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2024年苏教版七年级数学暑期提升精讲 第16讲 角(知识点+练习）
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角的概念与度量
1.有公共端点的两条射线组成的图形就做角。
这个公共端点就是角的顶点（右图的O）；
这两条射线是角的两条边（右图的OA、OB）
角的表示：
（1）角通常用3个字母及“∠”来表示；
如图的角为∠AOB或者∠BOA；
（2）也可以表示为∠O（在单独一个角的情况下）。
（3）还可以用阿拉伯数字表示角：ɑ。
2.角的第二定义：角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个未知形成的图形。当OA不动，OB向左旋转与OA在一条直线上是，它们所形成的角为平角；
当OB旋转一周与OA重合时，它旋转了一圈，形成周角。
补角、余角
余角的定义：如果两个角的和为一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。
如图：∠COD=90°，∠1+∠2=90°；
∠1与∠2互余。
补角的定义：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。
如图：∠1+∠2=180°；∠1与∠2互补。
2.填表
3.余角的性质：同角（等角）的余角相等。
几何语言：∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°∴∠2=∠3
补角的性质：同角（等角）的补角相等
几何语言：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°∴∠2=∠3
角的大小比较
1.比较两个角的大小关系：叠合法。
2.（1）以OA为边的角有哪几个？（按从小到大排列)
∠AOB、∠AOC、∠AOD
（2）如图：∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠AOB=∠AOD-∠BOD。
还能列举出其他角的和与差的关系式吗？
3.常用的度量单位：度、分、秒。
换算：1°的为1分，记作1′，即1°=60′。
1′的为1秒。记作1″，即1′=60″。
4.画一个角等于已知角的方法：（1）度量法；（2）尺规作图。
用尺规作图画∠DEF=∠AOB。
；
；
；
。
5.角平分线的定义
射线OC将∠AOB分成两个相等的角，
射线OC叫做这个角的角平分线。
几何语言：
性质：
∵OC平分∠AOB
∴（或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC）
判定：
∵∠AOC=∠BOC
∴OC平分∠AOB
考点一：角的概念
例1．下列说法正确的是（ ）
A．一个平角就是一条直线B．两条射线组成的图形叫做角
C．连接两点间的线段，叫做这两点的距离D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
【答案】D
【分析】本题考查了平角、两点间的距离、角的概念以及直线公理的内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平角、两点间的距离、角的定义和直线公理逐项判断解答即可．
【详解】解：A、平角的两条边在一条直线上，故本选项错误，不符合题意；
B、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误，不符合题意；
C、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故此选项错误，不符合题意；
D、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，故此选项正确，符合题意．
故选D．
【变式1-1】如图，下列表示角的方法中，错误的是（ ）
A．与表示同一个角B．也可用表示
C．图中共有三个角，分别是D．表示
【答案】B
【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示方法，逐一进行判断即可．掌握角的表示方法并能结合图形正确表示各角是解题的关键．
【详解】解：A、与表示同一个角，选项正确；
B、不能用表示，选项错误；
C、图中共有三个角，分别是，选项正确；
D、表示，选项正确；
故选B．
【变式1-2】下列结论正确的有 ．（填序号即可）
①是负数；②；③两条射线组成的图形叫做角；
④若a大于b，则a的倒数小于b的倒数；⑤连接两点的线段叫做这两点间的距离．
【答案】②
【分析】本题主要考查的是线段的性质、角的概念、两点之间的距离的定义，字母表示数，倒数的定义，掌握相关概念和性质是解题的关键．
【详解】解：①可以是正数，也可以是负数，还可以是0，故原说法错误；
②，正确；
③从同一点引出的两条射线所组成的图形叫做角，原说法错误；
④当时，，即a的倒数大于b的倒数，例如：，1的倒数为1，的倒数为，，故原说法错误；
⑤连接两点的线段长度叫做这两点间的距离，故原说法错误；
综上分析可知，正确的只有②．
故答案为：②．
【变式1-3】如图，已知，点在射线上．
(1)请按照下列步骤画图(保留作图痕迹)：
①用圆规在射线上取一点，使；
②在内部作射线，使；
③在射线上取一点(不与点重合)，连接，；
(2)由图可知， (填“”“”或“”)．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查基本的几何图形：
（1）按要求作图即可；
（2）根据线段比较的方法，借助圆规，即可求得答案．
【详解】（1）如图所示：
（2）借助圆规可知，．
故答案为：
考点二：角的表示方法
例2 ．如图，可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了角的表示，根据角的表示方法即可得到答案．
【详解】解：可以表示为，
故选：A．
【变式2-1】如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．就是 B．可以用表示
C．和是同一个角D．和是不同的两个角
【答案】B
【分析】本题考查角的定义和表示方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据角的定义和表示方法逐一判断即可．
【详解】解：A、在图中，不能明确表示哪一个角，必须由三个字母表示，本选项不符合题意．
B、可以用表示，正确，本选项符合题意．
C、和不是同一个角，本选项不符合题意．
D、和是同一个角，本选项不符合题意，
故选：B．
【变式2-2】如图，用三个大写字母表示所标记的各角．
（1）可以表示为 ；
（2）可以表示为 ；
（3）可以表示为 ．
【答案】 （或） （或） （或）
【分析】本题考查角的表示，根据角的表示方法直接求解即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键．
【详解】解：（1）可以表示为或；
（2）可以表示为或；
（3）可以表示为或；
故答案为：（1）（或）；（2）（或）；（3）（或）．
【变式2-3】已知线段和，如图，小红同学进行了以下作图：①在边上截取；②在边上截取；③连接交射线于点．
(1)请在中完成小红同学的作图（保留作图痕迹，标上字母）；
(2)设，，，，将，，，在图中标记出来．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
（1）根据题意作出图形即可；
（2）在所作的图形中将，，，标记出来即可．
【详解】（1）解：如图所示；
；
（2）解：，，，在图中标记出来如图所示．
考点三：钟面角
例3．在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题关键．根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】解：时针与分针相距份，每份的度数是，
在时刻，时钟上时针和分针之间的夹角（小于平角的角）为．
故选：B．
【变式3-1】如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了钟面角的计算方法，掌握钟表圆盘为，一共有12个间隔，每个间隔为是解题的关键．钟表圆盘为，一共有12个间隔，每个间隔为，1时30分之间有4.5个间隔，列式求解即可．
【详解】解：钟表圆盘为，一共有12个间隔，
每个间隔为，
时30分之间有4.5个间隔，
钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的角度是．
故选：C
【变式3-2】答题结束的时间是下午，此时，时针与分针所成的角度是 °．
【答案】45
【分析】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数；熟练掌握知识点是解题的关键；根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】解：∵一个圆为，有12个大格，
∴一个大格为，
一个圆有60个小格，
∴ 一个小格为：，
∴16时30分夹角为：；
故答案为：45．
【变式3-3】钟表是我们日常生活中常用的计时工具．在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格．如图，设在时，分针的位置为，时针的位置为，运动后的分针为，时针为（本题中的角均指小于180°的角）．若在至之间，在内，在内，，．
(1)当在内时，求和之间的数量关系；
(2)从开始几分钟后，．（直接写答案）
【答案】(1)
(2)从开始分钟后，
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握时针的运动速度是解题关键．
（1）设运动时间为t秒，根据时针运动速度得，，再由进行计算即可．
（2）设从开始m分钟后，，当未追上时，，则为负数，舍去．当超过时，列式，再计算即可．
【详解】（1）解：当在内时，
设运动时间为t秒，
则，
∴，
∵
∴，
，则，
∴，
（
∴
∵，
∴
∴
∴，
即
∵
∴，
（2）解：设从开始m分钟后，，
当未追上时，
∴
∴（舍去）．
当超过时，
∴
∴．
答：从开始分钟后，．
考点四：角的单位与角度制
例4．用度、分、秒表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查度、分、秒的换算：，．先将先化成，再将化成，进而得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴将用度分秒表示为．
故选：A．
【变式4-1】等于( )度
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题在考查角的度量单位之间的换算关系， 结合度、分、秒之间的换算关系计算即可得到答案．
【详解】解：
∴
故选：B．
【变式4-2】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
【分析】本题考查角的加减乘除混合运算，熟记角的换算及角的加减乘除运算法则即可得到答案，熟记角的加减乘除运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）．
【变式4-3】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了度分秒之间的换算的应用，注意，．
（1）先度分秒分别相加，再根据满进的原则求出即可；
（2）先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
考点五：角的四则运算
例5 ．若，，那么∠2的度数是（ ）
A．B． C．D．
【答案】B
【分析】本题考查角度的加减计算．根据角度的加减法计算即可，注意进率为60．
【详解】解：根据题意，．
故选：B．
【变式5-1】计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查角度的运算，掌握角度的四则运算法则是解题关键．将换成，再做加法运算即可．
【详解】解：．
故选D．
【变式5-2】 ．
【答案】
【分析】
本题考查了角的四则运算．先计算角度的倍、分，再计算角的差即可，注意度、分、秒间的进率是六十进制．
【详解】解：
；
故答案为：．
【变式5-3】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角的四则运算：
（1）根据角的四则运算法则求解即可；
（2）根据角的四则运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
考点六：求一个角的余角
例6. 角的余角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角．根据余角的定义求解即可．
【详解】解：
∴角的余角是．
故选：D．
【变式6-1】依据下列各角所标数据，其中没有余角的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了余角．熟练掌握如果两个角的和为直角，那么称这两个角“互为余角”是解题的关键．
根据余角的定义判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，没有余角，
故选：D．
【变式6-2】已知一个角的余角是，这个角的度数是 ．
【答案】/63度
【分析】本题考查的是余角的定义，掌握互余的两角和为是解答此题的关键．
【详解】解：这个角的度数是，
故答案为：．
【变式6-3】如图，直线与相交于点，，的余角比小．
(1)求的大小；
(2)在直线的右侧引出射线，当时，直接写出的大小．
【答案】(1)
(2)或
【分析】此题主要考查了邻补角的定义，互为余角的定义，对顶角的性质，角的计算．
（1）设，则，根据的余角比小得，由此解出即可得的度数；
（2）由（1）可知，，，分两种情况讨论如下：①当在直线的上方时，设，则，根据得，由此解出，然后根据可得出的度数；②当在的下方时，设，则，同理得，则，据此可得的度数，综上所述即可答案．
【详解】（1）解：设，则，
的余角为，
的余角比小，
，
解得：，
；
（2）解：由（1）可知：，，
，
，
在直线的右侧引出射线，
有以下两种情况：
①当在直线的上方时，如图1所示：
设，则，
，
，
解得：，
即，
；
②当在的下方时，如图2所示：
设，则，
，
，
解得：，
即，则
，
综上所述：的度数为：或．
考点七：求一个角的补角
例7．若，则的补角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可．
本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】。
则的补角为．
故选：D．
【变式7-1】如果一个角的补角是，那么这个角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一个角补角的度数，根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可．
【详解】解：∵一个角的补角是，
∴这个角的度数是，
故选：D．
【变式7-2】一个角的余角是，则这个角的补角为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查补角和余角的定义，根据“和为的两个角互为余角”，先求出这个角，再根据“和为的两个角互为补角”，求出这个角的补角即可．
【详解】解：这个角的度数为，
这个角的补角为：，
故答案为：．
【变式7-3】如图，A，O，B三点在同一条直线上，．
(1)写出图中的补角是 ，的余角是 ；
(2)如果平分，，求的度数．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，平角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
（1）根据“和为的两个角互为补角”、“和为的两个角互为余角”进行解答；
（2）先根据，求出，再利用平角的定义和角平分线的定义即可求出．
【详解】（1）解：∵A，O，B三点在同一条直线上，，
∴，，
∴的补角是，的余角是，
故答案为：；．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵A，O，B三点在同一条直线上，
∴．
故答案为：．
考点八：余角、补角综合运用
例8 ．的补角是它余角的3倍，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查补角，余角的概念．运用补角、余角概念列方程是解决问题的关键．依据题意列方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：
解得：，
故选：A
【变式8-1】若，则的余角的补角度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了余角和补角的定义，先求出的余角，再求出的补角度数，即可作答．
【详解】解：∵，
∴的余角，
∴的补角度数是，
则的余角的补角度数是．
故选：B．
【变式8-2】如果一个角的余角与这个角的补角的和为，那么这个角的度数是 ．
【答案】/30度
【分析】设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，根据题意列方程求出的值即可．
本题主要考查了余角和补角的定义：两个角的和为，则这两个角互余；两个角的和为，则这两个角互补．熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
【详解】设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，根据题意得：
，
解得，
故答案为：．
【变式8-3】如图，点在直线上，在直线上方，且．
(1)若，且在内部，与互余，则______．
(2)若恰好平分，且与互补，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义、一元一次方程的应用、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据互余的两个角的和为计算即可得出答案；
（2）由角平分线的定义可得，设，表示出，，结合与互补，列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：，且在内部，与互余，
，
故答案为：
（2）解：如图所示：
，恰好平分，
，
设，
，
，
，，
与互补，
，
解得：，
．
考点九：同（等）角的余（补）角相等
例9. 如图示，，．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了余角的特征，掌握同角的余角相等是解题关键．由垂直可得，进而得出，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：C
【变式9-1】如图，点是直线上的一点，，，平分，图中互余的角有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【答案】D
【分析】直接根据余角的定义进行判断即可．本题考查了余角的定义（两个角相加为度的关系，即为余角），正确理解余角的定义是解题的关键．
【详解】解：，
与互余①．
，
与互余②．
．
点是直线上一点，且．
．
与互余③．
平分，
．
与互余④．
与互余⑤．
与互余⑥．
故选：D．
【变式9-2】与互补，与互补，，那么 ．
【答案】/63度
【分析】此题考查学生对补角的性质的理解及运用能力．根据补角的性质得，进而可求得的度数．
【详解】解：∵与互补，与互补，
∴．
∵
∴
故答案为：．
【变式9-3】填空：已知，，平分，，
(1)如图，在内部时，求的度数．
解：，
，
，
，
（_________________）（填写推理依据），
，
，
平分，
_____=_____°（__________）（填写推理依据），
______°．
(2)若在外部，的度数为________．
【答案】(1)同角的余角相等，，，角平分线的定义，
(2)
【分析】本题考查的是与余角相关的计算，角平分线的定义，理解角的和差的运算是解本题的关键．
（1）利用同角的余角及角平分线的定义，根据每一步的提示结合条件，填写推理依据即可；
（2）作出图形，类比（1）即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴
∴（同角的余角相等），
∵，
∴，
∵平分，
∴（角平分线的定义），
∴．
故答案为：同角的余角相等，，，角平分线的定义，；
（2）在外部时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
考点十：角的比较
例10. 用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（ ）
A．B．
C．D．不确定
【答案】A
【分析】本题考查了角的比较，根据角的大小比较即可得到结论．
【详解】解：如图，
∴，
故选：A
【变式10-1】如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
【答案】A
【分析】本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键．将平移，让与两个角的顶点重合，即可解答．
【详解】解：将平移，让与两个角的顶点重合，
如图：
可得： 在的内部，
所以．
故选：A．
【变式10-2】比较大小： （用“＞”“＜”“＝”填空）．
【答案】=
【分析】本题考查了角的度数的表示，正确记忆度、分、秒是60进制是解题关键．
把两个度数统一单位，进而即可判断．
【详解】解：，
故答案为：=．
【变式10-3】如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图：
(1)画射线，画线段，画直线；
(2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得 （保留尺规作图痕迹）；
(3)若，．
①比较线段与的大小，并直接写出结论；
②比较与的大小，并直接写出结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①；②
【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据直线，射线，线段的定义画出图形；
（2）根据要求画出图形；
（3）利用测量法解决问题．
【详解】（1）解：如图，射线，线段，直线即为所求；
（2）解：如图，线段即为所求；
（3）解：①由测量法可知；
②由测量法可知．
考点十一：画角
例11.在一副三角尺中，每块都有一个角是，而其他两个角的和是（，），如果只用一副三角尺画角，不能画（ ）
A．角．B．角．C．角．D．角．
【答案】D
【分析】用进行加减运算，能得到可用三角尺画的角，不能得到的不能用三角尺画出．
【详解】解：由于，，，
所以用一副三角尺可以画出角、角、角，而，
所以只用一副三角尺不能画出角．
故选：D
【点睛】本题考查了角的加减，理解一副三角尺含有四种角，并能进行加减运算是解题关键．
【变式11-1】用一副三角尺，不能画出的角是（ ）
A．15° 角B．75° 角C．100° 角D．135° 角
【答案】C
【分析】根据角的和差，可得答案．
【详解】解：A、利用45°角与30°角，故A不符合题意；
B、利用45°角与30°角，故B不符合题意；
C、一副三角板无法画出100°角，故C符合题意；
D、利用45°角与90°角，故C不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了角的计算，利用了角的和差，熟悉一副三角板中各角的度数是解题关键．
【变式11-2】从点O出发，画三条射线，若，，则的大小为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了角的和与差；根据题意画出图形，分两种情况考虑，利用角的和差关系即可求解．
【详解】解：当射线在射线的两侧时，如左图，
则；
当射线在射线的同侧时，如右图，
则；
综上，的大小为或．
故答案为：或．
【变式11-3】已知：线段，，．求作：，使，，．（注意：依据答题卡中的图示作图）
【答案】作图见详解；
【分析】取线段BC=a，然后分别以B、C为顶点，线段为角的一边对向做角分别等于，两个角的另一边的交点即为点A；
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查了尺规作图，掌握并熟练使用相关知识，同时注意作图中需注意的事项是本题的解题关键．
考点十二：角平分线的计算
例12. 如图，直线相交于点O，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由平角的定义即可得到．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴，
故选：D．
【变式12-1】如图，直线与相交于点O，是直角，平分，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，根据直角的定义和角平分线的性质解答即可．
【详解】解：是直角，，
，
，
又∵平分，
，
∵，
，
故选：A．
【变式12-2】如图，，平分，平分，则 ．
【答案】
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义，结合角的和差关系，进行求解即可．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式12-3】如图，平分，平分，若，
(1)若，求的度数．
(2)若，则的度数为__________．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线，角度之间的运算．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
（1）由，可得，则，由角平分线可得，根据，求解作答即可；
（2）同理（1）求解作答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，
∴，
同理（1）可得，，
∴，
故答案为：．
1．如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则的度数可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角板的特点，根据三角板的特点得出，由此即可得出答案，熟练掌握三角板的特点是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：，
∴的度数可能是，
故选：C ．
2．学完第五章后，同学们对“对顶角相等”进行了如图所示的推理，其中“▲”处的依据为（ ）
A．同角的余角相等B．同角的补角相等C．等量代换D．平角的定义
【答案】B
【分析】本题考查了补角的性质，由补角的性质：同角的补角相等，即可得到答案．
【详解】解：因为直线，相交于点，
所以与都是平角，
所以，．
由同角的补角相等，即可得到．
故选：B．
3．如图，直线，，交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查的是对顶角、邻补角，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．由对顶角的性质可得的度数，再由平角的定义解答即可．
【详解】解：如图：
，，
，
，
，
故选：D
4．若，则的补角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，熟知互为补角的定义是解题的关键．如果两个角的和为，那么这两个角互为补角；由此计算即可．
【详解】解：若，
则的补角为，
故选：D．
5．如图，直线相交于点，过点作射线，，平分，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，设，则，再由角平分线的定义得到，由平角的定义得到，则可得．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．如图．的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是（ ）
A．北偏东B．东偏北C．东偏北D．北偏东
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的定义、方向角的表示方法、角的运算，记正北方为，根据题意算出，利用角平分线性质得到，根据计算出，即可解题．
【详解】解：的方向是北偏东，的方向是北偏西，
，
平分，
，
记正北方为，
，
的方向是北偏东．
故选：D．
7．从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（ ）分钟（结果四舍五入到整数）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了钟表问题，根据分钟每分钟转过的角度为度，时钟每分钟转过的角度为度，列出算式即可求解，掌握钟表基本常识是解题的关键．
【详解】解：∵分针每分钟转，时针每分钟转，
∴（分钟），
故选：．
8．如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或x°，表示出其他角，根据平角列方程即可．
【详解】解：设∠DOE=x°，射线将分成了角度数之比为的两个角，
当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD=x°，=x°，
∵平分，
∴=x°，
∵∠COD=180°，
∴x+x+90+ x=180，
解得，x=45；
∠COF=2∠AOC=45°；
当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°，=2x°，
同理， =2x°，
2x+2x+90+ x=180，
解得：x=18，
∠COF=2∠AOC=72°；
故选：C．
【点睛】本题考查了角的运算、角的度量和角平分线，解题关键是根据角度比设未知数，表示出其他角，然后根据平角列方程，注意：分类讨论．
9．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查角度的运算，根据，，进行角度的加法运算即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．已知，则的补角是 度．
【答案】128
【分析】本题考查求一个角的补角，根据和为180度的两个角互为补角，进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：128．
11．如图，在同一平面内，三角尺的直角顶点C正好在直线上．如果， 那么的度数为 度．
【答案】
【分析】本题考查余角和补角，利用补角的概念，得到，然后进一步求出，熟知余角和补角的概念是解题的关键．
【详解】解：三角尺的直角顶点C正好在直线上，
，
，
故答案为：．
12．钟表8点30分的时针和分针构成的锐角的度数为 度．
【答案】75
【分析】本题主要考查钟面角，熟练掌握时针一分钟走，分针一分钟走是解题的关键；因此此题可根据时针与分针所走的度数进行求解即可．
【详解】解：由题意可知：
钟表8点30分的时针和分针构成的锐角的度数为；
故答案为75．
13．已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查角的运算，根据题意分两种情况，分别画出图形求解即可，解答本题的关键是分类讨论．
【详解】解：当和在的同一侧时，如图，
∵射线、分别平分、，，，
∴，，
∴；
当和在的两侧时，如图，
同理可得，，
∴，
综上，的度数是或．
故答案为：或．
14．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．试探索；保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的的度数 ．
【答案】或或或
【分析】本题考查的是角的和差运算．分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴；
如图，
∵，，
∴，
∴，
如图，
∵，，
∴，
∴，
如图，
∵，，
∴，
∴，
综上：为或或或．
故答案为：或或或．
15．(1)如图，平面上有，，，四个点．
①画线段，相交于点；
②连接，并将其反向延长；
③作直线，直线，两条直线相交于点．
(2)如图，是的平分线，，，求，，的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)；；．
【分析】本题考查了画直线、射线、线段，角的和差关系、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据已知语句，作出相应的图形即可；
（2）根据角的和差关系以及角平分线的定义进行解答即可．
【详解】（1）①连接，，交于点，如图所示；
②连接，反向延长，如图所示；
③作直线，直线，交于点．
（2），，
，
，
是的角平分线，
．
综上：，，．
16．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角的四则运算：
（1）根据角度制的进率为60进行计算求解即可；
（2）根据角度制的进率为60进行计算求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．已知，为内部的一条射线．
(1)如图1，若平分，平分，的度数为______；
(2)如图2，在内部，且，平分，平分（射线在射线左侧），求的度数；
(3)在（2）的条件下，绕点，若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查角平分线，理解角平分线的意义以及角的和差关系是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的意义以及角的和差关系得出即可；
（2）根据角平分线的意义以及角的和差关系得到即可；
（3）分两种情况进行解答，即在的右侧、左侧时，分别画出相应的图形，利用角平分线的意义以及角的和差关系进行解答即可．
【详解】（1）如图1，
平分，平分，
，，
；
故答案为：；
（2）平分，平分，
，，
；
（3）①当在的右侧时，如图2，
∵
∴
∵
②当在的左侧时，如图3，
∵
∴
的度数为或
18．如图，直线与相交于点O，，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，平分．
(1)求的度数；
(2)将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（）．
①当t为何值时，直线平分；
②若直线平分，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)①或；②或
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．
（1）依据，平分，可得，再根据，即可得到；
（2）①分两种情况进行讨论：当平分时，；当平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值；
②分两种情况进行讨论：当平分时，；当平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得出的值．
【详解】（1）解：，平分，
，
又，
；
（2）解：①分两种情况：
①当平分时，，
即，
解得；
②当平分时，，
即，
解得；
综上所述，当或时，直线平分；
②的值为或．
分两种情况：
①当平分时，，
即，
解得；
②当平分时，，
即，
解得；
综上所述，若直线平分，的值为或．模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．通过实例，进一步理解角的有关概念，认识角的表示和常用的度量单位：度、分、秒，会进行简单的换算；
2．会估计、比较角的大小，会用尺规画等角；
3.了解余角、补角，知道同角的余角相等，同角的补角相等。
∠1
30°
n（0＜n＜90）
∠1的余角
60°
∠1的补角
120°
如图，因为直线，相交于点O，
所以与都是平角．
所以，．
所以（依据：▲）．
角的概念与度量
1.有公共端点的两条射线组成的图形就做角。
这个公共端点就是角的顶点（右图的O）；
这两条射线是角的两条边（右图的OA、OB）
角的表示：
（1）角通常用3个字母及“∠”来表示；
如图的角为∠AOB或者∠BOA；
（2）也可以表示为∠O（在单独一个角的情况下）。
（3）还可以用阿拉伯数字表示角：ɑ。
2.角的第二定义：角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个未知形成的图形。当OA不动，OB向左旋转与OA在一条直线上是，它们所形成的角为平角；
当OB旋转一周与OA重合时，它旋转了一圈，形成周角。
补角、余角
余角的定义：如果两个角的和为一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。
如图：∠COD=90°，∠1+∠2=90°；
∠1与∠2互余。
补角的定义：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。
如图：∠1+∠2=180°；∠1与∠2互补。
2.填表
3.余角的性质：同角（等角）的余角相等。
几何语言：∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°∴∠2=∠3
补角的性质：同角（等角）的补角相等
几何语言：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°∴∠2=∠3
角的大小比较
1.比较两个角的大小关系：叠合法。
2.（1）以OA为边的角有哪几个？（按从小到大排列)
∠AOB、∠AOC、∠AOD
（2）如图：∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠AOB=∠AOD-∠BOD。
还能列举出其他角的和与差的关系式吗？
3.常用的度量单位：度、分、秒。
换算：1°的为1分，记作1′，即1°=60′。
1′的为1秒。记作1″，即1′=60″。
4.画一个角等于已知角的方法：（1）度量法；（2）尺规作图。
用尺规作图画∠DEF=∠AOB。
；
；
；
。
5.角平分线的定义
射线OC将∠AOB分成两个相等的角，
射线OC叫做这个角的角平分线。
几何语言：
性质：
∵OC平分∠AOB
∴（或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC）
判定：
∵∠AOC=∠BOC
∴OC平分∠AOB
考点一：角的概念
例1．下列说法正确的是（ ）
A．一个平角就是一条直线B．两条射线组成的图形叫做角
C．连接两点间的线段，叫做这两点的距离D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
【答案】D
【分析】本题考查了平角、两点间的距离、角的概念以及直线公理的内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平角、两点间的距离、角的定义和直线公理逐项判断解答即可．
【详解】解：A、平角的两条边在一条直线上，故本选项错误，不符合题意；
B、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误，不符合题意；
C、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故此选项错误，不符合题意；
D、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，故此选项正确，符合题意．
故选D．
【变式1-1】如图，下列表示角的方法中，错误的是（ ）
A．与表示同一个角B．也可用表示
C．图中共有三个角，分别是D．表示
【答案】B
【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示方法，逐一进行判断即可．掌握角的表示方法并能结合图形正确表示各角是解题的关键．
【详解】解：A、与表示同一个角，选项正确；
B、不能用表示，选项错误；
C、图中共有三个角，分别是，选项正确；
D、表示，选项正确；
故选B．
【变式1-2】下列结论正确的有 ．（填序号即可）
①是负数；②；③两条射线组成的图形叫做角；
④若a大于b，则a的倒数小于b的倒数；⑤连接两点的线段叫做这两点间的距离．
【答案】②
【分析】本题主要考查的是线段的性质、角的概念、两点之间的距离的定义，字母表示数，倒数的定义，掌握相关概念和性质是解题的关键．
【详解】解：①可以是正数，也可以是负数，还可以是0，故原说法错误；
②，正确；
③从同一点引出的两条射线所组成的图形叫做角，原说法错误；
④当时，，即a的倒数大于b的倒数，例如：，1的倒数为1，的倒数为，，故原说法错误；
⑤连接两点的线段长度叫做这两点间的距离，故原说法错误；
综上分析可知，正确的只有②．
故答案为：②．
【变式1-3】如图，已知，点在射线上．
(1)请按照下列步骤画图(保留作图痕迹)：
①用圆规在射线上取一点，使；
②在内部作射线，使；
③在射线上取一点(不与点重合)，连接，；
(2)由图可知， (填“”“”或“”)．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查基本的几何图形：
（1）按要求作图即可；
（2）根据线段比较的方法，借助圆规，即可求得答案．
【详解】（1）如图所示：
（2）借助圆规可知，．
故答案为：
考点二：角的表示方法
例2 ．如图，可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了角的表示，根据角的表示方法即可得到答案．
【详解】解：可以表示为，
故选：A．
【变式2-1】如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．就是 B．可以用表示
C．和是同一个角D．和是不同的两个角
【答案】B
【分析】本题考查角的定义和表示方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据角的定义和表示方法逐一判断即可．
【详解】解：A、在图中，不能明确表示哪一个角，必须由三个字母表示，本选项不符合题意．
B、可以用表示，正确，本选项符合题意．
C、和不是同一个角，本选项不符合题意．
D、和是同一个角，本选项不符合题意，
故选：B．
【变式2-2】如图，用三个大写字母表示所标记的各角．
（1）可以表示为 ；
（2）可以表示为 ；
（3）可以表示为 ．
【答案】 （或） （或） （或）
【分析】本题考查角的表示，根据角的表示方法直接求解即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键．
【详解】解：（1）可以表示为或；
（2）可以表示为或；
（3）可以表示为或；
故答案为：（1）（或）；（2）（或）；（3）（或）．
【变式2-3】已知线段和，如图，小红同学进行了以下作图：①在边上截取；②在边上截取；③连接交射线于点．
(1)请在中完成小红同学的作图（保留作图痕迹，标上字母）；
(2)设，，，，将，，，在图中标记出来．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
（1）根据题意作出图形即可；
（2）在所作的图形中将，，，标记出来即可．
【详解】（1）解：如图所示；
；
（2）解：，，，在图中标记出来如图所示．
考点三：钟面角
例3．在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题关键．根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】解：时针与分针相距份，每份的度数是，
在时刻，时钟上时针和分针之间的夹角（小于平角的角）为．
故选：B．
【变式3-1】如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了钟面角的计算方法，掌握钟表圆盘为，一共有12个间隔，每个间隔为是解题的关键．钟表圆盘为，一共有12个间隔，每个间隔为，1时30分之间有4.5个间隔，列式求解即可．
【详解】解：钟表圆盘为，一共有12个间隔，
每个间隔为，
时30分之间有4.5个间隔，
钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的角度是．
故选：C
【变式3-2】答题结束的时间是下午，此时，时针与分针所成的角度是 °．
【答案】45
【分析】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数；熟练掌握知识点是解题的关键；根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】解：∵一个圆为，有12个大格，
∴一个大格为，
一个圆有60个小格，
∴ 一个小格为：，
∴16时30分夹角为：；
故答案为：45．
【变式3-3】钟表是我们日常生活中常用的计时工具．在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格．如图，设在时，分针的位置为，时针的位置为，运动后的分针为，时针为（本题中的角均指小于180°的角）．若在至之间，在内，在内，，．
(1)当在内时，求和之间的数量关系；
(2)从开始几分钟后，．（直接写答案）
【答案】(1)
(2)从开始分钟后，
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握时针的运动速度是解题关键．
（1）设运动时间为t秒，根据时针运动速度得，，再由进行计算即可．
（2）设从开始m分钟后，，当未追上时，，则为负数，舍去．当超过时，列式，再计算即可．
【详解】（1）解：当在内时，
设运动时间为t秒，
则，
∴，
∵
∴，
，则，
∴，
（
∴
∵，
∴
∴
∴，
即
∵
∴，
（2）解：设从开始m分钟后，，
当未追上时，
∴
∴（舍去）．
当超过时，
∴
∴．
答：从开始分钟后，．
考点四：角的单位与角度制
例4．用度、分、秒表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查度、分、秒的换算：，．先将先化成，再将化成，进而得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴将用度分秒表示为．
故选：A．
【变式4-1】等于( )度
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题在考查角的度量单位之间的换算关系， 结合度、分、秒之间的换算关系计算即可得到答案．
【详解】解：
∴
故选：B．
【变式4-2】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
【分析】本题考查角的加减乘除混合运算，熟记角的换算及角的加减乘除运算法则即可得到答案，熟记角的加减乘除运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）．
【变式4-3】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了度分秒之间的换算的应用，注意，．
（1）先度分秒分别相加，再根据满进的原则求出即可；
（2）先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
考点五：角的四则运算
例5 ．若，，那么∠2的度数是（ ）
A．B． C．D．
【答案】B
【分析】本题考查角度的加减计算．根据角度的加减法计算即可，注意进率为60．
【详解】解：根据题意，．
故选：B．
【变式5-1】计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查角度的运算，掌握角度的四则运算法则是解题关键．将换成，再做加法运算即可．
【详解】解：．
故选D．
【变式5-2】 ．
【答案】
【分析】
本题考查了角的四则运算．先计算角度的倍、分，再计算角的差即可，注意度、分、秒间的进率是六十进制．
【详解】解：
；
故答案为：．
【变式5-3】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角的四则运算：
（1）根据角的四则运算法则求解即可；
（2）根据角的四则运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
考点六：求一个角的余角
例6. 角的余角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角．根据余角的定义求解即可．
【详解】解：
∴角的余角是．
故选：D．
【变式6-1】依据下列各角所标数据，其中没有余角的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了余角．熟练掌握如果两个角的和为直角，那么称这两个角“互为余角”是解题的关键．
根据余角的定义判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，没有余角，
故选：D．
【变式6-2】已知一个角的余角是，这个角的度数是 ．
【答案】/63度
【分析】本题考查的是余角的定义，掌握互余的两角和为是解答此题的关键．
【详解】解：这个角的度数是，
故答案为：．
【变式6-3】如图，直线与相交于点，，的余角比小．
(1)求的大小；
(2)在直线的右侧引出射线，当时，直接写出的大小．
【答案】(1)
(2)或
【分析】此题主要考查了邻补角的定义，互为余角的定义，对顶角的性质，角的计算．
（1）设，则，根据的余角比小得，由此解出即可得的度数；
（2）由（1）可知，，，分两种情况讨论如下：①当在直线的上方时，设，则，根据得，由此解出，然后根据可得出的度数；②当在的下方时，设，则，同理得，则，据此可得的度数，综上所述即可答案．
【详解】（1）解：设，则，
的余角为，
的余角比小，
，
解得：，
；
（2）解：由（1）可知：，，
，
，
在直线的右侧引出射线，
有以下两种情况：
①当在直线的上方时，如图1所示：
设，则，
，
，
解得：，
即，
；
②当在的下方时，如图2所示：
设，则，
，
，
解得：，
即，则
，
综上所述：的度数为：或．
考点七：求一个角的补角
例7．若，则的补角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可．
本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】。
则的补角为．
故选：D．
【变式7-1】如果一个角的补角是，那么这个角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一个角补角的度数，根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可．
【详解】解：∵一个角的补角是，
∴这个角的度数是，
故选：D．
【变式7-2】一个角的余角是，则这个角的补角为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查补角和余角的定义，根据“和为的两个角互为余角”，先求出这个角，再根据“和为的两个角互为补角”，求出这个角的补角即可．
【详解】解：这个角的度数为，
这个角的补角为：，
故答案为：．
【变式7-3】如图，A，O，B三点在同一条直线上，．
(1)写出图中的补角是 ，的余角是 ；
(2)如果平分，，求的度数．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，平角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
（1）根据“和为的两个角互为补角”、“和为的两个角互为余角”进行解答；
（2）先根据，求出，再利用平角的定义和角平分线的定义即可求出．
【详解】（1）解：∵A，O，B三点在同一条直线上，，
∴，，
∴的补角是，的余角是，
故答案为：；．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵A，O，B三点在同一条直线上，
∴．
故答案为：．
考点八：余角、补角综合运用
例8 ．的补角是它余角的3倍，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查补角，余角的概念．运用补角、余角概念列方程是解决问题的关键．依据题意列方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：
解得：，
故选：A
【变式8-1】若，则的余角的补角度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了余角和补角的定义，先求出的余角，再求出的补角度数，即可作答．
【详解】解：∵，
∴的余角，
∴的补角度数是，
则的余角的补角度数是．
故选：B．
【变式8-2】如果一个角的余角与这个角的补角的和为，那么这个角的度数是 ．
【答案】/30度
【分析】设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，根据题意列方程求出的值即可．
本题主要考查了余角和补角的定义：两个角的和为，则这两个角互余；两个角的和为，则这两个角互补．熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
【详解】设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，根据题意得：
，
解得，
故答案为：．
【变式8-3】如图，点在直线上，在直线上方，且．
(1)若，且在内部，与互余，则______．
(2)若恰好平分，且与互补，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义、一元一次方程的应用、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据互余的两个角的和为计算即可得出答案；
（2）由角平分线的定义可得，设，表示出，，结合与互补，列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：，且在内部，与互余，
，
故答案为：
（2）解：如图所示：
，恰好平分，
，
设，
，
，
，，
与互补，
，
解得：，
．
考点九：同（等）角的余（补）角相等
例9. 如图示，，．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了余角的特征，掌握同角的余角相等是解题关键．由垂直可得，进而得出，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：C
【变式9-1】如图，点是直线上的一点，，，平分，图中互余的角有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【答案】D
【分析】直接根据余角的定义进行判断即可．本题考查了余角的定义（两个角相加为度的关系，即为余角），正确理解余角的定义是解题的关键．
【详解】解：，
与互余①．
，
与互余②．
．
点是直线上一点，且．
．
与互余③．
平分，
．
与互余④．
与互余⑤．
与互余⑥．
故选：D．
【变式9-2】与互补，与互补，，那么 ．
【答案】/63度
【分析】此题考查学生对补角的性质的理解及运用能力．根据补角的性质得，进而可求得的度数．
【详解】解：∵与互补，与互补，
∴．
∵
∴
故答案为：．
【变式9-3】填空：已知，，平分，，
(1)如图，在内部时，求的度数．
解：，
，
，
，
（_________________）（填写推理依据），
，
，
平分，
_____=_____°（__________）（填写推理依据），
______°．
(2)若在外部，的度数为________．
【答案】(1)同角的余角相等，，，角平分线的定义，
(2)
【分析】本题考查的是与余角相关的计算，角平分线的定义，理解角的和差的运算是解本题的关键．
（1）利用同角的余角及角平分线的定义，根据每一步的提示结合条件，填写推理依据即可；
（2）作出图形，类比（1）即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴
∴（同角的余角相等），
∵，
∴，
∵平分，
∴（角平分线的定义），
∴．
故答案为：同角的余角相等，，，角平分线的定义，；
（2）在外部时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
考点十：角的比较
例10. 用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（ ）
A．B．
C．D．不确定
【答案】A
【分析】本题考查了角的比较，根据角的大小比较即可得到结论．
【详解】解：如图，
∴，
故选：A
【变式10-1】如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
【答案】A
【分析】本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键．将平移，让与两个角的顶点重合，即可解答．
【详解】解：将平移，让与两个角的顶点重合，
如图：
可得： 在的内部，
所以．
故选：A．
【变式10-2】比较大小： （用“＞”“＜”“＝”填空）．
【答案】=
【分析】本题考查了角的度数的表示，正确记忆度、分、秒是60进制是解题关键．
把两个度数统一单位，进而即可判断．
【详解】解：，
故答案为：=．
【变式10-3】如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图：
(1)画射线，画线段，画直线；
(2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得 （保留尺规作图痕迹）；
(3)若，．
①比较线段与的大小，并直接写出结论；
②比较与的大小，并直接写出结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①；②
【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据直线，射线，线段的定义画出图形；
（2）根据要求画出图形；
（3）利用测量法解决问题．
【详解】（1）解：如图，射线，线段，直线即为所求；
（2）解：如图，线段即为所求；
（3）解：①由测量法可知；
②由测量法可知．
考点十一：画角
例11.在一副三角尺中，每块都有一个角是，而其他两个角的和是（，），如果只用一副三角尺画角，不能画（ ）
A．角．B．角．C．角．D．角．
【答案】D
【分析】用进行加减运算，能得到可用三角尺画的角，不能得到的不能用三角尺画出．
【详解】解：由于，，，
所以用一副三角尺可以画出角、角、角，而，
所以只用一副三角尺不能画出角．
故选：D
【点睛】本题考查了角的加减，理解一副三角尺含有四种角，并能进行加减运算是解题关键．
【变式11-1】用一副三角尺，不能画出的角是（ ）
A．15° 角B．75° 角C．100° 角D．135° 角
【答案】C
【分析】根据角的和差，可得答案．
【详解】解：A、利用45°角与30°角，故A不符合题意；
B、利用45°角与30°角，故B不符合题意；
C、一副三角板无法画出100°角，故C符合题意；
D、利用45°角与90°角，故C不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了角的计算，利用了角的和差，熟悉一副三角板中各角的度数是解题关键．
【变式11-2】从点O出发，画三条射线，若，，则的大小为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了角的和与差；根据题意画出图形，分两种情况考虑，利用角的和差关系即可求解．
【详解】解：当射线在射线的两侧时，如左图，
则；
当射线在射线的同侧时，如右图，
则；
综上，的大小为或．
故答案为：或．
【变式11-3】已知：线段，，．求作：，使，，．（注意：依据答题卡中的图示作图）
【答案】作图见详解；
【分析】取线段BC=a，然后分别以B、C为顶点，线段为角的一边对向做角分别等于，两个角的另一边的交点即为点A；
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查了尺规作图，掌握并熟练使用相关知识，同时注意作图中需注意的事项是本题的解题关键．
考点十二：角平分线的计算
例12. 如图，直线相交于点O，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由平角的定义即可得到．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴，
故选：D．
【变式12-1】如图，直线与相交于点O，是直角，平分，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，根据直角的定义和角平分线的性质解答即可．
【详解】解：是直角，，
，
，
又∵平分，
，
∵，
，
故选：A．
【变式12-2】如图，，平分，平分，则 ．
【答案】
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义，结合角的和差关系，进行求解即可．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式12-3】如图，平分，平分，若，
(1)若，求的度数．
(2)若，则的度数为__________．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线，角度之间的运算．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
（1）由，可得，则，由角平分线可得，根据，求解作答即可；
（2）同理（1）求解作答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，
∴，
同理（1）可得，，
∴，
故答案为：．
1．如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则的度数可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角板的特点，根据三角板的特点得出，由此即可得出答案，熟练掌握三角板的特点是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：，
∴的度数可能是，
故选：C ．
2．学完第五章后，同学们对“对顶角相等”进行了如图所示的推理，其中“▲”处的依据为（ ）
A．同角的余角相等B．同角的补角相等C．等量代换D．平角的定义
【答案】B
【分析】本题考查了补角的性质，由补角的性质：同角的补角相等，即可得到答案．
【详解】解：因为直线，相交于点，
所以与都是平角，
所以，．
由同角的补角相等，即可得到．
故选：B．
3．如图，直线，，交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查的是对顶角、邻补角，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．由对顶角的性质可得的度数，再由平角的定义解答即可．
【详解】解：如图：
，，
，
，
，
故选：D
4．若，则的补角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，熟知互为补角的定义是解题的关键．如果两个角的和为，那么这两个角互为补角；由此计算即可．
【详解】解：若，
则的补角为，
故选：D．
5．如图，直线相交于点，过点作射线，，平分，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，设，则，再由角平分线的定义得到，由平角的定义得到，则可得．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．如图．的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是（ ）
A．北偏东B．东偏北C．东偏北D．北偏东
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的定义、方向角的表示方法、角的运算，记正北方为，根据题意算出，利用角平分线性质得到，根据计算出，即可解题．
【详解】解：的方向是北偏东，的方向是北偏西，
，
平分，
，
记正北方为，
，
的方向是北偏东．
故选：D．
7．从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（ ）分钟（结果四舍五入到整数）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了钟表问题，根据分钟每分钟转过的角度为度，时钟每分钟转过的角度为度，列出算式即可求解，掌握钟表基本常识是解题的关键．
【详解】解：∵分针每分钟转，时针每分钟转，
∴（分钟），
故选：．
8．如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或x°，表示出其他角，根据平角列方程即可．
【详解】解：设∠DOE=x°，射线将分成了角度数之比为的两个角，
当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD=x°，=x°，
∵平分，
∴=x°，
∵∠COD=180°，
∴x+x+90+ x=180，
解得，x=45；
∠COF=2∠AOC=45°；
当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°，=2x°，
同理， =2x°，
2x+2x+90+ x=180，
解得：x=18，
∠COF=2∠AOC=72°；
故选：C．
【点睛】本题考查了角的运算、角的度量和角平分线，解题关键是根据角度比设未知数，表示出其他角，然后根据平角列方程，注意：分类讨论．
9．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查角度的运算，根据，，进行角度的加法运算即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．已知，则的补角是 度．
【答案】128
【分析】本题考查求一个角的补角，根据和为180度的两个角互为补角，进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：128．
11．如图，在同一平面内，三角尺的直角顶点C正好在直线上．如果， 那么的度数为 度．
【答案】
【分析】本题考查余角和补角，利用补角的概念，得到，然后进一步求出，熟知余角和补角的概念是解题的关键．
【详解】解：三角尺的直角顶点C正好在直线上，
，
，
故答案为：．
12．钟表8点30分的时针和分针构成的锐角的度数为 度．
【答案】75
【分析】本题主要考查钟面角，熟练掌握时针一分钟走，分针一分钟走是解题的关键；因此此题可根据时针与分针所走的度数进行求解即可．
【详解】解：由题意可知：
钟表8点30分的时针和分针构成的锐角的度数为；
故答案为75．
13．已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查角的运算，根据题意分两种情况，分别画出图形求解即可，解答本题的关键是分类讨论．
【详解】解：当和在的同一侧时，如图，
∵射线、分别平分、，，，
∴，，
∴；
当和在的两侧时，如图，
同理可得，，
∴，
综上，的度数是或．
故答案为：或．
14．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．试探索；保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的的度数 ．
【答案】或或或
【分析】本题考查的是角的和差运算．分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴；
如图，
∵，，
∴，
∴，
如图，
∵，，
∴，
∴，
如图，
∵，，
∴，
∴，
综上：为或或或．
故答案为：或或或．
15．(1)如图，平面上有，，，四个点．
①画线段，相交于点；
②连接，并将其反向延长；
③作直线，直线，两条直线相交于点．
(2)如图，是的平分线，，，求，，的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)；；．
【分析】本题考查了画直线、射线、线段，角的和差关系、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据已知语句，作出相应的图形即可；
（2）根据角的和差关系以及角平分线的定义进行解答即可．
【详解】（1）①连接，，交于点，如图所示；
②连接，反向延长，如图所示；
③作直线，直线，交于点．
（2），，
，
，
是的角平分线，
．
综上：，，．
16．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角的四则运算：
（1）根据角度制的进率为60进行计算求解即可；
（2）根据角度制的进率为60进行计算求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．已知，为内部的一条射线．
(1)如图1，若平分，平分，的度数为______；
(2)如图2，在内部，且，平分，平分（射线在射线左侧），求的度数；
(3)在（2）的条件下，绕点，若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查角平分线，理解角平分线的意义以及角的和差关系是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的意义以及角的和差关系得出即可；
（2）根据角平分线的意义以及角的和差关系得到即可；
（3）分两种情况进行解答，即在的右侧、左侧时，分别画出相应的图形，利用角平分线的意义以及角的和差关系进行解答即可．
【详解】（1）如图1，
平分，平分，
，，
；
故答案为：；
（2）平分，平分，
，，
；
（3）①当在的右侧时，如图2，
∵
∴
∵
②当在的左侧时，如图3，
∵
∴
的度数为或
18．如图，直线与相交于点O，，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，平分．
(1)求的度数；
(2)将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（）．
①当t为何值时，直线平分；
②若直线平分，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)①或；②或
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．
（1）依据，平分，可得，再根据，即可得到；
（2）①分两种情况进行讨论：当平分时，；当平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值；
②分两种情况进行讨论：当平分时，；当平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得出的值．
【详解】（1）解：，平分，
，
又，
；
（2）解：①分两种情况：
①当平分时，，
即，
解得；
②当平分时，，
即，
解得；
综上所述，当或时，直线平分；
②的值为或．
分两种情况：
①当平分时，，
即，
解得；
②当平分时，，
即，
解得；
综上所述，若直线平分，的值为或．模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．通过实例，进一步理解角的有关概念，认识角的表示和常用的度量单位：度、分、秒，会进行简单的换算；
2．会估计、比较角的大小，会用尺规画等角；
3.了解余角、补角，知道同角的余角相等，同角的补角相等。
∠1
30°
n（0＜n＜90）
∠1的余角
60°
∠1的补角
120°
如图，因为直线，相交于点O，
所以与都是平角．
所以，．
所以（依据：▲）．
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