2023-2024学年北京市大兴区高一下学期期末检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市大兴区高一下学期期末检测数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(−1,1)，则复数z的共轭复数z=( )
A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i
2.已知一组数据3，4，4，6，6，7，8，8，则这组数据的80 0/0分位数是( )
A. 6B. 7C. 7.5D. 8
3.正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线BC1和直线A1D所成的角为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
4.一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都没中靶”的相互对立事件是( )
A. 至多有一次中靶B. 至少有一次中靶C. 两次都中靶D. 只有一次中靶
5.某比例分配的分层随机抽样中，相关统计数据如下表．则此样本的平均数为( )
A. 20B. 24C. 25D. 30
6.已知α,β是空间中两个不同的平面，m,n是空间中两条不同的直线，m⊂α,n⊂β，则“m⊥n”是“α⊥β”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，并测得∠BDC=120∘，∠BCD=15∘,CD=20，在点C处测得塔顶A的仰角为60∘，则塔高AB =( )
A. 20 2B. 20 3C. 30 2D. 30 3
8.甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲，乙，丙各自独立破译出密码的概率分别为12,13,14，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有2人破译出密码的概率是( )
A. 14B. 724C. 12D. 712
9.已知平面向量a=(1,1),b=(−3,4)，则下列说法错误的是( )
A. csa,b= 210
B. b在a方向上的投影向量为(−325,425)
C. 与b垂直的单位向量的坐标为(45,35)或(−45,−35)
D. 若向量a+λb与非零向量a−λb共线，则λ=0
10.有下列说法：
①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是110；
②数据x1,x2,⋯,xn的方差为0，则所有的xi(i=1,2,⋯,n)都相同；
③某运动员连续进行两次飞碟射击练习，事件“两次射击都命中”的概率为0.25；
④从3个红球和2个白球中任取两个球，记事件A=“取出的两球均为红球”，事件B=“取出的两个球颜色不同”，则事件A与B互斥但不对立．
则上述说法中，所有正确说法的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数1−ii= ．
12.从鱼塘捕得同时放养的草鱼100尾，从中任选5尾，称得每尾的质量(单位：kg)分别是1.5，1.8，1.2，1.4，1.6，估计捕得的100尾鱼的总质量为 kg．
13.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，
一与六共宗居下，二与七为朋居上，
三与八同道居左，四与九为友居右，
五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．
若从阳数和阴数中各取一数，则阳数大于阴数的概率为 ．
14.已知菱形ABCD的边长为2，∠A=2π3，沿AC将▵ABC折起得到二面角B′−AC−D.当二面角B′−AC−D为直二面角时，B′D的长为 ；当三棱锥B′−ACD的体积为 32时，二面角B′−AC−D的度数为 ．
15.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，有下列命题：
①平面A1PD截正方体的截面为等腰梯形；
②若CQ//平面A1PD，则直线CQ不可能垂直于直线C1Q；
③若D1Q= 62，则点Q的轨迹长度为 24π；
④三棱锥A−A1PD的外接球的表面积为4316π．
则上述命题中，所有真命题的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知a=3e1−2e2,b=4e1+e2，其中e1=(1,0),e2=(0,1)．
(1)求a⋅b，|a+b|；
(2)求a+b与a−b夹角θ的余弦值．
17.(本小题12分)
某学校为了解本校历史选科，物理选科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，从历史选科的学生中随机抽取n人的成绩得到样本甲，从物理选科的学生中随机抽取60人的成绩得到样本乙，分别得到如下频率分布直方图：
已知样本甲中数据在80,90的有20个．
(1)求n和样本甲的频率分布直方图中a的值；
(2)试估计该校历史选科的学生本次模拟测试数学成绩的中位数；
(3)设该校历史与物理选科的学生本次模拟测试数学成绩的平均值分别为μ1，μ2方差分别为s12，s22，试估计μ1与μ2，s12与s22的大小(只需写出结论)．
18.(本小题12分)
6件产品中有4件一等品，2件二等品，从中随机取出两件产品．事件A=“两件产品中有一等品”，事件B=“两件产品中有二等品”．
(1)用适当的符号写出该随机试验的样本空间；
(2)分别求事件A,B的概率；
(3)判断事件A,B是否相互独立，并说明理由．
19.(本小题12分)
如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，▵ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点.求证：
(1)AF//平面BCE；
(2)平面BCE⊥平面CDE．
20.(本小题12分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，N，E，F分别是A1D1,B1C1,C1D1的中点．
(1)求证：E，F，B，D四点共面；
(2)设平面BNF与平面ABCD交于直线l，求证：NF//l；
(3)求直线A1D1与平面A1C1D所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA= 3acsB．
(1)求∠B；
(2)若b= 3．
(i)再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求▵ABC的面积．
条件①：a= 6；条件②：a=2c；条件③：sinC=13．
(ii)求▵ABC周长的取值范围．
答案解析
1.A
【解析】由题意可得z=−1+i，故z=−1−i，
故选：A
2.D
【解析】由题意8×80 0/0=6.4，故这组数据的80 0/0分位数为第7个数为8，
故选：D
3.D
【解析】连接AD1，交A1D于O，
因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB//D1C1，且AB=D1C1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，可得BC1//AD1，
因此异面直线BC1和A1D所成的角为直线AD1和直线A1D所成的角(或其补角)，因为在正方形ADD1A1中，AD1⊥A1D，
所以直线AD1和直线A1D所成的角为90∘，即异面直线BC1和直线A1D所成的角为90∘；
故选：D
4.B
【解析】解：根据对立事件的定义可得，
事件“两次都没中靶”的对立事件是：至少有一次中靶，
故选：B．
5.B
【解析】样本的平均数为20×30+30×2050=24，
故选：B
6.D
【解析】若α⊥β，m⊂α,n⊂β，则m与n位置关系有：平行，相交，异面，则不一定垂直；
若m⊥n，m⊂α,n⊂β，则α与β不一定垂直，也可以平行，故“m⊥n”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件；
故选：D
7.C
【解析】在中▵BCD，∠BDC=120∘，∠BCD=15∘,CD=20，
则∠CBD=180∘−120∘−15∘=45∘，
由正弦定理得BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，
所以BC=CDsin∠CBDsin∠BDC=20sin45∘sin120∘=20 22× 32=10 6．
在Rt▵ABC中，∠ACB=60∘，
所以AB=BCtan∠ACB=10 6tan60∘=10 6× 3=30 2．
故选：C．
8.B
【解析】至少有2人破译出密码的概率为12×13×1−14+12×1−13×14+1−12×13×14+12×13×14=724，
故选：B
9.D
【解析】由题意可得a⋅b=1,a= 2,b=5，
对于A，csa,b=a⋅ba⋅b=15 2= 210， A正确，
对于B，b在a方向上的投影向量为bcsa,b⋅aa=a⋅ba⋅aa=1 2×1 2a=12a=12,12， B错误；
对于C，设与b垂直的单位向量的坐标为c=x,y，所以−3x+4y=0 x2+y2=1，解得x=45y=35或x=−45y=−35，故c=(45,35)或c=(−45,−35)， C正确，
对于D，若向量a+λb与非零向量a−λb共线，则存在k∈R，使得a+λb=ka−λb⇒k−1a=λ+kλb，由于b，a不共线，所以k−1=0且λ+kλ=0，故λ=0， D正确，
故选：D
10.C
【解析】对于①，根据简单随机抽样的特征每个个体有相同机会被抽中，得到个体m被抽到的概率是550=110，故①正确
对于②，根据方差公式s2=1n(x1−x)2+(x2−x)2+⋯(xn−x)2，可知若一组数据x1,x2,⋯,xn的方差为0，则x1=x2=⋯=xn，故②正确；
对于③，不知道运动员每次飞碟射击命中的概率，则无法计算“两次射击都命中”的概率，故③不正确；
对于④，从3个红球和2个白球中任取两个球，基本事件有“取出的两球为红球”，“取出的两球为白球”，“取出的球一个红球和一个白球”，因此事件A与B互斥但不对立，则④正确；
故选：C
11.−1−i/−i−1
【解析】1−ii=−i1−ii−i=−1−i，
故答案为：−1−i
12.150
【解析】从中任选5尾的平均质量为1.5+1.8+1.2+1.4+1.65=1.5kg，则估计捕得的100尾鱼的总质量为1.5×100=150kg
故答案为：150
13.25/0.4
【解析】由题可得阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，可得从阳数和阴数中各取一数的组合共有5×5=25个，
满足阳数大于阴数的的有(3,2)，(5,2)，(5,4)，(7,2)，(7,4)，(7,6)，(9,2)，(9,4)，(9,6)，(9,8)共10个，
所以所求概率为1025=25
故答案为：25
14. 6 ； ；； ； ； ；60∘或120∘
【解析】如图将菱形ABCD沿AC将▵ABC折起得到二面角B′−AC−D
取AC的中点E，连接B′E,ED，
因为菱形ABCD的边长为2，∠A=2π3，所以AB′=B′C=AC=AD=CD=2，
所以B′E⊥AC,ED⊥AC，且B′E=ED= 3，
所以∠B′ED为二面角B′−AC−D的平面角，
如图：当二面角B′−AC−D为直二面角时，此时∠B′ED=90∘，
所以B′D= B′E2+ED2= 3+3= 6．
当三棱锥B′−ACD的体积为 32时，记B′到平面ACD的距离为d，
即VB′−ACD=13SACD⋅d=13×12×2×2×sin60∘×d= 32，解得d=32．
如图：过点B′作B′O⊥ED，
由B′E⊥AC,ED⊥AC，且B′E∩ED=E,B′E,ED⊂面B′ED，
所以AC⊥面B′ED，
因为B′O⊂面B′ED，所以AC⊥B′O，
又因为AC∩ED=E,AC,ED⊂面ACD，
所以B′O⊥面ACD，故B′到平面ACD的距离为d=B′O=32，
由B′O⊥ED，所以▵B′OE为直角三角形，
因为B′E= 3，所以sin∠B′ED=B′OB′E=32 3= 32
由∠B′ED为二面角B′−AC−D的平面角，所以∠B′ED∈0,π，
所以∠B′ED=60∘或∠B′ED=120∘．
故答案为： 6；60∘或120∘．
15.①；③
【解析】对于①，取BC的中点为P′，连接PP′，DP′，B1C，
则PP′//B1C,PP′=12B1C，
又B1C//A1D,B1C=A1D，所以PP′//A1D，且PP′=12A1D，
则四边形A1PP′D为平面A1PD截正方体的截面，为梯形，
又A1P=DP′= 12+122= 52，即四边形A1PP′D为等腰梯形，①正确；
对于②，连接B1C交BC1为Q，
则BC1⊥B1C，即CQ⊥C1Q，
而PP′//CQ，PP′⊂平面A1PD，CQ⧸⊂平面A1PD，故CQ//平面A1PD，
即当CQ//平面A1PD时，直线CQ可能垂直于直线C1Q，②错误；
对于③，因为D1C1⊥平面BB1C1C，C1Q⊂平面BB1C1C，故D1C1⊥C1Q，
由D1Q= 62得，C1Q= 64−1= 22，
即点Q的轨迹为以C1为圆心，半径为 22的四分之一圆，
其轨迹长度为14×2π× 22= 24π，③正确；
对于④，三棱锥A−A1PD的外接球即为三棱锥D−A1PA的外接球，
设三棱锥D−A1PA的外接球半径为R，▵A1AP的外接圆半径为r，
AP=A1P= 1+14= 52,AA1=1，
故cs∠APA1=( 52)2+( 52)2−122× 52× 52=35,∠APA1∈(0,π)，
则sin∠APA1=45，故AA1sin∠APA1=54=2r，所以r=58，
因为DA⊥平面A1AP，
故三棱锥D−A1PA的外接球球心在过▵A1AP的外接圆圆心和DA平行的直线上，
则(AD2)2+r2=R2,AD=1，即R2=2564+14=4164，
故三棱锥A−A1PD的外接球的表面积为4πR2=4116π，④错误．
故答案为：①，③．
16.(1)由a=3e1−2e2,b=4e1+e2，e1=(1,0),e2=(0,1)可得
a=3,−2,b=4,1，a+b=7,−1
所以a⋅b=12−2=10，a+b= 72+−12=5 2
(2)a−b=−1,−3，a−b= −12+−32= 10，
故csθ=a+b⋅a−ba+ba−b=a2−b25 2× 10=13−175 2× 10=−2 525
【解析】(1)根据向量的坐标运算可得a=3,−2,b=4,1，即可由数量积的坐标运算以及模长根式求解，
(2)根据夹角根式即可求解．
17.(1)由直方图可知，样本甲中数据在80,90的频率为0.04×10=0.4，
又因为样本甲中数据在80,90的有20个，所以20n=0.4，解得：n=50，
由样本甲数据的直方图可知，0.006+0.016+0.020+0.04+a×10=1，解得a=0.018
(2)因为(0.006+0.016+0.02)×10=0.420.5，
所以样本甲数据的中位数在第4组，设中位数为x，
则(x−80)×0.04+0.42=0.5，解得：x=82
(3)结论是：μ1