2024年贵州省遵义市红花岗区中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2024年贵州省遵义市红花岗区中考数学三模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有理数中比−1小的是( )
A. 2B. 0C. −3D. 1
2.如图所示的几何体为商兽面纹觚，其俯视图为( )
A. B. C. D.
3.2023年国家通过新建、改扩建新增公办学位，保障了1878万一年级新生入学.将1878万用科学记数法表示为( )
A. 1.878×103B. 1.878×106C. 1.878×108D. 1.878×107
4.某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为(单位：元)：30，50，50，60，60.若捐款最少的员工又多捐了20元，则不受影响的统计量是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
5.正安县誉为“吉他之都，音乐之城”.吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦.弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行(如图①)，其部分截图如图②所示，AB/​/CD，则下列结论正确的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠3=∠4
C. ∠1+∠4=180°
D. ∠3+∠4=180°
6.化简2m−2−mm−2的结果是( )
A. 1m−2B. −1C. −1m−2D. 1
7.如图，是某小区地下车库示意图.A为入口，B，C，D，E为出口，王师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则王师傅恰好从D出口驶出的概率为( )
A. 13 B. 23
C. 14 D. 16
8.如图，在△ABC中，∠A=48°，∠ABC=14°，延长AC到D，使得CD=CB，连接BD.则∠D的度数为( )
A. 48°B. 54°C. 59°D. 62°
9.我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱.问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是( )
A. 9x+11=6x−16B. 9x−11=6x+16
C. 6x+11=9x−16D. 6x−11=9x+16
10.如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1,0)与点A′(−2,0)
是对应点，△ABC的面积是4，则△A′B′C′的面积是( )
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
11.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，O是AC的中点，连接BO并延长至D，使得DO=BO，连接AD和CD.①以点D为圆心，DC的长为半径画弧交BD于点E；②分别以点C、E为圆心，大于12CE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线DP交BC于点F，连接EF.若AB=2 2+2，则CF的长为( )
A. 2B. 2+1C. 4 2−4D. 2−1
12.已知一次函数y1=mx+n和y2=ax+b的图象如图所示，有下列结论：①ab>0；②a+b>m+n；③2(a−m)=b−n；④P(x1,y1)、Q(x2,y2)是直线y1=ax+b上不重合的两点，则(x1−x2)(y1−y2)>0.其中正确的是( )
A. ①④
B. ①③
C. ②④
D. ②③
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.化简2m+3m的结果是______．
14.已知n是一元二次方程x2−x−1=0的根，代数式n(n−1)+2的值是______．
15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB.若⊙O的半径为5，AB=8，则cs∠ACB的值为______．
16.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=5，AC=7，点E为AD的中点，∠BED=60°，则BE的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)计算：(−1)2024+| 3−2|−2cs30°；
(2)如图，点A，B(不重合)在数轴上所表示的数分别为x+32，3，求x的正整数解．
小磊分析过程如下：
因为点B在点A的右侧，列不等式为______；
解得：______；
所以x的正整数解为______．
18.(本小题10分)
中国古代有辉煌的数学成就：其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《五经算术》是我国古代数学的重要文献(分别记为A，B，C，D，E)某中学为丰富学校数学文化，调查学生对这五部数学文献的了解情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果制作如下不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
(1)随机抽取的学生人数为______人，并补全条形统计图；
(2)若该校有900名学生，估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数；
(3)该校决定从A、B、C、D四部文献中随机选两部作为假期学习课程，用列表法或画树状图法求恰好选中A和B的概率．
19.(本小题10分)
已知反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(−1,4)和点B(m,−2)．
(1)求m的值及反比例函数的解析式；
(2)观察图象，请直接写出kx>ax+b时，自变量x的取值范围．
20.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AC的中点，AE/​/BC交BD的延长线于点E，EF⊥BC，交BC的延长线于点F．
(1)求证：AE=BC；
(2)若∠ABC=60°，BC= 3，连接CE，求四边形ABCE的面积．
21.(本小题10分)
某校在世界读书日启动“书香校园”活动，某班在参与读书活动中，计划购买一批笔记本用于学生摘抄“好词好句”.提供以下信息：
信息①：购买10个A型笔记本与3个B型笔记本共45元；
信息②：A型笔记本的单价比B型笔记本便宜2元；
信息③：购买1个A型笔记本与1个B型笔记本需8元．
(1)在信息①②③中任选两个作为条件______(填序号)，求A型笔记本和B型笔记本的单价；
(2)在(1)的条件下，全班50个同学每人购买一个笔记本，若购买A，B两种笔记本的总费用不超过200元，则A型笔记本至少购买多少个？
22.(本小题10分)
贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”.某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度，如下是两种测量方案．
(1)根据以上数据判断，方案______不能求公馆桥的高度；
(2)利用以上可行方案求公馆桥的高度(参考数据tan37°≈34，sin37°≈35，cs37°≈45)
23.(本小题12分)
如图，在△ABC中，CB与⊙O相交于点D.下面是两位同学的对话：
(1)选择其中一位同学的说法并进行证明；
(2)在(1)的条件下，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于E，若BC=12，⊙O的半径为5，求tan∠CAE的值．
24.(本小题12分)
综合与实践
如图①，某公园计划在喷水池的四周安装一圈可移动的喷头向中央喷水，喷出的水流呈抛物线型.若以喷水池中心为原点，水平方向为x轴，中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水流高度y(单位：m)与水流到喷水池中心的距离x(单位：m)之间的函数图象如图②所示.当水流距中心线的距离为4m时，水流最大高度为6m，此时水流刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高103m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为了使喷出的水形成错落有致的景观，现决定将喷水头向中心线沿直线移动，水流抛物线形状不变，使水流最高点不超过中心线.若喷水头的位置用(n,0)表示(n>0)．
①求n的取值范围；
②若水流刚好喷到中心线上，且距水面高4m处，直接写出n的值．
25.(本小题12分)
如图①，已知正方形ABCD和等腰直角△AEF，∠BAD=∠EAF=90°，连接DF，BE．
(1)【问题发现】如图①，线段BE与DF的数量关系为______，位置关系为______；
(2)【问题探究】如图②，将△AEF绕点A旋转，再将DF绕点F顺时针方向旋转90°至FM，连接BM，探究线段EF与线段BM的数量及位置关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】将△AEF绕点A旋转至AF/​/BE，延长DF交直线AB于H、交BE于G，若FH=4，DF=9，求出BG的长．
答案解析
1.C
【解析】解：∵正数大于0，0大于负数，
∴−3<0<1<2，
∵|−3|=3，|−1|=1，3>1，
∴−3<−1，
∴−3<−1<0<1<2，
∴选项中的有理数比−1小的是−3，
故选：C．
2.D
【解析】解：从上面看，是两个同心圆，其中里面的是虚线，故选项D符合题意．
故选：D．
3.D
【解析】解：1878万=18780000=1.878×107，
故选：D．
4.B
【解析】解：依题意，捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，而平均数，众数，方差都要用到第一个数，
故不受影响的统计量是中位数．
故选：B．
5.D
【解析】解：A、由AB/​/CD推出∠1和∠2的对顶角互补，得到∠1和∠2互补，∠1和∠2不一定相等，故A不符合题意；
B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出∠3和∠4互补，∠3和∠4不一定相等，故B不符合题意；
C、∠1和∠4不是同旁内角，由AB/​/CD不能判定∠1+∠4=180°，故C不符合题意；
D、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出∠3+∠4=180°，故D符合题意．
故选：D．
6.B
【解析】解：2m−2−mm−2
=2−mm−2
=−1．
故选：B．
7.C
【解析】解：∵有B、C、D、E四个不同的出口，
∴王师傅恰好从D出口驶出的概率为14，
故选：C．
8.C
【解析】解：∵∠A=48°，∠ABC=14°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ACB=118°，
∵CD=CB，
∴∠D=∠CBD，
∵∠ACB=∠D+∠CBD，
∴∠D=59°，
故选：C．
9.B
【解析】解：由题意可得，
9x−11=6x+16，
故选：B．
10.D
【解析】解：∵△ABC和△A′B′C′位似，点A(1,0)与点A′(−2,0)是对应点，
∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1：4，
∵△ABC的面积是4，
∴△A′B′C′的面积是16，
故选：D．
11.A
【解析】解：∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
∵DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=2 2+2，
∴BD= 2AB=4+2 2，
∵DE=CD=2 2+2，
∴BE=BD−DE=2，
由作图知，DF平分∠CDB，
∴∠CDF=∠EDF，
∵DE=DC，DF=DF，
∴△DEF≌△DCF(SAS)，
∴∠DEF=∠DCB=90°，EF=CF，
∴∠BEF=90°，
∵∠EBF=45°，
∴BE=EF，
∴CF=EF=2，
故选：A．
12.B
【解析】解：①∵y2=ax+b的图象过第二、三、四象限，
观察图象可知，a<0，b<0．
所以ab>0．
故①正确．
②将x=1分别代入y1和y2得，
y1=m+n，y2=a+b．
观察图象不难发现点(1,m+n)在点(1,a+b)的上方，
所以m+n>a+b．
故②不正确．
③观察图象发现，y1与y2交点的横坐标为−2．
∴当x=−2时，两者的函数值相等．
∴−2a+b=−2m+n，
∴2(a−m)=b−n
故③正确．
④P(x1,y1)、Q(x2,y2)是直线y1=ax+b上不重合的两点，
由y1=ax+b的图象可知，当x1>x2时，y1当x1y2，则(x1−x2)(y1−y2)<0．
故④不正确．
故选：B．
13.5m
【解析】解：2m+3m=(2+3)m=5m．
故答案为：5m．
14.3
【解析】解：∵n是一元二次方程x2−x−1=0的一个根，
∴n2−n−1=0，
∴n2−n=1，
∴n(n−1)+2=n2−n+2=1+2=3，
故答案为：3．
15.35
【解析】解：作直径BD，连接AD，则BD=2×5=10，
则∠ACB=∠D，∠DAB=90°，
在Rt△DAB中，∵⊙O的半径为5，AB=8，
由勾股定理得：AD= BD2−AB2= 102−82=6，
∴cs∠ACB=cs∠ADB=ADBD=610=35，
故答案为：35．
16.256
【解析】解：过点C作CF/​/AD，交BA的延长线于F，延长AE交CF于G，连接AG，如下图所示：
则△BAE∽△BFG，△BED∽△BGC，
∴BE：BG=AE：FG，BE：BG=DE：CG，
∴AE：FG=DE：CG，
∵AD=5，点E为AD的中点，
∴AE=DE=52，
∴FG=CG，
即点G为CF的中点，
∵CF/​/AD，
∴∠F=∠BAD，∠ACF=∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠F=∠ACF，
即△ACF为等腰三角形，
根据等腰三角形三线合一定理得：AG⊥CF
∴AG⊥AD，
在Rt△AEG中，∠AEG=∠BED=60°，AE=52，
∴∠AGE=90°−∠AEG=30°，
∴EG=2AE=2×52=5，
由勾股定理得：AG= EG2−AE2= 52−(52)2=5 32，
在Rt△ACG中，AC=7，AG=5 32，
由勾股定理得：CG= AC2−AG2= 72−(5 32)2=112，
∴BG=BE+EG=BE+5，
∵BE：BG=DE：CG，
∴BE：(BE+5)=52：112，
∴BE=256．
过点C作CF/​/AD，交BA的延长线于F，延长AE交CF于G，连接AG，则△BAE∽△BFG，△BED∽△BGC，从而得BE：BG=AE：FG，BE：BG=DE：CG，则AE：FG=DE：CG，根据点E为AD的中点得AE=DE=52，进而得FG=CG，再证∠F=∠ACF，从而得AG⊥CF，AG⊥AD，在Rt△AEG中根据∠AEG=∠BED=60°，AE=52得EG=5，AG=5 32，在Rt△ACG中由勾股定理得CG=112，则BG=BE+EG=BE+5，然后根据BE：BG=DE：CG得BE：(BE+5)=52：112，据此可得BE的长．
17.x+32<3 x<3 1或2
【解析】解：(1)(−1)2024+| 3−2|−2cs30°
=1+2− 3−2× 32
=1+2− 3− 3
=3−2 3；
(2)因为点B在点A的右侧，列不等式为x+32<3，
解得x<3，
所以x的正整数解为1或2，
故答案为：x+32<3，x<3，1或2．
18.60
【解析】解：(1)随机抽取的学生人数为21÷35%=60(人)．
故答案为：60．
D类的人数为60−15−21−3−9=12(人)．
补全条形统计图如图所示．
(2)900×21+1260=495(人)．
∴估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数约495人．
(3)列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B的结果有2种，
∴恰好选中A和B的概率为212=16．
19.解：(1)∵反比例函数y1=kx的图象过点A(−1,4)和点B(m,−2)，
∴k=−1×4=−2m，
∴k=−4，m=2，
∴反比例函数的解析式为y=−4x；
(2)观察图象，kx>ax+b时，自变量x的取值范围是−12．
【解析】(1)由A在反比例函数图象上，把A的坐标代入反比例解析式，确定出k的值，从而得出反比例函数解析式，又B也在反比例函数图象上，把B的坐标代入确定出的反比例解析式即可确定出m的值；
(2)根据图象结合交点坐标即可求得．
20.(1)证明：∵点D是边AC的中点，
∴AD=CD，
∵AE//BC，
∴∠AED=∠CBD，
在△ADE和△CDB中，
∠AED=∠CBD∠ADE=∠CDBAD=CD，
∴△ADE≌△CDB(AAS)，
∴AE=BC；
(2)解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC= 3，
∴tan∠ABC=ACBC=AC 3= 3，
∴AC=3，
由(1)知，AE=BC，
又∵AE//BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴四边形ABCE的面积=BC⋅AC=3 3．
【解析】(1)利用AAS证明△ADE≌△CDB，根据“全等三角形的对应边相等”即可得证；
(2)解直角三角形求出AC=3，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”推出四边形ABCE是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求解即可．
21.①③
【解析】解：(1)选①③，设A型笔记本的单价为x元，B型笔记本的单价为y元，
由题意可得：10x+3y=45x+y=8，
解得：x=3y=5，
答：A型笔记本的单价为3元，B型笔记本的单价为5元；
故答案为：①③(答案不唯一)；
(2)设A型笔记本购买a个，购买B型笔记本(50−a)个，
由题意可得：3a+5(50−a)≤200，
∴a≥25，
答：A型笔记本至少购买25个．
22.一
【解析】解：(1)根据以上数据判断，方案一不能求公馆桥的高度，
故答案为：一；
(2)延长BA交MN于点C，
由题意得：AC⊥MN，BC=61米，MN=91米，
设MC=x米，
∴CN=MN−MC=(91−x)米，
在Rt△ACM中，∠AMC=37°，
∴AC=MC⋅tan37°≈34x(米)，
在Rt△ACM中中，∠ANC=45°，
∴AC=CN⋅tan45°=(91−x)米，
∴34x=91−x，
解得：x=52，
∴AC≈34x=39(米)，
∴AB=BC−AC=62−39=23米．
答：公馆桥的高度约为23米．
23.解：(1)选择小杰的说法，
证明：连接AD，
∵AB是圆的直径，
∴AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC；
(2)过C作CH⊥AB于H，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=12BC=12×12=6，
∵圆的半径是5，
∴AB=2×5=10，
∴AD= AB2−BD2=8，
∵△ABC的面积=12BC⋅AD=12AB⋅CH，
∴12×8=10CH，
∴CH=485，
∴AH= AC2−CH2=145，
∴tan∠ACH=AHCH=724，
∵AE切圆于A，
∴AE⊥AB，
∵CH⊥AB，
∴AE/​/CH，
∴∠CAE=∠ACH，
∴tan∠CAE=tan∠ACH=724．
【解析】(1)连接AD，由圆周角定理得到AD⊥BC，由线段垂直平分线的性质推出AB=AC；
(2)过C作CH⊥AB于H，由圆周角定理得到∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得到BD=12BC=6，由勾股定理求出AD= AB2−BD2=8，由三角形面积公式求出CH=485，由勾股定理得到AH= AC2−CH2=145，即可求出tan∠ACH=AHCH=724，由平行线的性质推出∠CAE=∠ACH，于是得到tan∠CAE=724．
24.解：(1)由题意得，抛物线的顶点坐标为(4,6)，
∴设y=a(x−4)2+6．
点A(0,103)代入得：103=16a+6．
∴a=−16．
∴抛物线的解析式为y=−16(x−4)2+6．
(2)①抛物线为y=−16(x−4)2+6，
∴令y=0，则−16(x−4)2+6=0．
∴x1=10，x2=−2 (舍去)．
又当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在y轴上时，满足题目要求．
∴此时抛物线解析式为：y=−16x2+6．
令y=0，则−16x2+6=0，
∴x1=6，x2=−6 (舍去)．
∴n的取值范围为：6≤n≤10．
②由题意，设喷水头向中心线沿直线滑动距离为k m，
∴抛物线的解析式为y=−16(x−4+k)2+6．
又令y=4=−16(0−4+k)2+6，
∴k=4−2 3或k=4+2 3(舍去)．
∴此时抛物线解析式为y=−16(x−2 3)2+6．
再令y=0，
∴0=−16(x−2 3)2+6．
∴x=6+2 3或6−2 3(舍去)．
∴此时喷头位置为(6+2 3,0)．
∴n的值为6+2 3．
【解析】(1)依据题意得，抛物线的顶点坐标为(4,6)，从而可设y=a(x−4)2+6，再将点A代入求出a后即可得解；
(2)①依据题意，令y=0，则−16(x−4)2+6=0，求出x的值，再根据当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在y轴上时，满足题目要求，可得此时抛物线解析式为：y=−16x2+6，故可令y=0，则−16x2+6=0，进而可以判断n的范围；
②依据题意，设喷水头向中心线沿直线滑动距离为km，进而可得抛物线的解析式为y=−16(x−4+k)2+6，又令y=4=−16(0−4+k)2+6，求出k，故可得此时抛物线解析式，最后再令y=0，求出x后即可判断得解．
25.BE=DF BE⊥DF
【解析】解：(1)延长DF交BE于点N，
∵△AEF为等腰直角三角形，四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠EAF=90°，AE=AF，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴∠ABE=∠ADF，BE=DF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠ADF+∠AEB=90°，
∴∠DNE=180°−(∠ADF+∠AEB)=90°，
∴DN⊥BE，
即DF⊥BE，
故答案为：BE=DF，BE⊥DF；
(2)如图，延长DF交BE于N，交AB于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=90°，
∴AE=AF，
∴∠EAB=∠DAF，
∴△AEB≌△AFD(SAS)，
∴DF=BE，
∴∠ADF=∠NBA，
∴∠NHB=∠AHD，
∴∠BNH=∠HAD=90°，
∵DF=FM，∠DFM=90°，
∴FM=BE，∠DEM=∠FNB，
∴FM//BE，
∵四边形BEFM为平行四边形，
∴EF=MB，EF/​/BM；
(3)分两种情况情况一：
如图，
∵AF/​/BE，∠EAF+∠AEG=180°，
∴∠EAF=∠AEG=90°，
由(1)得∠FGE=90°，
∴四边形AEGF为正方形，
∴∠AFD=90°，EG=AF，
∵∠HAD=90°，
∴∠HAF=∠ADF，
∴△AFH∽△DFA，
∴AFDF=HFAF，
∴AF2=FH⋅DF，
∵FH=4，DE=9，
∴AF=6，
∴BG=BE−EG=DF−AF=3；
情况二：如图，
同理得EG=AF，AF=6，
∴BG=BE+EG=DF+AF=15，
综上所述：BG的长为3或15．
(1)延长DF交BE于点N，证明△ABE≌△ADF(SAS)，∠ADF+∠AEB=90°，∠DNE=180°−(∠ADF+∠AEB)，DN⊥BE，进而即可作答；
(2)延长DF交BE于N，交AB于H，推出△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=90°，△AEB≌△AFD，∠BNH=∠HAD=90°，FM=BE，∠DEM=∠FNB，则FM/​/BE，推出四边形BEFM为平行四边形，即可作答；
(3)分两种情况情况：分别作答即可．实物图
课题
测量公馆桥的高度
测量示意图
方案一
方案二
方案说明
无人机位于水面上方62米的P处，测得A的俯角为45°，C的俯角为37°(A,C在桥面上)．
无人机位于水面上方62米的N处，测得桥面正中心A的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达M处，测得点A的俯角为37°．
A
B
C
D
A
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)