2024年人教版七年级数学暑期提升精讲 第13讲 整式的加减(知识点+练习）

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知识点1.去括号（难点）
去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
要点归纳：
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
知识点2.整式的加减（重点）
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
要点归纳：
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
易错点1.去括号时出现错误
去括号时,括号前面是“_”号时,常忘记改变括号内每一项的符号,出现错误;或者括号前有数字因数,去括号时没把数字因数与括号内的每一项相乘出现漏乘现象,只有严格按照去括号法则运算,才可能避免上述错误
易错点2.进行整式加减时忽略括号的作用
在多项式加法运算中，整式可以不加括号,在多项式减法运算中,被减式可以不加括号，但减式必须加上括号
考点1.去括号
【例1】下列去括号正确吗？如有错误，请改正．
(1)＋(－a－b)＝a－b；
(2)5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1＋xy；
(3)3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy－2y；
(4)(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋3b.
【变式1-1】（2024•翔安区二模）去括号的结果是
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024•凉州区二模）下列去括号正确的是
A．B．
C．D．
【变式1-3】去掉下列各式中的括号：
(1). 8m-(3n+5)； (2). n-4(3-2m)；(3). 2(a-2b)-3(2m-n).
考点2.去括号后进行整式的化简
【例2】先去括号，后合并同类项：
(1)x＋[－x－2(x－2y)]； (2)eq \f(1,2)a－(a＋eq \f(2,3)b2)＋3(－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,3)b2)；
(3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)； (4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}．
【变式2-1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）化简：
（1） ；
（2） ．
【变式2-2】化简：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)．
【变式2-3】（2023秋•长葛市期中）先去括号，再合并同类项
（1） （2）
考点3.整式的化简求值
【例3】化简求值：eq \f(1,2)a－2(a－eq \f(1,3)b2)－(eq \f(3,2)a＋eq \f(1,3)b2)＋1，其中a＝2，b＝－eq \f(3,2).
【变式3-1】先化简，再求值：已知x＝－4，y＝eq \f(1,2)，求5xy2－[3xy2－(4xy2－2x2y)]＋2x2y－xy2.
【变式3-2】（2023秋•襄城区期末）先化简，再求值：，其中，．
【变式3-3】（2024•望城区一模）先化简，再求值：，其中，．
考点4.整体思想在整式求值中应用
【例4】已知式子x2－4x＋1的值是3，求式子3x2－12x－1的值．
【变式4-1】．（2024春•道里区校级期中）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．
【解决问题】
（1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为 ；（用含、的式子表示）
（2）若代数式的值为3，求代数式的值为 ；
【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题：
（3）已知，的值为最大的负整数，求的值．
【变式4-2】．（2023秋•南召县期末）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有，，所以代数式的值为5．
【方法运用】
（1）若代数式的值为15，求代数式的值．
（2）若时，代数式的值为11，当时，求代数式的值．
【拓展应用】
（3）若，．求的值．
【变式4-3】数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已知，则代数式，．
请根据以上材料解答下列问题：
(1)若，求的值；
(2)若整式的值是8，求整式的值；
(3)当时，多项式的值是5，求当时，多项式的值．
考点5.利用“无关”进行说理或求值
【例5】有这样一道题“当a＝2，b＝－2时，求多项式3a3b3－eq \f(1,2)a2b＋b－(4a3b3－eq \f(1,4)a2b－b2)＋(a3b3＋eq \f(1,4)a2b)－2b2＋3的值”，马小虎做题时把a＝2错抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．
【变式5-1】（2023秋•斗门区期末）（1）已知两个多项式、，，，求的值．
（2）某位同学做一道题：已知两个多项式、，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求的正确答案．
【变式5-2】．（2023秋•广州期末）（1）已知，．当，时，求的值．
（2）是否存在数，使化简关于，的多项式的结果中不含项？若不存在，说明理由；若存在，求出的值．
【变式5-3】．（2023秋•雨湖区期末）（1）数学赵老师布置了一道数学题：已知，求整式的值，小涵观察后提出：“已知是多余的．”你认为小涵的说法对吗？请说明理由．
（2）已知整式，整式与整式之差是．
①求整式；
②若是常数，且的值与无关，求的值．
【变式5-4】．（2024春•铁西区期中）【典例展示】
若关于，的代数式的值与无关，求的值．
解：原式
代数式的值与无关，
，
．
【理解应用】
已知，，且的值与无关，求的值；
【拓展延伸】
用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系．
考点6.整式加减的应用
【例6】某商店有一种商品每件成本a元，原来按成本增加b元定出售价，售出40件后，由于库存积压，调整为按售价的80%出售，又销售了60件．
(1)销售100件这种商品的总售价为多少元？
(2)销售100件这种商品共盈利多少元？
【变式6-1】如图，小红家装饰新家，小红为自己的房间选择了一款窗帘(阴影部分表示窗帘)，请你帮她计算：
(1)窗户的面积是多大？
(2)窗帘的面积是多大？
(3)挂上这种窗帘后，窗户上还有多少面积可以射进阳光．
【变式6-2】做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）:
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？
【变式6-3】．（2023秋•成武县期末）已知三角形的第一条边的长是，第二条边长是第一条边长的2倍少3，第三条边比第二条边短5．
（1）用含、的式子表示这个三角形的周长；
（2）当，时，求这个三角形的周长；
（3）当，三角形的周长为39时，求各边长．
【变式6-4】．（2023秋•社旗县期末）如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽比长少米．
（1）用含、的代数式表示护栏的总长度；
（2）若，，每米护栏造价80元，求建此停车场所需护栏的费用．
考点7.整式加减的拓展创新题
【例7】（2024春•高新区期末）对于一个三位自然数，若它的百位数字比个位数字多6，十位数字比个位数字多1，则称为“儿童数”．如：三位数721，，，是“儿童数”．
（1）请你写出一个“儿童数” ；除外）
（2）将721按照如下程序运算：721交换百位数字和个位数字127，用大数721减去小数127得到差为594，差594不为两位数，594交换百位数字和个位数字495，用大数594减去小数495得到差为99，请你用（1）中所写“儿童数”按照程序计算结果；
（3）设任意一个“儿童数”，百位数字为，十位数字为，个位数字为，按照（2）的程序列式计算，并提出进一步的猜想．
【变式7-1】（2023秋•北流市期末）我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．
（1）下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号）
①；
②，；
③，．
（2）若是“和积等数对”，求的值；
（3）若是“和积等数对”，求代数式的值．
【变式7-2】（2023秋•章贡区期末）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数，为“相伴有理数对”，记为．
如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”．
（1）数对，，中，是“相伴有理数对”的是 ；
（2）若是“相伴有理数对”，则的值是 ；
（3）若是“相伴有理数对”，求的值．
【变式7-3】（2023秋•播州区期末）对于一个各数位上的数字均不为0的三位数，若它百位上的数字比十位上的数字大为正整数），十位上的数字比个位上的数字大，则称这个三位数为关于的“递差数”．
例如：三位数531，因为，，所以531是关于2的“递差数”
三位数987，因为，，所以987是关于1的“递差数”
（1）判断三位数741是否为的“递差数”，若是，求出的值；若不是，请说明理由．
（2）若有一个三位数是关于的“递差数”，其百位上的数字为，将其个位上的数字和百位上的数字交换，得到一个新的三位数，求原三位数与新三位数的和．（用含，的整式表示）．
（3）若（2）中求得的和能被5整除，直接写出满足条件的关于的“递差数”．
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•青龙县期末）化简正确的是
A．B．C．D．
2．（2024•临夏州一模）如图，长方形的长是，宽是，则长方形的周长是
A．B．C．D．
3．（2023秋•玄武区校级期末）下列去括号所得结果正确的是
A．B．
C．D．
4．（2023秋•游仙区期末）若，则的值是
A．B．2C．4D．
5．（2023秋•仙居县期末）若，，则
A．3B．6C．D．
二．填空题（共7小题）
6．（2024•凉州区二模）多项式与相加后，不含二次项，则常数的值是 ．
7．（2023秋•炎陵县期末）去括号，合并同类项得： ．
8．（2023秋•曾都区期末）去括号应得 ．
9．（2023秋•阳新县期末）已知，，且满足，则 ．
10．（2024春•靖江市校级月考）化简： ．
11．（2023秋•高安市期末）已知，，则的值为 ．
12．（2024春•龙华区校级月考）多项式化简后不含项，则的值为 ．
三．解答题（共5小题）
13．（2023秋•孝昌县期末）化简：
（1）； （2）．
14．（2023秋•镇海区期末）先化简，再求值：，其中，．
15．（2023秋•青羊区校级期末）已知，．
（1）求．
（2）若的值与的取值无关，求的值．
16．（2023秋•同安区期末）下列四组整式组，将每组中的整式相加，再观察每组结果具有的共同特征．
第一组：，；
第二组：，；
第三组：，；
第四组：，，．
（1）写出上述每组整式之和的共同特征： ，若满足此特征的整式组称为“系整式组”，则，，这一组整式组 （填“能”或“不能” 构成“系整式组”；
（2）在（1）的条件下，若与，构成“系整式组”， ，为常数．探究与的数量关系，请写出结论，并说明理由．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.掌握去括号法则,能准确地去括号
2.会通过去括号、合并同类项将整式化简
3.能进行简单的整式加法和减法运算:
4.会运用整式加减解决简单的实际问题
代数式的值为7，则代数式的值为_____．
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
1.5a
2b
2c