湖北省武汉市部分重点高中2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市部分重点高中2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数，则z的虚部为( )
A.2B.C.D.
2．已知，向量，，且，则( )
A.B.C.D.
3．下面关于函数叙述中正确的是( )
A.关于直线对称
B.关于点对称
C.在区间上单调递减
D.函数的零点是
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，，则等于( )
A.B.C.D.
5．函数的部分图象如图，则( )
A.B.C.1D.
6．函数的最大值为( )
A.B.2C.D.
7．在中，若，且，则( )
A.B.C.3D.2
8．设O是的外心，点D为的中点，满足，，若，则面积的最大值为( )
A.2B.4C.D.8
二、多项选择题
9．在中，，，，则角C的可能取值是( )
A.B.C.D.
10．下面四个命题中的真命题为( )
A.若复数z满足，则
B.若复数z满足，则
C.已知，，若，则
D.已知，，，若，则
11．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，，，则下列结论中，错误的是( )
A.
B.
C.
D.在上的投影向量为
三、填空题
12．已知向量，满足，，，则______.
13．已知为锐角，，则________.
14．已知函数其中.若，在区间上单调递增，则的取值范围是___________.
四、解答题
15．已知
（1）化简；
（2）已知，求的值.
16．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且选择条件______.
（1）求角A；
（2）若为的平分线，且与交于点M，，求的周长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17．如图所示，在中，D是边的中点，E在边上，，与交于点O.
（1）以，为基底表示；
（2）若，求x，y的值；
（3）若，求的值.
18．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（米）的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点E正好为的中点，电梯的坡度.某人在扶梯上点P处（异于点C）观察广告牌的视角，当人在A点时，观测到视角的正切值为.
（1）设的长为m米，用m表示；
（2）求扶梯的长；
（3）当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长.
19．我们把（其中，）称为一元n次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即，，，…，为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积.即，其中k，，，，，…，为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即，，，…，为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，.
（1）在复数集内解方程：；
（2）设，其中，，，，且.
（i）分解因式：；
（ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当时，.
参考答案
1．答案：C
解析：复数的虚部为.
故选：C.
2．答案：B
解析：由，可得，，
因为
所以，，解得：，
所以，，
所以.
故选：B.
3．答案：B
解析：由，所以A错，B对；
由，
所以，，，，
又不是子集，故C错；
由，，故D错；
故选：B.
4．答案：C
解析：，所以，
所以，即，解得，
由余弦定理有，
而，所以.
故选：C.
5．答案：B
解析：由图可知，，解得，，，
又，所以，，解得，，
注意到，从而，
所以，所以.
故选：B.
6．答案：A
解析：设，根据辅助角公式，，
由，于是，
故，当，y取得最大值.
故选：A.
7．答案：D
解析：由，得，，
，.
由题，由正弦定理有，
故，即，故，即，
由正弦定理有，故.
故选：D.
8．答案：B
解析：因为，，，
所以，，
从而，即，
所以，所以，
所以的面积为
，
等号成立当且仅当，，
综上所述，面积的最大值为4.
故选：B.
9．答案：BC
解析：由正弦定理有，即，解得，
注意到从而，所以角C的可能取值是，.
故选：BC.
10．答案：AB
解析：对于A，由于，而z是实数的倒数，所以，故A正确；
对于B，若，，则有，则，故B正确；
对于C，取，，显然满足，但不成立，故C错误；
对于D，，，，显然有，但不成立，故D错误.
故选：AB.
11．答案：ACD
解析：对于A，，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，在上的投影向量为，
而由C选项分析可知，，由A选项分析可知，
且注意到，
所以在上投影向量为
，故D错误.
故选：ACD.
12．答案：1
解析：因为，所以，解得.
故答案为：1.
13．答案：
解析：因为为锐角，所以，所以，
所以，
又因为，所以，
所以
.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意，所以在单调递增，
若在区间上单调递增，则在上单调递增，
所以，其中，解得，
从而等号不能同时成立，解得，
又，所以只能，或，，
即的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意得，.
（2）依题意得，，得到，
于是.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）若选①，
则，
又因为，所以，即，
所以，又因为，所以，
所以，解得；
若选②，
则，
由正弦定理可得，
故，
又，故.
若选择③；
由正弦定理可得，
再由余弦定理得，即，
，.
综上所述，无论选①②③任何一个，都有；
（2），，，
因为，
所以，
又平分，所以，
所以，
则，即
由余弦定理得，即，
所以，解得或（负值舍去），
故的周长为.
17．答案：（1）
（2），
（3）
解析：（1）.
（2）连接，
则，
因为，，
所以，，
因为E，O，C三点共线，A，O，D三点共线，
所以，解得.
（3）设，，
则，
，
所以，解得，
所以，
，
又因为，
所以，即，
所以.
18．答案：（1）
（2）10
（3）
解析：（1）因为在直角三角形中，，，，
所以，
因为，点E是的中点，
从而，
所以；
（2）由（1）有，其中，
而在直角三角形中，，
又因为，，
所以，
即，解得或，
注意到，所以，（否则时，有，矛盾），
所以扶梯的长度为10米；
（3）作于点Q，如图所示，
设，则，，
由（2）可知，
，，
当取最大值时，即取最大值，
，
等号成立当且仅当，所以此时.
19．答案：（1）1、
（2）（i）；（i）证明见解析
解析：（1）观察可知，是方程的一个根，
则一定是多项式的一个因式，
即，
即有，解得，
即，
令，则，
即该方程的根为：1、；
（2）（i）观察可知，是方程的一个根，
则一定是多项式的一个因式，
即，
则有，即，
即；
（ii）令，即，
即，
设，由，，，，
有，故函数必有两个不同零点，
设，且，则，故，
又，
故，则方程的根有1、、，且，
故的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点的横坐标为1，即.