有多少千米？
(2)若小华从家去动物园拍一张照片，接着立即赶回，应该怎样乘坐出租车最划算？她至少要付出租车费多少元？
考点2：与有理数相关的新定义运算
4．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）若“”是一种数学运算符号，且，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）定义“!”是一种数学运算符号，并且，，，．…，则的值为（ ）
A．B．99!C．100D．2!
6.对于有理数a、b，定义运算“”如下：，试比较大小 (填“＞”“＜”或“＝”)．
考点3：有理数混合运算的材料阅读题
7．阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：
8．阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：
9．老师布置了一道题目：计算，有两位同学的解法如下：
小明：原式．
小军：原式．
(1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好
(2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的解法吗如果有，请把它写出来．
(3)用你认为最合适的方法计算．
考点4：有理数乘除法的创新应用
10．（22-23七年级上·北京东城·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表﹣﹣年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以所得的余数．以年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，年为农历壬寅年．
请你依据上述规律推断年为农历 年．
11.如图A在数轴上所对应的数为．
(1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；
(2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离．
(3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原来的速度沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度．
12.如图，
7 2 5 1
(1)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是_______
(2)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是 ，
(3)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24，你选取的数为______________，算式为___________________
考点5：综合利用绝对值、相反数和有理数除法进行化简求值
13．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，
（1）用“>”或“<”填空：
_________0，ac_________0，abc_________0，____________0．
（2）求代数式的值．
14．已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且，又b，c互为相反数．
(1)求a，b，c的值．
(2)若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为6个单位/秒，乙的速度为4个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点M表示的数．
(3)若将（2）的条件改为同向而行，其余条件都不变，求点M表示的数．
15．（2023秋·全国·七年级专题练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______．
(2)已知，，是有理数，，，求的值．
(3)已知，，是有理数，当时，求的值．
16．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果a，b，c是非零有理数，求式子的所有可能的值．
17.（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题．
①取何值时，的值最小，最小值是多少？
②取何值时，的值最大，最大值是多少？
（2）已知若，则，即，若，则，即，如果、、是有理数，且，时，求的值．
18．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，，请用这种方法解决下列问题．
(1)当时，分别求的值；
(2)已知是有理数，当时，试求的值；
(3)已知是有理数，当时，试求的值．
一、单选题
1．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．3D．9
2．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）．

A．B．C．D．
3．（22-23七年级上·云南昆明·期中）若两个有理数在数轴上对应的点都在原点的同侧，则这两个数相除所得的商（ ）
A．一定是负数B．一定是正数C．等于0D．以上都不对
4．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（22-23七年级上·云南保山·期中）计算结果等于（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法：
①2018个有理数相乘，其中负数有2005个，那么所得的积为负数
②若m满足，则
③若三个有理数a，b，c满足，则．
其中正确的是有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
7．（23-24七年级上·浙江·期末）计算： ．
8．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ．
9．（23-24七年级上·陕西西安·期中）计算的结果是 ．
10．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一根6.4米长的彩带，每1.4米剪一段包扎一个礼盒，这根彩带可以包扎 个礼盒．
11．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：
天干为：；地支为：；
对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．
请你依据上述规律推断2050年为农历 年．
12．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）“凑24点”的游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张（如果初练也可只用这40张牌），任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24，每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式为或等，在下面4个选项中，可以凑出24点的是 （填序号）．
①1、2、3、3
②1、5、5、5
③2、2、2、2
④3、3、3、3
三、解答题
13．（22-23七年级上·四川成都·期中）用简便方法计算：．
14．（23-24七年级上·北京顺义·期末）计算：．
15．（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算：．
16．（23-24七年级上·吉林长春·期末）计算：．
17．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）下面各题，能简算的要写出必要的简算过程
(1) (2)
18．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题：
计算：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
(1)上面解题过程有两处错误：
第一处是第______________步，错误原因是______________；
第二处是第______________步，错误原因是______________；
(2)请写出正确的结果______________．
19．（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题：
(1)已知，是有理数，
①当，时，则________；
②当，时，则________；
③当，时，则_______；
(2)已知，，是有理数，当时，求
20．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______；
②一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到．……若按以上规律跳了200次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2023，则这只小球的初始位置点所表示的数是______；
(2)翻折变换
①若折叠数轴，表示的点与表示2的点重合，则表示3的点与表示______的点重合；
②数轴上有A，B，C三点，点A，点B表示的数分别为和2，现按照①的条件将数轴折叠，点A对应的点为；再以点C为折点，将数轴折叠，点对应的点落在数轴上，若、B之间的距离为2，求点C表示的数．

21．（23-24七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始析的、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌．
游戏规则：
①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果．
②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利；
③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜．
（相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为）
【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：

(1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续；
(2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果；
(3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.了解有理数除法的意义,理解有理数除法与乘法的互逆关系
2.掌握有理数的除法法则,能运用法则熟练地进行有理数除法运算以及四则混合运算.
3.通过利用有理数除法法则进行运算的过程,体会转化的数学思想
解法1：原式①
②
③
解法2：原式①
②
③
与标准质量的差值（单位：千克）
0
箱数
1
4
3
4
5
3
星期
一
二
三
四
五
六
七
增减
种类
里程（千米）
收费（元）
起步价
3千米以内（包括3千米）
10.00
单程
3千米以上，每增加1千米
3.00
往返
3千米以上，每增加1千米
2.20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥