2023-2024学年北京市大兴区高二下学期期末检测数学试题(含答案)
展开1.在x−1x26的展开式中,常数项为( )
A. 15B. −15C. 30D. −30
2.若数列1,a,b,c,9是等比数列,则实数b的值为( )
A. −3B. 3C. −9D. 9
3.有5名同学被安排在周一至周五值日,每人值日一天,其中同学甲只能在周三值日,那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为( )
A. A55B. A44C. A55−A44D. A31A44
4.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是( )
A. r2
A. x1和x4B. x2C. x3D. x5
6.随机变量X服从正态分布X∼N(2,σ2),若P2≤X<4=0.3,则P(X≤0)=( )
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
7.设an为等比数列,若m,n,p,q∈N∗,则m+n=p+q是am⋅an=ap⋅aq的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,记录了如图所示的“杨辉三角”.若将这些数字依次排列构成数列1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,则此数列的第2024项为( )
A. C625B. C635C. C636D. C637
9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,且S2<0,则( )
A. 数列{Sn}是递增数列B. 数列{Sn}是递减数列
C. 数列{S2n}是递增数列D. 数列{S2n}是递减数列
10.已知函数f(x)=x+1ex.若过点P−1,m存在3条直线与曲线y=f(x)相切,则实数m的取值范围是( )
A. −1e,4eB. 0,8eC. 0,4eD. 1e,8e
二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
11.设随机变量X∼B2,13,则E(X)= .
12.(2−x)7展开式中各项的系数和为 .
13.袋子中有10十个大小相同的小球,其中7个白球,3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.
①在第一次摸到白球的条件下,第二次摸到白球的概率为 .
②两次都摸到白球的概率为 .
14.随机变量X的分布列如下:
其中a,b,c成等差数列,则PX=1= ,若a=16则方差DX= .
15.已知某商品的日销售量y(单位:套)与销售价格x(单位:元/套)满足的函数关系式为y=mx−3+3(x−8)2,其中x∈3,8,m为常数.当销售价格为5元/套时,每日可售出30套.
(1)实数m= ;
(2)若商店销售该商品的销售成本为每套3元(只考虑销售出的套数),当销售价格x= 元/套时(精确到0.1),日销售该商品所获得的利润最大.
三、解答题共 6 小题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
16.(本小题共 14 分)
已知二项式(1−2x)n,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,并解答下列问题:
(1)求n的值;
(2)设(1−2x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn,求展开式中所有奇数项的系数和.
条件①:只有第4项的二项式系数最大;
条件②:第2项与第6项的二项式系数相等;
条件③:所有二项式系数的和为64.
注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
17.(本小题共 14 分)
某种水果按照果径大小可分为四级:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
假设用频率估计概率.
(1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率;
(2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个,若X表示抽到的精品果的数量,求X的分布列和期望.
18.(本小题共 14 分)
已知函数f(x)=x2−3x+2+lnx.
(1)求曲线y=f(x)在点1,f1处的切线方程;
(2)求f(x)的零点个数.
19.(本小题共 14 分)
某同学参加闯关游戏,需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确得0分,第三个问题回答正确得20分,回答不正确得−10分.已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是23,回答第三个问题正确的概率为12,且各题回答正确与否相互之间没有影响,若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功.
(1)求至少回答正确一个问题的概率;
(2)求这位同学回答这三个问题的总得分X的分布列.
20.(本小题共 14 分)
已知函数f(x)=lnx−ax+a,g(x)=xex−2x.
(1)若x=3是函数fx的极值点,求实数a的值;
(2)求函数y=fx的单调区间;
(3)已知a=1,当x∈0,+∞,试比较fx与gx的大小,并说明理由.
21.(本小题共 15 分)
若无穷数列{an}满足:只要ap=aq(p,q∈N∗),必有ap+1=aq+1,则称{an}具有性质P.
(1)若{an}具有性质P,且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2,a6+a7+a8=21,求a3;
(2)若无穷数列{bn}是等差数列,无穷数列cn是公比为正数的等比数列,b1=c5=1,b5=c1=81,an=bn+cn判断{an}是否具有性质P,并说明理由;
(3)设{bn}是无穷数列,已知an+1=bn+sinan(n∈N∗).求证:“对任意a1,an都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”.
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.B
5.C
6.A
7.A
8.D
9.D
10.C
11.23
12.1
13.23;715
14.23;59
15.6;4.7
16.(1)若选①:只有第4项的二项式系数最大,则展开式中共有7项,所以n=6;
若选②:第2项与第6项的二项式系数相等,即Cn1=Cn5,所以n=1+5=6;
若选③:所有二项式系数的和为64,则2n=64,所以n=6;
(2)因为1−2x6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6,
令x=1得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=(−1)6=1,
令x=−1得a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6=36=729,
两式相减得2(a1+a3+a5)=−728,所以a1+a3+a5=−364,
即展开式中所有奇数项的系数和为−364.
17.(1)设从这100个水果中随机抽取1个,其为礼品果为事件A,则P(A)=20100=15,
现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为Y,则Y∼B4,15,
所以恰好有2个水果是礼品果的概率为PY=2=C42452152=96625.
(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,
其中精品果有10×40100=4个,非精品果有10×100−40100=6个,
再从中随机抽取3个,则精品果的数量X服从超几何分布,所有可能的取值为0,1,2,3,
所以P(X=0)=C63C103=16,P(X=1)=C62C41C103=12,
P(X=2)=C61C42C103=310,P(X=3)=C43C103=130;
∴X的分布列为:
则EX=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
18.(1)因为f(x)=x2−3x+2+lnx,所以f(1)=12−3+2+ln1=0,
所以切点为1,0,f′(x)=2x−3+1x,
所以切线的斜率为f′(1)=2−3+11=0,
所以切线的方程为y=0.
(2)f(x)=x2−3x+2+lnx的定义域为:0,+∞,
f′(x)=2x−3+1x=2x2−3x+1x=2x−1x−1x,
令f′(x)=0,解得x=12,或x=1,
当x∈0,12时,f′(x)>0,所以f(x)单调递增;
当x∈12,1时,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;
当x∈1,+∞时,f′(x)>0,所以f(x)单调递增;
所以当x=12时,f(x)有极大值为f(12)=14−32+2+ln12=34−ln2>0,
当x=1时,f(x)有极小值为f(1)=0,所以x=1为函数的一个零点,
当x→0时,f(x)→−∞,所以f(x)在0,12上有一个零点,
故函数f(x)有2个零点.
19.(1)设至少回答正确一个问题为事件A,则P(A)=1−13×13×12=1718;
(2)这位同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为−10,0,10,20,30,40,
所以P(X=−10)=13×13×12=118,P(X=0)=23×13×12×2=29,
P(X=10)=23×23×12=29,P(X=20)=13×13×12=118,
P(X=30)=23×13×12×2=29,P(X=40)=23×23×12=29,
随机变量X的分布列是
20.(1)因为f(x)=lnx−ax+a,所以f′x=1x−a,
∵x=3是fx的极值点,
∴f′3=13−a=0,解得a=13,经检验符合题意;
(2)函数fx定义域为0,+∞,f′x=1x−a=1−axx,
当a≤0时,f′x>0恒成立,所以fx在0,+∞上单调递增,
∴fx的单调递增区间为0,+∞,无单调递减区间;
当a>0时,令f′x=0,解得x=1a,
∴当x∈0,1a时,f′x>0;当x∈1a,+∞时,f′x<0;
∴fx的单调递增区间为0,1a;单调递减区间为1a,+∞;
综上所述:当a≤0时,fx的单调递增区间为0,+∞,无单调递减区间;
当a>0时,fx的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+∞.
(3)令Fx=gx−fx=xex−lnx−x−1x>0,
则F′x=xex+ex−1x−1=x+1xxex−1,
令ℎx=xex−1x>0,则ℎ′x=x+1ex>0,
∴函数ℎx在0,+∞上单调递增,
又ℎ0<0,ℎ1>0,∴ℎx存在唯一零点c∈0,1,使得ℎc=0,
∴当x∈0,c时,ℎx<0;当x∈c,+∞时,ℎx>0;
∴当x∈0,c时,F′x<0;当x∈c,+∞时,F′x>0;
∴函数Fx在0,c上单调递减,在c,+∞上单调递增,
∴Fx≥Fc=cec−lnc−c−1,
又ℎc=cec−1=0,即cec=1,∴lnc+c=0,∴Fx≥Fc=0,
∴fx≤gx在0,+∞上恒成立.
21.解:(1)∵a2=a5=2,∴a3=a6,
a4=a7=3,∴a5=a8=2,a6=21−a7−a8=16,∴a3=16.
(2)设无穷数列{bn}的公差为:d,无穷数列{cn}的公比为q,则q>0,
b5−b1=4d=80,
∴d=20,∴bn=20n−19,c5c1=q4=181,∴q=13,∴cn=(13)n−5
∴an=bn+cn=20n−19+(13)n−5.
∵a1=a5=82,
而a2=21+27=48,a6=101+13=3043,a1=a5,但是a2≠a6,{an}不具有性质P.
(3)充分性:若{bn}是常数列,
设bn=C,则an+1=C+sinan,
若存在p,q使得ap=aq,则ap+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1,
故{an}具有性质P.
必要性:若对于任意a1,{an}具有性质P,
则a2=b1+sina1,
设函数f(x)=x−b1,g(x)=sinx,
由f(x),g(x)图象可得,对于任意的b1,二者图象至少有一个交点,
∴一定能找到一个a1,使得a1−b1=sina1,
∴a2=b1+sina1=a1,∴an=an+1,
故bn+1=an+2−sinan+1=an+1−sinan=bn,
∴{bn}是常数列.
X
−1
0
1
P
a
b
c
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
X
−10
0
10
20
30
40
P
118
29
29
118
29
29
北京市大兴区2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题: 这是一份北京市大兴区2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题,共8页。试卷主要包含了解答题共6小题,共85分等内容,欢迎下载使用。
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