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2024年苏教版七年级数学暑期提升精讲 第17讲 相交线(知识点+练习）
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对顶角
对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的 ，这两个角叫做 。
如图：∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角。
对顶角的性质： 。
几何语言：
∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角
∴∠1=∠3，∠2=∠4
垂直
1.如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。
2.过点A作直线l的垂线。
垂线的性质： 。
如图：两条直线互相垂直，记作 ⊥ 于点O或者 ⊥ 于点O；
几何语言：∵AB⊥CD ∴∠AOC=90°
反之：∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD。
3.垂直的网格画法： 。
垂线段
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做
。
从直线外一点画这条直线的垂线，这点与垂足之间的线段，
叫做点到直线的垂线段，简称： 。
考点一：对顶角的定义
例1．下列图中，、是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与互为对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】如图，已知直线相交于点O，射线把分成两部分．
（1）写出图中的对顶角 ，的补角是 ；
（2）已知，且，则的度数为 ．
【变式1-3】如图，直线相交于点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若比大，求的度数．
考点二：对顶角相等
例2．如图．直线和直线相交于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】如图，已知直线、相交于点，平分，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】如图，直线、相交于点，，把分成两部分，且，则的度数为 ．
【变式2-3】如图，已知直线、、交于点，，且平分．
(1)若，求的度数；
(2)，求的度数．
考点三：垂线的定义
例3. 在同一平面内，下列说法错误的有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条射线不相交就平行；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-1】下列说法中，
①过直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条；
②连接两点的线段叫两点间的距离；
③等角的补角互余；
④两点之间，线段最短；
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-2】如图，，于D，有以下结论：①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离，其中正确的有 （填序号）
【变式3-3】如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图：
(1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为；
(2)过点画的垂线，垂足记为；
(3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据．
考点四：画垂线
例4．下列选项中，过点画的垂线，三角板放法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直．
【变式4-3】作图并回答问题：已知，如图，点在的边上．
(1)过点作边的垂线；
(2)过点作边的垂线段；
(3)比较，，线段的大小：_________________，得此结论的依据是_________________．
考点五：垂线段最短
例5 ．如图，这是小军同学在体育课上跳远留下的痕迹，其中①号线的长度作为他的跳远成绩，这样测量的数学道理是（ ）
A．平行线之间的距离处处相等B．垂线段最短
C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短
【变式5-1】如图，计划把河水引到A处，应在河岸B（于点B）处挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是（ ）
A．垂线段最短
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
【变式5-2】在中，，，，且，若点P在直线AC上运动，则BP最短时的值为 ．
【变式5-3】如图，点P是的边上的一个格点，用无刻度的直尺作图：
(1)过点P作，垂足为Q；
(2)过点P作，交于点C；
(3)线段________的长度是点P到的距离．
考点六：点到直线的距离
例6. 下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】在直角三角形中，，，，点P是直线上的动点，线段的最小值为（ ）
A．3B．5C．12D．13
【变式6-2】如图，在直角三角形中，，，，．点A到点B的距离是 ，点B到的距离是 ，点A到的距离是 ；
【变式6-3】如图，直线，相交于点，，垂足为，，求的度数．
1．如图，直线，相交于点O，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线B．两点之间直线最短
C．两点之间线段最短D．垂线段最短
3．如图，直线于，平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线相交于点O，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（ ）
A．B．C．D．
6．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①；②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离；⑥线段的长度是点D到的距离．
A．3个B．4个C．7个D．0个
9．如图，直线a，b相交，，则 ．
10．如图，直线、、相交于点，若，，则 ．
11．如图，已知点O在直线上，于点M，连接，则点E到的距离是线段 的长度．
12．如图，直线相交于点O，，垂足为点O，若，则 ．
13．如图，直线、相交于点O，平分，，与的度数之比为，则 ．
14．如图，在中，分别是的角平分线和高线，点 P在 的延长线上，交于点 Q，交于点 N，交于点 M，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）．
15．观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．
(1)如图1，两条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(2)如图2，三条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(3)如图3，四条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(4)根据填空结果探究：当条直线相交于一点时，共有__________对对顶角；
(5)根据探究结果，求1000条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．
16．如图，直线相交于点O，分别在和内部，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，求的度数．
17．已知，点O在直线上，，平分．
【问题初探】
（1）如图1，若，求的度数；
【类比分析】
（2）如图1，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图2，若平分，平分，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
18．如图，已知点为直线上一点，，，平分，．
(1)求的度数；
(2)试说明：平分；
(3)若改变的大小，其余条件不变，设，(2)中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用表示．模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．了解对顶角，知道对顶角相等；
2．在具体情境中进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，并会用符号表示两条直线互相垂直；
3.会用三角尺、量角器、方格纸画垂线，并在操作、思考活动中探索垂线的基本性质。
4.感知垂线段最短的性质。
对顶角
对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的 ，这两个角叫做 。
如图：∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角。
对顶角的性质： 。
几何语言：
∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角
∴∠1=∠3，∠2=∠4
垂直
1.如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。
2.过点A作直线l的垂线。
垂线的性质： 。
如图：两条直线互相垂直，记作 ⊥ 于点O或者 ⊥ 于点O；
几何语言：∵AB⊥CD ∴∠AOC=90°
反之：∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD。
3.垂直的网格画法： 。
垂线段
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做
。
从直线外一点画这条直线的垂线，这点与垂足之间的线段，
叫做点到直线的垂线段，简称： 。
考点一：对顶角的定义
例1．下列图中，、是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与互为对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】如图，已知直线相交于点O，射线把分成两部分．
（1）写出图中的对顶角 ，的补角是 ；
（2）已知，且，则的度数为 ．
【变式1-3】如图，直线相交于点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若比大，求的度数．
考点二：对顶角相等
例2．如图．直线和直线相交于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】如图，已知直线、相交于点，平分，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】如图，直线、相交于点，，把分成两部分，且，则的度数为 ．
【变式2-3】如图，已知直线、、交于点，，且平分．
(1)若，求的度数；
(2)，求的度数．
考点三：垂线的定义
例3. 在同一平面内，下列说法错误的有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条射线不相交就平行；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-1】下列说法中，
①过直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条；
②连接两点的线段叫两点间的距离；
③等角的补角互余；
④两点之间，线段最短；
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-2】如图，，于D，有以下结论：①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离，其中正确的有 （填序号）
【变式3-3】如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图：
(1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为；
(2)过点画的垂线，垂足记为；
(3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据．
考点四：画垂线
例4．下列选项中，过点画的垂线，三角板放法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直．
【变式4-3】作图并回答问题：已知，如图，点在的边上．
(1)过点作边的垂线；
(2)过点作边的垂线段；
(3)比较，，线段的大小：_________________，得此结论的依据是_________________．
考点五：垂线段最短
例5 ．如图，这是小军同学在体育课上跳远留下的痕迹，其中①号线的长度作为他的跳远成绩，这样测量的数学道理是（ ）
A．平行线之间的距离处处相等B．垂线段最短
C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短
【变式5-1】如图，计划把河水引到A处，应在河岸B（于点B）处挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是（ ）
A．垂线段最短
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
【变式5-2】在中，，，，且，若点P在直线AC上运动，则BP最短时的值为 ．
【变式5-3】如图，点P是的边上的一个格点，用无刻度的直尺作图：
(1)过点P作，垂足为Q；
(2)过点P作，交于点C；
(3)线段________的长度是点P到的距离．
考点六：点到直线的距离
例6. 下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】在直角三角形中，，，，点P是直线上的动点，线段的最小值为（ ）
A．3B．5C．12D．13
【变式6-2】如图，在直角三角形中，，，，．点A到点B的距离是 ，点B到的距离是 ，点A到的距离是 ；
【变式6-3】如图，直线，相交于点，，垂足为，，求的度数．
1．如图，直线，相交于点O，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线B．两点之间直线最短
C．两点之间线段最短D．垂线段最短
3．如图，直线于，平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线相交于点O，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（ ）
A．B．C．D．
6．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①；②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离；⑥线段的长度是点D到的距离．
A．3个B．4个C．7个D．0个
9．如图，直线a，b相交，，则 ．
10．如图，直线、、相交于点，若，，则 ．
11．如图，已知点O在直线上，于点M，连接，则点E到的距离是线段 的长度．
12．如图，直线相交于点O，，垂足为点O，若，则 ．
13．如图，直线、相交于点O，平分，，与的度数之比为，则 ．
14．如图，在中，分别是的角平分线和高线，点 P在 的延长线上，交于点 Q，交于点 N，交于点 M，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）．
15．观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．
(1)如图1，两条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(2)如图2，三条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(3)如图3，四条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(4)根据填空结果探究：当条直线相交于一点时，共有__________对对顶角；
(5)根据探究结果，求1000条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．
16．如图，直线相交于点O，分别在和内部，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，求的度数．
17．已知，点O在直线上，，平分．
【问题初探】
（1）如图1，若，求的度数；
【类比分析】
（2）如图1，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图2，若平分，平分，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
18．如图，已知点为直线上一点，，，平分，．
(1)求的度数；
(2)试说明：平分；
(3)若改变的大小，其余条件不变，设，(2)中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用表示．模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．了解对顶角，知道对顶角相等；
2．在具体情境中进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，并会用符号表示两条直线互相垂直；
3.会用三角尺、量角器、方格纸画垂线，并在操作、思考活动中探索垂线的基本性质。
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