2023-2024学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共10页。
2024.7
本试卷共6页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1, 3)，则z的共轭复数z=( )
A. 1+ 3iB. 1− 3iC. −1+ 3iD. −1− 3i
2.已知a=(1,2),b=(x,4)，若a⊥b，则实数x=( )
A. 8B. −2C. 2D. −8
3.在▵ABC中，a=2,b=3,csB=45，则sinA=( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
4.平面向量a,b在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则a⋅b=( )
A. −2B. 0C. 1D. 2
5.已知α,β是不重合的平面，m,n是不重合的直线，下列命题中不正确的是( )
A. 若m//α,m//β，则α/​/βB. 若m//n,m⊥α，则n⊥α
C. 若m⊥α,m⊥β，则α/​/βD. 若m⊥α,m⊂β，则α⊥β
6.在平面直角坐标系xOy中，已知Pcsθ,sinθ,θ∈0,π2,A1,1，则OA⋅OP的取值范围是( )
A. 1, 2B. 0,2C. − 2, 2D. 2,2
7.如图，已知正六棱锥P−ABCDEF的侧棱长为6，底面边长为3,Q是底面上一个动点，PQ≤4 2，则点Q所形成区域的面积为( )
A. 4πB. 5πC. 6πD. 7π
8.已知函数fx=sin2x和gx=cs2x,fx的图象以每秒π12个单位的速度向左平移，gx的图象以每秒π24个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为( )
A. 1秒B. 2秒C. 3秒D. 4秒
9.已知函数fx=sinωx+π6ω>0，“存在m,n∈0,π2，函数fx的图象既关于直线x=m对称，又关于点n,0对称”是“ω≥2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10.方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为y=a+b +∞n=1 sin⁡(2n−1)x2n−1，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如fx=sinx+13sin3x+15sin5x+17sin7x就是一种近似情况，则( )
A. 函数fx是最小正周期为π的奇函数
B. 函数fx关于x=π2+2kπk∈Z对称
C. 函数fx在区间0,π2上单调递增
D. 函数fx的最大值不大于2
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11.复数z=2i1+i，则z= ．
12.已知函数fx=cs2x.若非零实数a,b，使得fx+a=bfx对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a= ，b= − .(只需写出一组)
13.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为 ；表面积为 ．
14.在▵ABC中，∠A=60∘,AC=6,AB=4，则AC⋅AB= ，|CA→+CB→|= − ．
15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为AD的中点，点N是侧面DCC1D1上(包括边界)的动点，点P是线段B1D上的动点，给出下列四个结论：
①任意点P，都有CD1⊥MP；
②存在点P，使得B1D⊥平面MPC；
③存在无数组点N和点P，使得C1P//MN；
④点P到直线CD1的距离最小值是 63．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题13分）
在平面直角坐标系中，角α以Ox为始边，终边经过点3,4．
(1)求tanα及tan2α的值；
(2)求cs2α+sinα+π2的值．
17.（本小题13分）
在▵ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，bsinA−acsB2=0．
(1)求∠B的大小；
(2)若c=1，且AB边上的高是BC边上的高的2倍，求b及▵ABC的面积．
18.（本小题14分）
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，点E、F分别为A1C1、BC的中点．
(1)求证：FC1//平面ABE；
(2)已知C1C⊥BC,AB= 3,BC=1,A1A=2，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得三棱柱唯一确定，并求解下列问题：
条件①：AC1=A1C；
条件②：C1C⊥AC；
条件③：AC=2．
(i)求证：AB⊥FC1；
(ii)求三棱锥B1−AFC1的体积．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.（本小题15分）
已知函数fx=2sinωx+φω>0,0