2023-2024学年福建省福州市六校高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省福州市六校高二（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x|x2−3x−4b>aB. a>b>cC. c>a>bD. a>c>b
4.函数f(x)=x2−csxex−e−x的图象大致为( )
A. B. C. D.
5.下列说法中正确的是( )
①设随机变量X服从二项分布B(6,12)，则P(X=3)=516
②已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X0，则( )
A. f(x)为R上的单调递增函数
B. f(x)为奇函数
C. 若函数f(x)为正比例函数，则函数g(x)=f(x)ex在x=0处取极小值
D. 若函数f(x)为正比例函数，则函数ℎ(x)=f(x)−2sinx−1有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在二项式(x−12 x)7的展开式中x的系数为______．
13.已知函数y= x的图象与函数y=alnx的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为______．
14.已知函数f(x)=aex+lna+1(a>0)，若任意实数t>1，不等式f(t)>ln(t−1)恒成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a(sinB− 3csB)= 3(b−c)．
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为 3，周长为6，求a．
16.(本小题15分)
某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成(合格品与优等品间无包含关系)．
(1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有X个，求X的分布列与数学期望；
(2)消费者对该公司产品的满意率为34，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有Y人，求至少有3人满意的概率及Y的数学期望与方差．
17.(本小题15分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3=5，S9=81，数列{bn}满足a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n−1)⋅3n+1+3．
(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
(2)数列{cn}满足cn=bn,n为奇数1anan+2,n为偶数，求{cn}前2n项和T2n．
18.(本小题17分)
“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为12，乙每天选择“共享单车”的概率为23，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为34，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为14，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为13，如此往复．
(1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率；
(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为X，求X的分布、期望与方差；
(3)求丙在3月份第n(n=1,2,…,31)天选择“共享单车”的概率Pn，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数．
19.(本小题17分)
已知f(x)=ex−ax−1，a∈R，e是自然对数的底数．
(1)当a=1时，求函数y=f(x)的极值；
(2)若关于x的方程f(x)+1=0有两个不等实根，求a的取值范围；
(3)当a>0时，若满足f(x1)=f(x2)(x112，
即817+1968⋅(−512)n−1>12，即(−512)n−1>219，
当n为偶数时，上式显然不成立，
故当n为奇数时，有(512)n−1>219，
当n=1时，1>219成立，
当n=3时，(512)2=25144>24144=212>219，
当n=5时，(512)4219均不成立，
则只有在第1天和第3天时有Pn>12，
故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2．
19.解：(1)当a=1时，f(x)=ex−x−1，定义域为R，
则f′(x)=ex−1，
令f′(x)=0，得x=0，
当x∈(−∞,0)时，f′(x)0，f(x)单调递增，
所以y=f(x)在x=0处取到极小值0，无极大值；
(2)方程f(x)+1=ex−ax=0，
显然当x=0时，方程不成立，则a=exx，x≠0，
若方程有两个不等实根，即y=a与g(x)=exx有2个交点，
则g′(x)=(x−1)exx2，
当x0，
所以f(x1)>f(2lna−x2)，
又函数f(x)在(−∞,lna)上严格减，
所以x1