2023-2024学年北京市昌平区高一下学期期末质量抽测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市昌平区高一下学期期末质量抽测数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知角α的终边经过点P2,−1，则csα=( )
A. 55B. − 55C. 2 55D. −2 55
2.若sinθ>0，tanθ<0，则θ是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则z1⋅z2=( )
A. 1+2iB. 1−2iC. −1+2iD. −1−2i
4.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若m⊥α，α⊥β，则m//βB. 若α∩β=l，l//m，则m//β
C. 若m⊂α，α⊥β，则m⊥βD. 若m⊥α，α//β，则m⊥β
5.已知圆锥的母线长为5，侧面展开图扇形的弧长为6π，则该圆锥的体积为( )
A. 12πB. 15πC. 36πD. 45π
6.在▵ABC中，a=3，b=4，csB=13，则∠A=( )
A. π6B. π4C. π6或5π6D. π4或3π4
7.已知z1，z2是两个复数，则“z1，z2互为共轭复数”是“z1，z2的差为纯虚数”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位：m)的部分记录表．
据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为( )
A. 3.75B. 5.83C. 6.25D. 6.67
9.函数fx=Atanωx+φ(ω>0,φ<π2)的部分图象如图所示，则f13π12=( )
A. 1B. 3C. 3D. 3 3
10.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P为矩形ABCD所在平面内的动点，且PA=1，则PB⋅PC的最大值是( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知正四棱锥的底面边长为2，高为 3，则它的侧面积为 ．
12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若角α的终边与单位圆交于点P35,m，则csβ= ．
13.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60∘，BC=2BP，则AP⋅BD= ．
14.已知函数fx=sinx,x∈−π2,π2csx,x∈π2,3π4tanx,x∈3π4,π，则函数fx的值域为 ；若关于x的方程fx−a=0恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 ．
15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，CC1的中点，动点H在平面EFG内，且DH=1.给出下列四个结论：
①A1B//平面EFG；
②点H轨迹的长度为π；
③存在点H，使得直线DH⊥平面EFG；
④平面EFG截正方体所得的截面面积为3 34．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
已知sinα=35，且α为第二象限角．
(1)求tanα+π4的值；
(2)求cs2α 2sinα−π4的值．
17.（本小题13分）
已知向量a=3,−1，b=1,m．
(1)若a⊥ma−b，求实数m的值；
(2)若m=−2，求a与b夹角的大小．
18.（本小题14分）
已知函数fx=2 3sinω2xcsω2x−csωx(ω>0)，fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．
(1)求fx的解析式；
(2)求fx在区间−π4,π6上的最小值；
(3)若fx在区间0,m上单调递增，求实数m的最大值．
19.（本小题15分）
在▵ABC中，a 2+b 2+ab=c 2．
(1)求∠C；
(2)若a= 6，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在．
(ⅰ)求sinB的值；
(ⅱ)求▵ABC的面积．
条件①：csA= 22；
条件②：c=2；
条件③：c=3 2sinA
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.（本小题15分）
如图，在几何体ABCDEF中，侧面ADEF是正方形，平面CDE⊥平面ABCD，CD//AB，∠ADC=90∘，AB=2CD．
(1)求证：AD⊥CE；
(2)求证：CE//平面ABF；
(3)判断直线BE与CF是否相交，说明理由．
21.（本小题15分）
已知函数fx=sinx+csx，先将fx图象上所有点向右平移π4个单位，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍，得到函数gx的图象．
(1)求gx的解析式和零点；
(2)已知关于x的方程fx+gx=m在区间0,2π内有两个不同的解α、β．
(ⅰ)求实数m的取值范围；
(ⅱ)求csα−β的值.(用含m的式子表示)
答案解析
1.C
【解析】因为角α的终边经过点P2,−1，所以csα=2 22+(−1)2=2 55，
故选：C．
2.B
【解析】由sinθ>0，可得θ的终边在第一象限或第二象限或与y轴正半轴重合，
由tanθ<0，可得θ的终边在第二象限或第四象限，
因为sinθ>0，tanθ<0同时成立，所以θ是第二象限角．
故选：B
3.A
【解析】由题知Z1(0,−1),Z2(−2,1)，所以z1=−i,z2=−2+i，
得到z1⋅z2=−i(−2+i)=1+2i，
故选：A．
4.D
【解析】对于A:若m⊥α,α⊥β，则可能m⊂β， A错误；
对于B:若α∩β=l,l//m，则可能m⊂β， B错误；
对于C:若m⊂α,α⊥β,则m可能不垂直β， C错误；
对于D:若m⊥α,α//β，则m⊥β， D正确．
故选：D．
5.A
【解析】因为侧面展开图扇形的弧长为6π=2πr，所以r=3，
又因为圆锥的母线长为5，设圆锥的高为ℎ，
ℎ2+r2=l2,ℎ=4,
所以圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×9×4=12π．
故选：A．
6.B
【解析】因为a=3，b=4，csB=13，由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
得到16=9+c2−2×3c×13，即c2−2c−7=0，解得c=1+2 2，
由csA=b2+c2−a22bc，得到csA=16+(1+2 2)2−92×4×(1+2 2)= 22，
又A∈0,π，所以A=π4，
故选：B．
7.D
【解析】若z1，z2互为共轭复数，设z1=a+bi(a,b∈R)，则z2=a−bi(a,b∈R)，
则z1−z2=a+bi−(a−bi)=2bi，若b=0，则z1−z2=0，所以“z1，z2互为共轭复数”推不出“z1，z2的差为纯虚数，
不妨取z1=3i，z2=5i，则z1−z2=−2i，显然满足z1，z2的差为纯虚数，
但z1，z2不互为共轭复数，所以“z1，z2互为共轭复数”是“z1，z2的差为纯虚数”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
8.C
【解析】记时间为x，水深值为y，
设时间与水深值的函数关系式为y=fx=Asinωx+φ+b,A>0,ω>0，
由表中数据可知，T=12，fxmax=7.5,fxmin=2.5
所以ω=2π12=π6，A=7.5−2.52=52,b=7.5+2.52=5，
所以fx=52sinπ6x+φ+5，
又x=3时，y=7.5，所以52sinπ6×3+φ+5=7.5，
所以π2+φ=π2+2kπ，即φ=2kπ,k∈Z，
所以fx=52sinπ6x+2kπ+5=52sinπ6x+5，
f13=52sin13π6+5=52sinπ6+5=52×12+5=6.25，
即13:00的水深值大约为6.25．
故选：C
9.C
【解析】由图知π2ω=5π12−π6=π4，得到ω=2，又由图知f(0)=Atanφ=1f(5π12)=Atan(2×5π12+φ)=0,
由Atan(5π6+φ)=0，得到φ=−5π6+kπ，又φ<π2，所以φ=π6，
由Atanπ6=1，得到A= 3，所以fx= 3tan2x+π6，
得到f13π12= 3tan(2×13π12+π6)= 3tan(7π3)=3，
故选：C．
10.B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设P(x,y)，BC中点为H，
因为AB=2，AD=3，所以A(0,0)，B(2,0)，C(2,3)，H(2,32)，
得到PB=(2−x,−y),PC=(2−x,3−y)，所以PB⋅PC=(x−2)2+y2−3y=(x−2)2+(y−32)2−94，
又因为PA=1，所以x2+y2=1，
又PH= (x−2)2+(y−32)2≤AH+AP= 22+94+1=72，当且仅当H,A,P(P在HA的延长线上)三点共线时取等号，
所以PB⋅PC=(x−2)2+y2−3y=(x−2)2+(y−32)2−94≤494−94=10，
故选：B．
11.8
【解析】如图，AC∩BD=O，取BC中点H，连接OH,PH，易知PH⊥BC，
因为正四棱锥的底面边长为2，高为 3，则OH=1，PH= OP2+OH2= 1+3=2，
所以正四棱锥的侧面积为S=4×12×2×2=8，
故答案为：8．
12.−35/−0.6
【解析】因为角α与角β的终边关于y轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P(35,m)，
所以(35)2+m2=1，解得m=±45，
当m=45时，即角β的终边与单位圆的交点Q(−35,45)，
所以csβ=−35．
当m=−45时，即角β的终边与单位圆的交点Q(−35,−45)，
所以csβ=−35．
综上所述，csβ=−35．
故答案为：−35
13.−1
【解析】因为BC=2BP，所以AP=AB+BP=AB+12AD，又BD=AD−AB，
所以AP⋅BD=(AB+12AD)⋅(AD−AB)=12AB⋅AD−AB2+12AD2，
又菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60∘，所以AP⋅BD=12×2×2csπ3−4+12×4=−1，
故答案为：−1．
14.−1,1 ；；− 22,0
【解析】当x∈−π2,π2时，sinx∈−1,1；
当x∈π2,3π4时，csx∈− 22,0；
当x∈3π4,π时，tanx∈−1,0．
综上，函数fx的值域为−1,1．
作出函数fx的图象如图：
因为关于x的方程fx−a=0恰有三个不相等的实数根，
所以直线y=a与函数fx的图象有三个交点，
由图可知，− 22故答案为：−1,1；− 22,0．
15.①②④
【解析】如图：
因为F，G分别为C1D1，CC1中点，所以FG//CD1，
又CD1//A1B，所以A1B//FG，又FG⊂平面EFG，A1B⊄平面EFG，
所以A1B//平面EFG，故①成立；
连接DB1，交EG于点O，易证DB1⊥平面EFG，OD= 32，DH=1，
所以OH=12，故H点轨迹是平面EFG内以O为圆心，以12为半径的圆，
所以H点轨迹长度为：2π×12=π，故②成立；
由②可知，DH不可能与平面EFG垂直，故③不成立；
做出截面EFG，可知截面是正六边形，且边长为 22，其面积为：6× 34× 222=3 34，故④成立．
故答案为：①②④
16.(1)因为sinα=35，且α为第二象限角，所以csα=− 1−sin2α=− 1−(35)2=−45，得到tanα=−34，
所以tanα+π4=tanα+11−tanα=−34+11+34=17．
(2)因为cs2α 2sinα−π4=cs2α−sin2αsinα−csα=−(csα+sinα)，
由(1)知sinα=35，csα=−45，所以cs2α 2sinα−π4=−(−45+35)=15．
【解析】(1)根据条件，利用平方关系得到csα=45，再利用正切的和角公式，即可求解；
(2)利用倍角公式及正弦的差角公式，得到cs2α 2sinα−π4=−(csα+sinα)，即可求解．
17.(1)ma−b=3m−1,−2m，
因为a⊥ma−b，所以a⋅ma−b=33m−1−−2m=0，
解得m=311．
(2)若m=−2，则b=1,−2，
因为a= 32+−12= 10，b= 12+−22= 5，a⋅b=5，
所以csa,b=a⋅bab=5 10× 5= 22，
因为csa,b∈0,π，所以csa,b=π4．
【解析】(1)根据坐标运算得到ma−b，然后根据垂直列方程，解方程即可；
(2)利用数量积的公式求夹角即可．
18.(1)因为fx=2 3sinω2xcsω2x−csωx= 3sinωx−csωx=2sin(ωx−π6)，
又fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且ω>0，所以πω=π2，得到ω=2，
所以fx=2sin(2x−π6)．
(2)由(1)知fx=2sin(2x−π6)，令t=2x−π6，则y=2sint
因为x∈−π4,π6，所以t∈−2π3,π6，得到−2≤2sint≤1，
所以fx在区间−π4,π6上的最小值为−2．
(3)因为fx=2sin(2x−π6)，
由−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z，得到−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，
令k=0，得到−π6≤x≤π3，又fx在区间0,m上单调递增，
所以实数m的最大值为π3．

【解析】(1)根据条件，利用辅助角公式得到fx=2sin(ωx−π6)，再结合条件，即可得到ω=2，从而求出结果；
(2)令t=2x−π6，得到y=2sint，利用y=sinx的图象与性质，即可求出结果；
(3)利用y=sinx的图象与性质，求出fx=2sin(2x−π6)的单调区间，再结合条件，即可求出结果．
19.(1)因为a 2+b 2+ab=c 2，又由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcsC，
所以2csC=−1，即csC=−12，又C∈0,π，所以C=2π3．
(2)选择条件①：因为csA= 22，又A∈0,π，所以A=π4，
由(1)知C=2π3，所以B=π−2π3−π4=π12，
(ⅰ)sinB=sinπ12=sin(π3−π4)= 32× 22−12× 22= 6− 24．
(ⅱ)因为a= 6，由正弦定理asinA=csinC，得到 6sinπ4=csin2π3，得到c=3，
所以▵ABC的面积为S=12acsinB=12× 6×3× 6− 24=9−3 34．
选择条件②：因为c=2，由(1)知C=2π3，而c=2选择条件③：c=3 2sinA= 3× 6sinA，又a= 6，所以c= 3asinA，
由正弦定理得sinC= 3sin2A，由(1)知C=2π3，所以 32= 3sin2A，
得到sin2A=12，又A∈0,π3，所以sinA= 22，得到A=π4，所以B=π−2π3−π4=π12，
(ⅰ)sinB=sinπ12=sin(π3−π4)= 32× 22−12× 22= 6− 24．
(ⅱ)因为a= 6，由正弦定理asinA=csinC，得到 6sinπ4=csin2π3，得到c=3，
所以▵ABC的面积为S=12acsinB=12× 6×3× 6− 24=9−3 34．
【解析】(1)根据条件，利用余弦定理，即可求出结果；
(2)选择①：利用条件得到A=π4，从而B=π12，即可求出sinB，再利用正弦定得到c=3，利用三角形的面积公式，即可求出结果；选择②：由于c20.(1)因为平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD=CD，
又AD⊥DC，AD⊂面ABCD，所以AD⊥面CDE，
又CE⊂面CDE，所以AD⊥CE．
(2)取AB中点H，连接CH,FH，
因为AB=2CD，CD//AB，所以AH//DC且AH=DC，
所以AHDC为平行四边形，得到AD//HC且AD=HC，
所以HCEF为平行四边形，得到HF//CE，
又HF⊂面ABF，CE⊄面ABF，所以CE//平面ABF．
(3)直线BE与CF不相交，理由如下，
由(2)知CE//平面ABF，所以CE∩平面ABF=⌀，
又BF⊂面ABF，所以CE∩BF=⌀，又HF//CE，BF∩FH=F，
所以BF与CE不平行，故BF与CE异面，从而BE与CF不相交．
【解析】(1)利用面面垂直的性质定理，得到AD⊥面CDE，再利用线面垂直的性质，即可证明结果；
(2)取AB中点H，连接CH,FH，根据条件，利用平行四边形的性质，得到HF//CE，再利用线面平行的判定定理，即可证明结果；
(3)利用(2)中的结果，得出BF与CE异面，即可求出结果．
21.(1)fx=sinx+csx= 2sinx+π4，
将fx图象上所有点向右平移π4个单位得 2sin(x−π4+π4)= 2sinx，
再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍，得到函数gx的图象，
则gx=2sinx，
y=sinx的零点为2kπ和π+2kπ(k∈Z)，
故gx=2sinx的零点为2kπ和π+2kπ(k∈Z)．
(2)(ⅰ)fx+gx=sinx+csx+2sinx=3sinx+csx= 10sin(x+φ)(其中sinφ= 1010,csφ=3 1010)，
方程fx+gx=m在区间0,2π内有两个不同的解α、β，
即 10sin(x+φ)=m在区间0,2π内有两个不同的解α、β，
故− 10(ⅱ)∵α、β是方程 10sin(x+φ)=m(其中sinφ= 1010,csφ=3 1010)
在区间0,2π内有两个不同的解，
∴sin(α+φ)=m 10,sin(β+φ)=m 10，
当0≤m< 10时，α+φ+β+φ=π，即α=π−β−2φ，即α−β=π−2(β+φ)；
当− 10即α−β=3π−2(β+φ)；
∴cs(α−β)=−cs2(β+φ)=2sin2(β+φ)−1=2×m 102−1=m25−1．
故cs(α−β)=m25−1．
【解析】(1)用辅助角公式化简f(x)，由三角函数的图象变换可得gx，继而可得零点；
(2)(ⅰ)由(1)得fx+gx= 10sin(x+φ)(其中sinφ= 1010,csφ=3 1010)，从而可得m的取值范围．
(ⅱ)由题意可得sin(α+φ)=m 10,sin(β+φ)=m 10，当0≤m< 10时，可求α−β=π−2(β+φ)；当− 10时间
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
水深值
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0