2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高一下学期期末考试数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果(z−1)i=1，则z+z=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.已知某圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为( )
A. 2 2πB. 4πC. 4 2πD. 8π
3.在△ABC中，点D在边AB上，BD=23BA.记CA=a，CD=b，则CB=( )
A. 3a−2bB. −2a+3bC. 3a+2bD. 2a+3b
4.下列区间中，函数f(x)=1−sin(π6−x)单调递增的区间是( )
A. (0,π2)B. (π2,π)C. (π,3π2)D. (3π2,2π)
5.已知a=(1,0)，b=(3,4)，c=λa+b，若=，则λ=( )
A. −6B. −5C. 5D. 6
6.若tan(θ+π4)=−13，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ的值为( )
A. −65B. −25C. 25D. 65
7.已知正三棱台上、下底面的面积分别为27 34和12 3，高为1，所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是( )
A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π
8.在△ABC中，已知sinA+ 3csA=2，a=2， 2bsinC=csin2B，则△ABC的面积是( )
A. 3+1B. 2 3+2C. 3−1D. 2 3−2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数f(x)=2sin2x，下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为2π
B. f(x)在区间[−π4,π4]上是单调递增函数
C. 当x∈[−π6,π3]时，f(x)的取值范围为[− 3,2]
D. f(x)的图象可由g(x)=2sin(2x+π4)的图象向左平移π8个单位长度得到
10.在平面直角坐标系中，点A1(csα,sinα)，A2(csβ,−sinβ)，A3(cs(α+β),sin(α+β))，O(0,0)，B(1,0)，那么下列结论正确的是( )
A. |OA1|=|OA2|B. |A1B|=|A2B|
C. OB⋅OA3=OA1⋅OA2D. OB⋅OA1=OA2⋅OA3
11.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，CC1=2，E是线段BC1上的一动点(包括端点)，则下列说法正确的是( )
A. A1E的最小值为 2
B. A1E/​/平面AD1C
C. A1E+EC的最小值为 1705
D. 以A为球心， 2为半径的球面与侧面CDD1C1的交线长是π2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知z=−1−i，则|z−1|= ．
13.已知α∈(0,π)，若cs(2π3−α)= 33，则sin(2α+π6)= ．
14.在△ABC中，|AB|=1，∠C=60∘，点D为AC的中点，点E为BD的中点，AB=3AF，则CE⋅CF的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面上两个向量a，b，其中|a|=2 2，|b|=3，且=3π4．
(1)若2a+λb与4a+3b共线，求λ的值;
(2)求a+b与b的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
如图(1)，在梯形PBCD中，BC//PD，PD=2BC，A是PD中点，现将△ABP沿AB折起得图(2)，点M是PD的中点，点N是BC的中点．
(1)求证：MN/​/平面PAB;
(2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面EMN/​/平面PAB?若存在，请指出点E的位置并证明你的结论;若不存在，请说明理由．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以a，b，c为边长的三个等边三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1+S2−S3= 64ab，sinC= 2csB.
(1)求角B;
(2)若△ABC的面积为3+ 3，求c．
18.(本小题17分)
如图，PO是三棱锥P−ABC的高，OA=OB，AB⊥AC，E是PB的中点．
(1)求证：OE/​/平面PAC;
(2)若∠ABO=∠CBO=30∘，PO=4，OA=3，求三棱锥P−ABC的体积．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=asinx+bcsx，称非零向量p=(a,b)为f(x)的“特征向量”，f(x)为p的“特征函数”．
(1)设函数ℎ(x)=2sin(π3−x)−cs(π6+x)，求函数ℎ(x)的“特征向量”;
(2)若函数f(x)的“特征向量”为p=(1, 3)，求当f(x)=85且x∈(−π3,π6)时sinx的值;
(3)若p=( 3,1)的“特征函数”为f(x)，x∈[0,11π6]且方程f2(x)+(2−a)f(x)+a−3=0存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
答案解析
1.D
【解析】解：由题设z=1+1i=1−i，
则z+z=1−i+1+i=2．
2.B
【解析】解：设圆锥的母线长为l，
∵圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，
又圆锥的底面圆周长等于半圆的弧长，
∴πl=2π× 2，解得l=2 2，
∴该圆锥的侧面积为．
故选：B．
3.B
【解析】解：因为BD=23BA，
所以BD=23BA，即CD−CB=23CA−CB，
所以CB=3CD−2CA=−2a+3b．
4.A
【解析】解：函数f(x)=1−sin(π6−x)=1+sin(x−π6)，
令
得
由选项可知，只有A满足题意，
故选A
5.C
【解析】解：a=(1,0)，b=(3,4)，c=λa+b，
则c=(λ,0)+(3,4)=(λ+3,4)，
〈a,c〉=〈b,c〉，
则a⋅c|a| |c|=b⋅c|b||c|，即λ+31=3(λ+3)+165，
解得λ=5．
故选：C．
6.C
【解析】解：∵tan(θ+π4)=−13，则tanθ+11−tanθ=−13，即tanθ=−2，
∴sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ=sinθ⋅(sinθ+csθ)2sinθ+csθ=sin2θ+sinθcsθ=sin2θ+sinθ⋅csθsin2θ+cs2θ=tan2θ+tanθtan2θ+1=25．
故选：C．
7.A
【解析】解：如图，
由正三棱台上、下底面的面积分别为27 34和12 3，
得S△ABC= 34AB2=12 3,S△A1B1C1= 34A1B12=274 3
故 AB=4 3，A1B1=3 3 ，
设 △ A1 B1 C1的外心为 O1， △ABC的外心为 O2，球心为O，
则O一定在直线 O1O2上，易得 A1O1=3， AO2=4．
当球心在线段 O1 O2上时，如图 ①所示，设 OO1=x，0