2023-2024学年广东省广州市海珠区高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市海珠区高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列an中，Sn为其前n项和，若S3=1，S6=4，则S9=( )
A. 7B. 8C. 9D. 12
2.已知随机变量ξ服从正态分布N3,σ2，且P(ξ<4)=0.6，则P(ξ<2)=( )
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
3.已知函数fx=x−lnx，则fx单调增区间是( )
A. −∞,0B. 1,+∞
C. −∞,0∪1,+∞D. 0,1
4.五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有( )
A. 42B. 72C. 78D. 96
5.2025有( )个不同的正因数
A. 8B. 10C. 12D. 15
6.某企业进行节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示：
根据表中数据得出y关于x的经验回归方程为y=0.7x+a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为( )
A. 5.15吨B. 5.25吨C. 5.5吨D. 9.5吨
7.下列四个不等式①lnxA. 1B. 2C. 3D. 4
8.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有A，B，C，D，E，F，G，H共八个点，一枚棋子起始位置在点A处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为ii=1,2,⋯,6，则棋子前进i步(每一步是从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点)，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若结束时棋子恰好在点A处，那么游戏过关.问游戏结束时过关的概率为( )
A. 118B. 112C. 16D. 18
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足Y=2X−1，则下列结论正确的是( )
A. EX=1.2B. EY=1C. DX=1.4D. DY=2.8
10.如图，正方形ABCD的边长为2cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形的IJKL，依此方法一直继续下去.设第k个正方形面积为ak，则下列结论正确的是( )
A. a3=1cm2
B. a2=16a6
C. 前6个正方形面积和为6316cm2
D. 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近8cm2
11.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%.则下列结论正确的是( )
A. 任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为0.06
B. 任取一个零件，它是次品的概率为0.0525
C. 如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为27
D. 如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为355
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列an满足an+1=Sn+1，a1=0，则a8=______．
13.在(x+1)2+(x+1)3+(x+1)4+⋯+(x+1)10展开式中，含x2项的系数是______.(用数字作答)
14.已知函数fx=x2−ae−x只有1个零点，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
函数fx=x2+λx，λ∈R．
(1)若函数fx的图象在点1,f1处的切线l与直线x+y=0垂直，求切线l的方程；
(2)若x>0，fx≥1，求λ取值范围．
16.(本小题12分)
某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：
(1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？
(2)现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
17.(本小题12分)
数列an的首项a1=52，an+1=3an−4an−1．
(1)证明1an−2是等差数列，并求an的通项公式；
(2)设bn=9nan−2×10n，
①当数列bn的项取得最大值时，求n的值；
②求bn的前n项和Sn．
18.(本小题12分)
3名同学去听同时举行的A，B，C课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座(每个讲座被选择是等可能的)．
(1)记选择B课外知识讲座的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望；
(2)对于两个不相互独立的事件M，N，若PM>0，PN>0，称ρM,N=PMN−PMPN PMPMPNPN为事件M，N的相关系数．
①已知ρM,N>0，证明PMN>PM；
②记事件E=“B课外知识讲座有同学选择”，事件F=“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件E，F是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求ρE,F．
19.(本小题12分)
已知函数fx=e2x+21−aex−2ax．
(1)讨论fx的单调性；
(2)当a>0时，求证：fx>lna−2a−12+32．
答案简析
1.C
【简析】解：∵等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S3=1，S6=4，
则根据等差数列的性质可得S3，S6−S3，S9−S6仍成等差数列，
即1，4−1，S9−4成等差数列，则有2×(4−1)=1+(S9−4)，
解得S9=9．
故选：C．
2.D
【简析】解：∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，得对称轴是x=3，P(ξ<4)=0.6，
∴P(ξ<2)=P(ξ≥4)=1−0.6=0.4．
3.B
【简析】解：函数f(x)=x−ln x的导数为f′x=1−1x，
令f′x=1−1x>0，得x>1，
∴结合函数的定义域，得当x∈(1,+∞)时，函数为单调增函数，
因此，函数f(x)=x−ln x的单调递增区间是x∈(1,+∞)，
故选B．
4.C
【简析】解：根据题意甲不值第一天，乙不值第五天
若甲排在第五天，则其余4人进行全排列，有A44=24种排法，
若甲不排在第五天，则甲有3种排法，乙有3种排法，其余三人有A33=6种排法，
∴3×3×A33=54种排法，
∴24+54=78种排法．
故选C．
5.D
【简析】解：由2025=34×52，对于质因数3，指数是4，所以贡献的是4+1=5个因数；
对于质因数5，指数是2，所以贡献的是2+1=3个因数．
因此，2025的正因数数量是：5×3=15，
所以，2025有15个正因数，D正确．
6.B
【简析】解：由表中数据，计算得
x=14×(3+4+5+6)=4.5，y=14×(2.5+3+4+4.5)=3.5，
且线性回归方程y=0.7x+a∧过样本中心点(x,y)，
即3.5=0.7×4.5+a∧，
解得a∧=0.35，
∴x、y的线性回归方程是y=0.7x+0.35，
当x=7时，估计生产7吨产品的生产能耗为
y=0.7×7+0.35=5.25(吨)．
故选B．
7.C
【简析】解： ①设f(x)=ex−x−1，则f′(x)=ex−1，令f′(x)<0，则x<0；令f′(x)>0，则x>0．
故f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)=0．
因此ex≥x+1>x，则lnex=x>lnx，故lnx ②ex−1≥x−1+1=x， ②正确；
③lnex−1=x−1≥lnx， ③错误；
④设ℎ(x)=xlnx−x+1，则ℎ′(x)=lnx，令ℎ′(x)<0，则00，则x>1．
故ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，故ℎ(x)≥ℎ(1)=0，即xlnx≥x−1，故 ④正确，
综上所述，正确的个数是3，
故选C．
8.D
【简析】解：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是8，16．
列举出在点数中能够使得三次数字和为8，16的有：(1,2,5)，(1,3,4)，(1,1,6)，(2,2,4)，(2,3,3)，(4,6,6)，(5,5,6)，共有7种组合，
前2种组合(1,2,5)，(1,3,4)
每种情况可以排列出A33=6种结果，共有2A33=2×6=12种结果;
后5种组合各有3种结果，共有5×3=15种结果，
由分类加法计数原理知，共有12+15=27种结果．
抛3次骰子共有6×6×6=216种结果，
故抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的概率为27216=18
故选D．
9.BC
【简析】解：由分布列的性质知q+0.2+0.1+0.2=1，则q=0.5，
故E(X)=0×0.5+1×0.2+2×0.1+3×0.2=1，故A错误;
D(X)=0.5×12+0.2×02+0.1×12+0.2×22=1.4，故C正确;
则E(Y)=E(2X−1)=2E(X)−1=2×1−1=1，故B正确;
所以D(Y)=D(2X−1)=4D(X)=4×1.4=5.6，故D错误．
10.ABD
【简析】解：由题意知，a1=22=4，a2=( 2)2=2，a3=12=1，选项A正确;
数列{an}是等比数列，且公比为q=12;所以a6=a2q4=a216，即a2=16a6，选项B正确;
因为S6=4×(1−164)1−12=638，选项C错误;
由题意知，limn→+∞Sn=a11−q=41−12=8，所以这些正方形的面积之和将趋近8cm2，选项D正确．
故选：ABD．
11.BCD
【简析】解：对于A选项，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为 25％×6％=0.015<0.06，故A错误；
对于B选项，任取一个零件是次品的概率为25％×6％+30％×5％+45％×5％=0.0525，故B正确；
对于C选项，任取一个零件是第2台生产出来的次品概率为 30％×5％=0.015，
结合A，B选项的分析，可知如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 ，
故C正确；
如果取到的零件不是第3台车床加工的，且它是次品的概率为 0.015+0.01525％+30％=355，故D正确．
12.64
【简析】解：因为足an+1=Sn+1，a1=0，
所以当n≥2时， an=Sn−1+1，
所以an+1−an=Sn−Sn−1=an，即an+1=2an，
再由an+1=Sn+1可得a2=S1+1=a1+1=1，
所以a8=1×26=64．
故答案为64．
13.165
【简析】解：在 (x+1)2+(x+1)3+(x+1)4+⋯+(x+1)10的展开式中，
含x2项的系数为C22+C32+⋯+C102
=C33+C32+⋯+C102
=C43+C42+C52+⋯+C102
=C113
=165
故答案为165．
14.{0}∪(4e2,+∞)
【简析】解：∵函数fx=x2−ae−x只有1个零点，
∴x2−ae−x=0 ，即a=x2ex，
亦即y=a与y=x2ex只有一个交点，
令gx=x2ex，g′x=x2+2xex，
当g′x=0时，x=0或x=−2，
当g′x>0时，x>0或x<−2，函数f(x)单调递增；
当g′x<0时，−2且g−2=−22e−2=4e2，g0=0，
x→−∞时，gx→0；x→+∞时，gx→+∞；
故a=0或a>4e2．
15.解：(1)设切线l的斜率为kl，∵直线x+y=0的斜率为−1， ∴kl⋅(−1)=−1∴kl=1，
又∵f′(x)=2x−λx2，
∴kl=f′(1)=2−λ=1，∴λ=1，即f(x)=x2+1x ，
∴点(1,f(1))为(1,2) ∴切线l的方程为：y−2=kl(x−1)，
即：y−2=x−1化简得：x−y+1=0；
(2)因为x>0.由f(x)=x2+λx≥1可化为λ≥x−x3，
设g(x)=x−x3，则g′(x)=1−3x2，
令g′(x)=1−3x2>0，得0 33，
故g(x)在(0, 33)上递增，在( 33,+∞)上递减。
g(x)max=g( 33)=2 39，得λ≥2 39，
所以λ的取值范围是[2 39,+∞)
【简析】
(1)根据已知条件和导数的几何意义求出切线的斜率，然根据点斜式求出直线方程；
(2)根据λ的符号求出f(x)的极大值，并且使极大值点x>0范围内，这样可以求出λ的取值范围．
16.解：(1)零假设为H0:喜欢足球与性别之间无关联．
根据列联表，由χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)得，
χ2=80×(30×20−20×10)240×40×50×30≈5.33>3.841=x005，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢足球与性别之间有关联．
(2)在分层抽样中，喜欢足球的男生有6人，女生有2人，则X的可能取值为1，2，3，
且P(X=1)=C61C22C83=328，P(X=2)=C62C24C83=1528，P(X=3)=C63C20C83=514，
则X的分布列为
则E(X)=1×328+2×1528+3×514=6328=94．
【简析】
(1)结合信息，代入公式求出χ2，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
(2)先得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
17.(1)证明：
思路一：由题可知，an+1−2=3an−4an−1−2=an−2an−1，
所以1an+1−2=1an−2+1，则1an+1−2−1an−2=1，
又因为1a1−2=152−2=2，
所以1an−2}是以2为首项，1为公差的等差数列，
则1an−2=2+(n−1)⋅1=n+1，
所以an=1n+1+2=2n+3n+1；
思路二：由题可知，1an+1−2=13an−4an−1−2=an−1an−2，
所以1an+1−2−1an−2=an−1an−2−1an−2=1，
又因为1a1−2=152−2=2，
所以{1an−2}是以2为首项，1为公差的等差数列，
则1an−2=2+(n−1)⋅1=n+1，
所以an=1n+1+2=2n+3n+1．
(2)解： ①bn=9n(an−2)×10n=1(an−2)×(910)n=(n+1)×(910)n，
设第n项(n⩾2)最大，则bn⩾bn+1bn⩾bn−1,
(n+1)×(910)n≥n×(910)n−1(n+1)×(910)n≥(n+2)×(910)n+1，
n+1n≥109109≥n+2n+1，∴8≤n≤9，
所以数列{bn}第8、9项取得最大．
②Sn=2×910+3×(910)2+⋯+(n+1)×(910)n⋯⋯(1)式，
(1)式两边同时乘以910得：
910Sn=2×(910)2+3×(910)3+⋯+(n+1)×(910)n+1⋯⋯(2)式，
(1)式−(2)式得：
110Sn=2×910+(910)2+(910)3+⋯+(910)n−(n+1)×(910)n+1，
110Sn=910+[910+(910)2+(910)3+⋯+(910)n]−(n+1)×(910)n+1
110Sn=910+9[1−(910)n]−(n+1)×(910)n+1
Sn=9+90[1−(910)n]−10(n+1)×(910)n+1=99−9n+110n−1−(n+1)9n+110n．
【简析】
(1)由题可得1an+1−2−1an−2=1，得证；
(2)由题意可得 ①bn=(n+1)×(910)n，设第n项(n⩾2)最大，则bn⩾bn+1bn⩾bn−1，可得解；
②由错位相减法即可求和．
18.解：(1)由题意可知，X的可能的取值为0，1，2，3
P(X=0) =2333=827，P(X=1) =C31×2233=1227
P(X=2) =C32×233=627，
P(X=3)=133=127则X的分布列为
则E(X)=0×827+1×1227+2×627+3×127=1
(2) ①证明：因为ρ(M,N)=P(MN)−P(M)P(N) P(M)P(M)P(N)P(N)，且ρ(M,N)>0所以P(MN)−P(M)P(N)> 0，
即P(MN)P(N)>P(M)，
而P(M|N)=P(MN)P(N)，
所以P(M|N)> P(M)成立．
②事件E:B课外知识讲座有同学选择，则事件E:B课外知识讲座没有同学选择由(1)可知P(E)=C30(13)0(23)3=827，
所以P(E)=1−P(E)=1927，
事件F:至少有两个课外知识讲座有同学选择，则事件F:有一个课外知识讲座有同学选择，P(F)=C3133=19，
所以P(F)=1−P(F)=89
事件EF:至少有两个课外知识讲座有同学选择且B课外知识讲座有同学选择，分为两种情况：一种是三个课外知识讲座都有同学选择;另一种是两个课外知识讲座都有同学选择且B课外知识讲座有同学选择．
故P(EF)=A3333+C21(C31+C32)33=23因为P(EF)≠P(E)P(F)，所以事件E，F不相互独立．ρ(E,F)=P(EF)−P(E)P(F) P(E)P(E)P(F)P(F)=23−1927×89 1927×827×89×19，
化简得ρ(E,F)=5 1976．
【简析】
(1)根据题意分别求得P(X=0)，P(X=1)，P(X=2)，P(X=3)，再求期望即可求解；
(2)①由题意可得P(MN)>P(M)P(N)，再用条件概率公式即可证明；
②依次求得P(M)，P(N)，P(M)，P(N)，P(MN)，再代入公式即可求解
19.解：(1)f′(x)=2e2x+2(1−a)ex−2a=2(ex−a)(ex+1)
(Ⅰ)当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增．
(Ⅱ)当a>0时，令f′(x)=0，得x=lna
当x>lna时，f′(x)>0;当x所以，当a>0时，f(x)在(lna,+∞)上单调递增;在(−∞,lna)上单调递减
综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增;当a>0时f(x)在(lna,+∞)上单调递增;在(−∞,lna)上单调递减．
(2)由(1)知，当a>0时，函数f(x)在x=lna处取得最小值，f(lna)=e2lna+2(1−a)elna−2alna=−a2+2a−2alna
要证f(x)>lna−(2a−1)2+32，即证3a2−2a−2alna−lna−12>0现证lna≤a−1
∵设g(a)=a−1−lna
∴g′(a)=1−1a
当令g′(a)=0得a=1当g′(a)>0得a>1，当g′(a)<0得a<1∴g(a)=a−1−lna在a=1处取得最小值gamin=g(1)=0即g(a)=a−1−lna≥0
∴lna≤a−1
∴(2a+1)lna≤(2a+1)(a−1)
∴3a2−2a−2alna−lna−12>3a2−2a−(2a+1)(a−1)−12
∴只需证3a2−2a−(2a+1)(a−1)−12>0
即a2−a+12>0，
∵a2−a+12=(a−12)2+14>0显然成立
所以f(x)>lna−(2a−1)2+32对a>0恒成立
【简析】
(1)求导并因式分解得f′(x)=2(ex−a)(ex+1)，再分当a≤0时，当a>0时，进行讨论；
(2)问题转化为证3a2−2a−2alna−lna−12>0，先证lna≤a−1，再证3a2−2a−(2a+1)(a−1)−12>0，即可．x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
X
0
1
2
3
P
q
0.2
0.1
0.2
性别
足球
合计
喜欢
不喜欢
男生
30
20
50
女生
10
20
30
合计
40
40
80
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
827
1227
627
127