2024年人教版七年级数学暑期提升精讲 第08讲 有理数的乘方(知识点+练习）

这是一份2024年人教版七年级数学暑期提升精讲 第08讲 有理数的乘方(知识点+练习），文件包含2024年人教版七年级数学暑期提升精讲第08讲有理数的乘方5个知识点+7个考点+易错分析原卷版docx、2024年人教版七年级数学暑期提升精讲第08讲有理数的乘方5个知识点+7个考点+易错分析解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。

知识点1.有理数乘方的意义（重点）
1、求个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。叫底数，叫指数，读作：的次幂(的次方)。
2、乘方的意义：表示个相乘。
3、写法的注意：
当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了．
如：＝()×()，表示两个相乘．
而＝，表示2个2相乘的积除以3的相反数．
4、与－的区别．
(1)表示个相乘，底数是，指数是，读作：的次方．
(2)－表示个乘积的相反数，底数是，指数是，读作：的次方的相反数．
如：底数是，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘．
＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．
底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．＝－(2×2×2)＝－8．
注：与的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。
【例1】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．
(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；
(2)eq \f(2,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)；
解析：首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么．
解：(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)＝(－3.14)5，其中底数是－3.14，指数是5；
(2)eq \f(2,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)＝(eq \f(2,5))6，其中底数是eq \f(2,5)，指数是6；
方法总结：乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．
【变式1-1】（1）根据有理数乘方的意义，算式可表示为 ．
（2）在中指数是 ，底数是 ．
【答案】 4
【分析】（1）根据题意写成有理数乘方的形式即可；
（2）根据幂的概念即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）在中指数是，底数是．
故答案为：；；；
【点睛】本题主要考查有理数乘方的应用、幂的概念，掌握幂的概念是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋·浙江金华·七年级校联考阶段练习）表示（ ）
A．乘5B．5个相加C．5个相乘D．2个相加
【答案】C
【分析】根据乘方的意义：表示个数相乘，即可．
【详解】解：表示5个相乘；
故选C．
【点睛】本题考查有理数的乘方．熟练掌握表示个相乘，是解题的关键．
【变式1-3】（2022秋•黄山期末）﹣25表示的意义是（ ）
A．5个﹣2相乘B．5个2相乘的相反数
C．2个﹣5相乘D．2个5相乘的相反数
【分析】原式利用乘方的意义判断即可．
【解答】解：﹣25表示的意义是5个2相乘的相反数，
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
知识点2.有理数乘方运算的符号规律（重点）
乘方运算的符号规律．
(1)正数的任何次幂都是正数．
(2)负数的奇次幂是负数．
(3)负数的偶次幂是正数．
(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0．
所以，任何数的偶次幂都是正数或0。
【例2】计算：(1)－(－3)3; (2)(－eq \f(3,4))2； (3)(－eq \f(2,3))3; (4)(－1)2015.
解析：可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值．
解：(1)－(－3)3＝－(－33)＝33＝3×3×3＝27；
(2)(－eq \f(3,4))2＝eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(9,16)；
(3)(－eq \f(2,3))3＝－(eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3))＝－eq \f(8,27)；
(4)(－1)2015＝－1.
方法总结：乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；－1的奇数次幂是－1，－1的偶数次幂是1.
【变式2-1】计算： ， ．
【答案】 1
【详解】解：，
，
【变式2-2】计算： ； ； ．
【答案】
【变式2-3】计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】根据有理数乘方计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式
【点睛】本题主要考查有理数乘方运算，掌握有理数乘方运算的意义是解题的关键．
知识点3.有理数的混合运算（难点）
1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即
，
【例3】计算：(1)(－5)－(－5)×eq \f(1,10)÷eq \f(1,10)×(－5)；
(2)－1－{(－3)3－[3＋eq \f(2,3)×(－1eq \f(1,2))]÷(－2)}．
解析：(1)题是含有减法、乘法、除法的混合运算，运算时，一定要注意运算顺序，尤其是本题中的乘除运算．要从左到右进行计算；(2)题有大括号、中括号，在运算时，可从里到外进行．注意要灵活掌握运算顺序．
解：(1)(－5)－(－5)×eq \f(1,10)÷eq \f(1,10)×(－5)＝(－5)－(－5)×eq \f(1,10)×10×(－5)＝(－5)－25＝－30；
(2)－1－{(－3)3－[3＋eq \f(2,3)×(－1eq \f(1,2))]÷(－2)}
＝－1－{－27－[3＋eq \f(2,3)×(－eq \f(3,2))]÷(－2)}＝－1－{－27－2÷(－2)}＝－1－{－27－(－1)}＝－1－(－26)＝25.
方法总结：有理数的混合运算可用下面的口诀记忆：混合运算并不难，符号第一记心间；加法需取大值号，乘法同正异负添；减变加改相反数，除改乘法用倒数；混合运算按顺序，乘方乘除后加减．
【变式3-1】计算：．
【答案】20
【详解】解：
．
【变式3-2】计算：
【答案】
【详解】解：原式
．
【变式3-3】计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)3
(2)3
【详解】（1）原式
；
（2）原式
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．
知识点4.科学记数法（重点）
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【例4】我区深入实施环境污染整治，关停和整改了一些化工企业，使得每年排放的污水减少了167000吨，将167000用科学记数法表示为( )
A．167×103 B．16.7×104 C．1.67×105 D．1.6710×106
解析：根据科学记数法的表示形式，先确定a，再确定n，解此类题的关键是a，n的确定.167000＝1.67×105，故选C.
方法总结：科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式4-1】2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.22819×1010B．0.22819×1011
C．2.2819×1010D．2.2819×1011
【解答】解：228.19亿＝22819000000＝2.2819×1010．
故选：C．
【变式4-2】用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是（ ）
A．4315B．431.5C．43.15D．4.315
【解答】解：用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是4315，
故选：A．
【变式4-3】已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数：
(1)2.01×104；(2)6.070×105；(3)－3×103.
解析：(1)将2.01的小数点向右移动4位即可；(2)将6.070的小数点向右移动5位即可；(3)将－3扩大1000倍即可．
解：(1)2.01×104＝20100；
(2)6.070×105＝607000；
(3)－3×103＝－3000.
方法总结：将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
知识点5.近似数（难点）
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
【例5.1】下列数据中，不是近似数的是( )
A．某次地震中，伤亡10万人 B．吐鲁番盆地低于海平面155m
C．小明班上有45人 D．小红测得数学书的长度为21.0cm
解析：A.某次地震中，伤亡10万人中的10为近似数，所以A选项错误；B.吐鲁番盆地低于海平面155m中的155为近似数，所以B选项错误；C.小明班上有45人中45为准确数，所以C选项正确；D.小红测得数学书的长度为21.0cm中的21.0为近似数，所以D选项错误，故选C.
方法总结：经过“四舍五入”得到的叫近似数，一般用工具量出来的数都是近似数；能表示原来物体或事件的实际数量的数是准确数，一般通过计数数出来的数都是准确数．
【例5.2】用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）B．0.05（精确到千分位）
C．0.05（精确到百分位）D．0.0502（精确到0.0001）
【解答】解：A、0.05019≈0.1（精确到0.1），所以此选项正确，故A不符合题意；
B、0.05019≈0.050（精确到千分位），所以此选项错误，故B符合题意；
C、0.05019≈0.05（精确到百分位），所以此选项正确，故C不符合题意；
D、0.05019≈0.0502（精确到0.0001），所以此选项正确，故D不符合题意；
故选：B．
【例5.3】近似数1.70所表示的准确值a的范围是( )
A．1.700＜a≤1.705 B．1.60≤a＜1.80
C．1.64＜a≤1.705 D．1.695≤a＜1.705
解析：若是向前进1得到的，那么a≥1.695；若是舍去下一位得到的，那么a＜1.705，∴1.695≤a＜1.705.故选D.
方法总结：此题不是由准确数求近似数，而是由近似数求准确数的范围，这是对逆向思维能力的考查．
【变式5-1】下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)25.7; (2)0.407； (3)4000万； (4)4.4千万．
解析：精确度由最后一位数字所在的位置确定，一般来说，近似数四舍五入到哪一位，就精确到哪一位．
解：(1)25.7(精确到十分位)；
(2)0.407(精确到千分位)；
(3)4000万(精确到万位)；
(4)4.4千万(精确到百万位)．
方法总结：若是汉字单位为“万”、“千”、“百”类的近似数，精确度依然是由其最后一位数所在的数位确定，但必须先把该数写成单位为“个”的数，再确定其精确度．
【变式5-2】下列说法正确的是( )
A．近似数4.60与4.6的精确度相同 B．近似数5千万与近似数5000万的精确度相同
C．近似数4.31万精确到0.01 D．1.45×104精确到百位
解析：选项A.近似数4.60精确到百分位，4.6精确到十分位，故错误；选项B.近似数5千万精确到千万位，近似数5000万精确到万位，故错误；选项C.近似数4.31万精确到百位．故错误；选项D.正确．故选D.
方法总结：解答此题应掌握数的精确度的知识，保留整数精确度为1，一位小数表示精确到十分之一，两位小数表示精确到百分之一等．
【变式5-3】 用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数．
(1)0.6328(精确到0.01)； (2)7.9122(精确到个位)；
(3)47155(精确到百位)； (4)130.06(精确到0.1)；
(5)4602.15(精确到千位)．
解析：(1)把千分位上的数字2四舍五入即可；(2)把十分位上的数字9四舍五入即可；(3)先用科学记数法表示，然后把十位上的数字5四舍五入即可；(4)把百分位上的数字6四舍五入即可；(5)先用科学记数法表示，然后把百位上的数字6四舍五入即可．
解：(1)0.6328≈0.63(精确到0.01)；
(2)7.9122≈8(精确到个位)；
(3)47155≈4.72×104(精确到百位)；
(4)130.06≈130.1(精确到0.1)；
(5)4602.15≈5×103(精确到千位)．
方法总结：按精确度找出要保留的最后一个数位，再按下一个数位上的数四舍五入即可．
易错点：含乘方运算时符号考虑不全产生漏解
【例6】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）小明同学在计算：时，步骤如下：
解：原式⋯⋯（1）
⋯⋯（2）
⋯⋯（3）
(1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号）
(2)请给出正确的解题过程．
【答案】(1)（1）
(2)过程见解析
【分析】
本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键；
（1）由乘方计算错误与除法计算错误可得答案；
（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号计算括号内的运算即可；
【详解】（1）解：第（1）步就出现错误；
（2）
；
考点1：有理数的混合运算
1.计算：．
【答案】
【详解】解：原式
．
2.计算：．
【答案】
【详解】解：原式
．
3.计算：．
【答案】
【详解】解：
．
4.计算：．
【答案】
【详解】
考点2：用科学记数法表示数
5．“神威·太湖之光”超级计算机运算速度达每秒次，它工作可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示）
【答案】它工作可进行次运算
【详解】解：，
（次），
答：它工作可进行次运算．
6.在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以达到3×108m/s，如果我们用光速行驶3.6×103s，请问我们行驶的路程为多少m？
【解答】解：3×108×3.6×103＝3×3.6×108×103＝10.8×1011＝1.08×1012（m）．
答：行驶的路程为1.08×1012m．
7.已知一个U盘的名义内存为10GB，平均每个视频的内存为512MB，平均每首音乐的内存为10.24MB，平均每篇文章的内存为10.24KB．现该U盘已存16个视频，50首音乐．若该U盘的内存的实际利用率为90%，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表示）．（注：已知1GB＝1024MB，1MB＝1024KB）
【解答】解：（10×1024×1024×0.9﹣512×1024×16﹣10.24×50×1024）÷10.24＝5.12×104，
答：还可以存文章的最多篇数是5.12×104．
考点3：按要求取近似值
8.由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）
A．精确到十分位B．精确到个位
C．精确到百位D．精确到千位
【解答】解：近似数8.8×103精确到百位．
故选：C．
9．小明的身高为1.68m，表示他实际身高a的范围为（ ）
A．1.675≤a＜1.685B．1.675＜a≤1.685
C．1.675≤a≤1.685D．1.675＜a＜1.685
【解答】解：小明的身高为1.68m，表示他实际身高a的范围为1.675≤a＜1.685．
故选：A．
10.数精确到 位．
【答案】百
【详解】解：数精确到百位，
11.下列问题中出现的数，哪些是精确值哪些是近似值
(1)某院校的某专业计划招生人；
(2)小明的立定跳远成绩是；
(3)若尘的这次数学考试成绩是分；
(4)据统计，公园门口每月的车流量大约是辆．
【答案】(1)准确数
(2)近似数
(3)准确数
(4)近似数
【详解】（1）解：某院校的某专业计划招生人，是准确数；
（2）小明的立定跳远成绩是，是近似数；
（3）若尘的这次数学考试成绩是分，是准确数；
（4）据统计，公园门口每月的车流量大约是辆，是近似数．
考点4:有理数乘方与其他知识的综合应用
12．（23-24七年级上·重庆江津·期中）若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，平方的非负性，解题的关键是求出、的值，准确进行计算．先根据绝对值和平方的非负性求出、的值，然后再代入中计算即可．
【详解】，
，，
，，
将，代入中得：
，
故答案为：．
13．（22-23七年级上·广东湛江·期末）若，则 ．
【答案】
【分析】利用非负数的性质求出x，y的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，代数式求值，初中阶段有三种类型的非负数：①绝对值；②偶次方；③二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
14．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，掌握绝对值、平方数的非负性，有理数的乘方运算是解题的关键．
根据绝对值、平方数的非负性可求出的值，代入求值即可．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
考点5：有关乘方的规律探究问题
15．观察下列等式：，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是（ ）
A．2B．4C．8D．6
【答案】C
【详解】解：继续计算：，…，
显然个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，
而，所以的个位数字是8；
故选：C．
16．观察下列等式：，，，，，，解答下列问题：的末尾数字是
【答案】2
【详解】解：∵，，，，，，
∴末尾数，每4个一循环，
∵，
∴的末位数字相当于：的末尾数为2．
17．观察下列算式：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，…那么的个位数字是 ．
【答案】7
【详解】已知，末位数字为3，
，末位数字为9，
，末位数字为7，
，末位数字为1，
，末位数字为3，
，末位数字为9，
，末位数字为7，
，末位数字为1，
…
由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
又，
所以的末位数字与的末位数字相同是7．
18．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：

(1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？
(2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？
【答案】(1)16
(2)3
【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞，
经过2小时后，可分裂成16个细胞；
（2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞；
第2个30分钟分裂成4个，即个；
…
依此类推，第个30分钟分裂为个细胞；
，解得，
经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞．
考点6：利用有理数乘方解决实际问题
19．（22-23七年级上·浙江温州·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（ ）
A．9次B．10次C．11次D．12次
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．根据复制粘贴呈2倍的速度增加，所以求2的幂运算．
【详解】解：，，
故选：B
20．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以得到阴影部分的面积．
【详解】解：由图可得，阴影部分的面积是，
故选：C．
21．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大．
(1)求第二个正方体纸盒的棱长；
(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？
【答案】(1)第二个正方体纸盒的棱长为
(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多
【分析】本题主要考查了有理数乘方运算的应用，解题的关键熟练掌握正方体的体积公式和表面积公式．
（1）先求出第一个正方体的体积，再求出第二个正方体的体积，得出其棱长即可；
（2）根据正方体的表面积公式列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为：，
第二个正方体纸盒的体积为：，
∵，
∴第二个正方体纸盒的棱长为；
（2）解：，
答：第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多．
考点7：有关乘方的拓展创新题
22．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
（1）小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
（2）请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
【解答】解：（1）5×6﹣2×3＝24；
（3+5）×（6÷2）＝24；
（5﹣3）×2×6＝24；
（2）如抽到黑桃3、红桃4、方块6、梅花10，
则有：3×6+10﹣4＝24．
23． 阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．
定义：如果（，，），则b叫做以a为底N的对数，记作．
例如：因为，所以；因为，所以．
(1)填空： ，
(2)如果 ，求m的值．
(3)对于“对数”运算，小明同学认为有“（，，，）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．
【答案】(1)1；4
(2)29
(3)不正确，理由见解析，
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：1，4；
（2）∵，
∴，
∴；
（3）不正确，理由如下：
设，，
则，（，，，），
∵，
∴，
∴，
即．
24.概念学习：
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地把写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
初步探究：
(1)直接写出计算结果： ； ；
(2)下列关于除方说法中，错误的有 ；（在横线上填写序号即可）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈n次方等于它本身的数是1或-1．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
(3)归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：aⓝ= ；
(4)比较： ；（填“＞”“＜”或“=”）
(5)计算：．
【答案】(1)1，-3
(2)D
(3)
(4)
(5)
【详解】（1）；
；
故答案为：1；；
（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，故A不符合题意；
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故B不符合题意；
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故C不符合题意；
D．圈n次方等于它本身的数是1，的圈偶数次方等于1，的圈奇数次等于，故D符合题意；
故选：D；
（3）aⓝ，
故答案为：；
（4）∵，，
∴，
故答案为：；
（5）
25．（本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．
定义：与（，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作．
运算法则如下：
(1)填空：______，______；
(2)如果，且，求出x的值；
(3)如果，请直接写出x的值______．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)，，．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
解得：；
（3）由题意知，①，
解得：；
②，
解得：；
③且与为偶数，
解得：；
综上，，，．
一、单选题
1．（23-24七年级上·福建南平·期末）年“亚运＋双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约人次，将数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B．
2．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）下列各组数中，其值相等的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】C
【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，熟练应用有理数的乘方运算法则是解题关键；分别利用有理数的乘方运算法则求出进而比较得出即可；
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：C．
3．（23-24七年级上·广东广州·期中）用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．2.1（精确到B．2.06（精确到百分位）
C．2.0（精确到十分位）D．2.0603（精确到
【答案】C
【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．
【详解】解：A．（精确到，正确，不符合题意；
B．（精确到百分位），正确，不符合题意；
C．（精确到十分位），原说法错误，符合题意；
D．（精确到，正确，不符合题意；
故选C．
4．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（ ）天

A．510B．511C．513D．520
【答案】A
【分析】
本题考查了计数方法，有理数的混合运算．类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，再列式计算即可．
【详解】解：（天），
答：孩子自出生后的天数是510天．
故选：A．
5．（23-24七年级上·福建泉州·期中）为了纪念著名的数学家苏步青及其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的 行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：，
故选：C．
二、填空题
6．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中底数是 ，指数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题．
【详解】解：在中底数是，指数是，
故答案为：，
7．（23-24七年级上·天津宁河·期中）用四舍五入法将精确到百分位约为 ．
【答案】
【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】解：用四舍五入法将精确到百分位约为．
故答案为：．
8．（22-23七年级上·江西宜春·期中）3.14（精确到十分位） ．
【答案】
【分析】本题要求熟练掌握对近似数的精确度理解是否深刻，能熟练运用四舍五入法取近似数．
3.14精确到十分位，即精确到小数点后第一位．
【详解】3.14（精确到十分位），
故答案为：．
9．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： ， ， ．
【答案】 4 /
【分析】
本题考查了去括号法则、有理数的乘方运算，正确计算出结果是解题的关键．根据有理数的乘方法则、去括号法则计算即可．
【详解】解：，，，
故答案为：，4，．
10．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）下列说法正确的有
①倒数为本身的数是0，；②绝对值为它的相反数的数一定是负数；
③若，则； ④任何一个有理数的平方为非负数．
【答案】④
【分析】此题考查绝对值、相反数、倒数和有理数的乘方，关键是掌握绝对值、相反数和倒数的定义．根据绝对值、相反数、倒数和有理数的乘方解答即可．
【详解】解：①倒数为本身的数是，故①错误；
②绝对值为它的相反数的一定是0和负数，故②错误；
③若，则，故③错误；
④任何一个有理数的平方为非负数，故④正确．
所以，正确的结论是④．
故答案为：④．
11．（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ．
【答案】7
【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．
从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．
【详解】解：已知，末位数字为3，
，末位数字为9，
，末位数字为7，
，末位数字为1，
，末位数字为3，
，末位数字为9，
，末位数字为7，
，末位数字为1，
…
由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
又，
所以的末位数字与的末位数字相同是7．
故答案为：7．
12．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图（单位：个），甲、乙、丙三只袋中装有球29个、74个、38个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于 ．

【答案】5
【分析】本题考查有理数的乘方，先求得三只袋中球的个数都相同时的个数，然后分别求得，的值后即可求得，的值，继而求得的值．
【详解】解：，
则①，
，
即②，
由②得：，
将②代入①整理得：，
则，
，
故答案为：5．
13．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）一般地，n个相同因数a相乘：记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即），那么 ．
【答案】14
【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的乘方运算，由，，可求出，，继而可计算出结果．
【详解】解：，，
，，
，
故答案为：14．
14．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条．
【答案】256
【分析】
此题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】
解：∵第1次后可拉出2根，
第2次后可拉出根，
第3次后可拉出根，
…
∴第8次后可拉出根，，
故答案为：256．
15．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）数乘，积是一个完全平方数，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要了考查完全平方数，根据题意先把分解因数，结合最小即可求得的值，解题的关键是正确理解完全平方数可以分解为两个相同数的乘积．
【详解】解：由，
∵数乘，积是一个完全平方数，
∴是一个完全平方数，
∴的最小值为，
故答案为：．
16．（23-24七年级上·四川成都·期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意，正确找出数式规律，是解答本题的关键．
根据题意，先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
第一天截取后木棍剩余长度为：，
第二天截取后木棍剩余长度为：，
第三天截取后木棍剩余长度为：，
第天截取后木棍剩余长度为：，
第6天截取后木棍剩余长度为：．
故答案为：．
三、解答题
17．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）计算：．
【答案】．
【分析】
本题考查了有理数的混合运算，注意计算的准确性即可．
【详解】解：原式
18．（23-24七年级上·广东珠海·阶段练习）计算：
【答案】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，含乘方的有理数的混合运算，先算乘方和化简绝对值，再运算乘除，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
19．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）计算：．
【答案】10
【分析】
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．根据先算乘方、再算乘除、后算加减的顺序计算即可．
【详解】解：
．
20．（23-24七年级上·河南许昌·期末）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法的运算顺序求解即可．
【详解】解：
．
21．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，
例：；
计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，
例：二进制数10010转化为十进制数：
；
其他进制也有类似的算法…
(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________；
(2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数；
(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．
【答案】(1)
(2)
(3)42天
【分析】本题考查了有理数乘方的应用；
（1）根据题目信息直接进行计算即可；
（2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可；
（3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可．
【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是，
故答案为：；
（2）将八进制数“4372”转化为十进制数；
（3）因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1，
所以孩子已经出生的天数为天．
22．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例：，则．
(1)填空： ， ．
(2)若，求n的值．
【答案】(1)1，3
(2)16或25或36或49
【分析】本题考查新定义运算，绝对值，平方数等：
（1）根据最优分解及的定义即可求解；
（2）根据可得为10到50之间的平方数，由此可解．
【详解】（1）解：，，
故答案为：1，3；
（2）解：，
为10到50之间的平方数，
n的值为16或25或36或49．
23．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24．
如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：．
(1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】
此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题．
（1）所给的数字为：、、5、3；
（2）所给的数字为：、、8、12；
（3）所给的数字为：、、2、3；
利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可．
【详解】（1）（1）答案不唯一，如
；
（2）①答案不唯一，如
；
②答案不唯一，如
；
（3）答案不唯一，如
．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解有理数的乘方的意义,并能进行乘方运算
2.掌握有理数的混合运算顺序,并能熟练、正确地进行计算
3.借助生活进一步感受较大的数,并能用科学记数法表示绝对值大于 10的数
4.了解近似数的意义,能按要求取近似数