2025年高考数学一轮复习-第二章-第五节 指数与指数函数-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第二章-第五节 指数与指数函数-课时作业【含解析】，共11页。
1.（2024·湖南衡阳）若2x＝7，2y＝6，则4x－y＝（ ）
A.3649B.76
C.67D.4936
2.若a＝1323，b＝2313，c＝2323，则（ ）
A.c＜a＜bB.c＜b＜a
C.a＜c＜bD.b＜a＜c
3.（2024·四川成都）要得到函数y＝122x－1的图象，只需将指数函数y＝14x的图象（ ）
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移12个单位长度
D.向右平移12个单位长度
4.已知函数f（x）＝12x－1＋b的图象不经过第一象限，则实数b的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1）B.（－∞，－1]
C.（－∞，－2]D.（－∞，－2）
5.（2024·陕西咸阳）下列函数中为奇函数且在0，＋∞上单调递增的是（ ）
A.y＝x2B.y＝x13
C.y＝1xD.y＝ex
6.（2024·山东青岛）已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是（ ）
A.[2，4]B.（－∞，0）
C.（0，1）∪[2，4]D.（－∞，0]∪[1，2]
7.（多选）（2024·广东广州）已知函数y＝12x2+4x＋3，则下列说法正确的是（ ）
A.定义域为R
B.值域为（0，2]
C.在[－2，＋∞）上单调递增
D.在[－2，＋∞）上单调递减
8.（多选）（2024·福建福州）已知实数a，b满足等式2 023a＝2 024b，下列等式可以成立的是（ ）
A.a＝b＝0B.a＜b＜0
C.0＜a＜bD.0＜b＜a
9.（2024·四川宜宾）计算：3－22－0.2512×12－4＋3×lg110＝ .
10.若不等式122a+1＜4a－1成立，则实数a的取值范围是 .
11.已知函数f（x）＝13ax2－4x+3，若f（x）有最大值3，则a的值为 .
12.已知定义域为R的函数f（x）＝－12＋12x+1，则关于t的不等式f（t2－2t）＋f（2t2－1）＜0的解集为 .
[B组 能力提升练]
13.（2024·山东日照）已知函数f（x）＝132x2－ax在区间1，＋∞上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A.4，＋∞B.4，＋∞
C.－∞，4D.－∞，4
14.（2024·安徽合肥）若0＜b＜a＜1，则ab，ba，aa，bb中最大的是（ ）
A.abB.ba
C.aaD.bb
15.（2024·云南大理）若对∀x∈R，使得a2x－4≤2x2－2x（a＞0且a≠1）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.2B.1，2
C.0，1∪1，2D.2，＋∞
16.（2024·山东枣庄）对任意实数a＞1，函数y＝（a－1）x－1＋1的图象必过定点A（m，n），f（x）＝nmx的定义域为[0，2]，g（x）＝f（2x）＋f（x），则g（x）的值域为（ ）
A.（0，6]B.（0，20]
C.[2，6]D.[2，20]
17.（多选）（2024·浙江杭州）已知函数f（x）＝3x－13x+1，下列说法正确的有（ ）
A.f（x）的图象关于原点对称
B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的值域为（－1，1）
D.∀x1，x2∈R，且x1≠x2，f（x1)−f（x2）x1－x2＜0
18.已知函数f（x）＝2x1+a·2x的图象关于点0，12对称，则a＝ ，f（x）的值域为 .
19.（2024·上海）设函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）是增函数，若f（1)−f(−1）f（2)−f(−2）＝310，则a＝ .
20.（2024·江苏镇江）已知fx＝a·2x－1－12x+1＋aa>0为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断并用定义法证明函数fx的单调性；
（3）解关于x的不等式0＜fx2－x≤310.
2025年高考数学一轮复习-第二章-第五节 指数与指数函数-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.（2024·湖南衡阳）若2x＝7，2y＝6，则4x－y＝（ ）
A.3649B.76
C.67D.4936
答案：D
解析：2x＝7，2y＝6，则4x－y＝22x－2y＝22x22y＝4936.
2.若a＝1323，b＝2313，c＝2323，则（ ）
A.c＜a＜bB.c＜b＜a
C.a＜c＜bD.b＜a＜c
答案：C
解析：指数函数y＝23x为减函数，所以2313＞2323，即b＞c.幂函数y＝x23在区间（0，＋∞）上为增函数，所以1323＜2323，即a＜c.因此a＜c＜b.
3.（2024·四川成都）要得到函数y＝122x－1的图象，只需将指数函数y＝14x的图象（ ）
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移12个单位长度
D.向右平移12个单位长度
答案：D
解析：由y＝14x＝122x向右平移12个单位长度，则y＝122x－12＝122x－1.
4.已知函数f（x）＝12x－1＋b的图象不经过第一象限，则实数b的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1）B.（－∞，－1]
C.（－∞，－2]D.（－∞，－2）
答案：C
解析：∵函数f（x）＝12x－1＋b为减函数，且图象不经过第一象限，∴f（0）＝2＋b≤0，即b≤－2.
5.（2024·陕西咸阳）下列函数中为奇函数且在0，＋∞上单调递增的是（ ）
A.y＝x2B.y＝x13
C.y＝1xD.y＝ex
答案：B
解析：对于A选项，函数y＝x2为偶函数，A不满足条件；
对于B选项，令fx＝x13＝3x，则该函数的定义域为R，
f－x＝3－x＝－3x＝－fx，所以，函数y＝x13为奇函数，
且函数y＝x13在0，＋∞上单调递增，B满足条件；
对于C选项，函数y＝1x为奇函数，且该函数在0，＋∞上单调递减，C不满足条件；
对于D选项，函数y＝ex为非奇非偶函数，D不满足条件.
6.（2024·山东青岛）已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是（ ）
A.[2，4]B.（－∞，0）
C.（0，1）∪[2，4]D.（－∞，0]∪[1，2]
答案：D
解析：∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7，
即4x－3·2x+3≤7，4x－3·2x+3≥1，2x≥0，∴（2x+1)(2x－4）≤0，（2x－1)(2x－2）≥0，2x≥0，
∴0≤2x≤1或2≤2x≤4，
∴x≤0或1≤x≤2.
7.（多选）（2024·广东广州）已知函数y＝12x2+4x＋3，则下列说法正确的是（ ）
A.定义域为R
B.值域为（0，2]
C.在[－2，＋∞）上单调递增
D.在[－2，＋∞）上单调递减
答案：ABD
解析：函数y＝12x2+4x+3的定义域为R，A正确；
∵x2＋4x＋3＝（x＋2）2－1≥－1，
∴0＜12x2+4x+3≤2，故函数y＝12x2+4x+3的值域为（0，2]，B正确；
∵y＝12u在R上是减函数，u＝x2＋4x＋3在（－∞，－2]上是减函数，在[－2，＋∞）上是增函数，
∴函数y＝12x2+4x+3在[－2，＋∞）上单调递减，C错误，D正确.
8.（多选）（2024·福建福州）已知实数a，b满足等式2 023a＝2 024b，下列等式可以成立的是（ ）
A.a＝b＝0B.a＜b＜0
C.0＜a＜bD.0＜b＜a
答案：ABD
解析：如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
9.（2024·四川宜宾）计算：3－22－0.2512×12－4＋3×lg110＝ .
答案：－23
解析：由题意可得3－22－0.2512×12－4＋3×lg110＝3－2－12212×24＋3×－1＝2－3－12×4－3＝－23.
10.若不等式122a+1＜4a－1成立，则实数a的取值范围是 .
答案：14，＋∞
解析：原不等式可化为2－2a－1＜22（a－1），
即－2a－1＜2（a－1），解得a＞14.
11.已知函数f（x）＝13ax2－4x+3，若f（x）有最大值3，则a的值为 .
答案：1
解析：令g（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝13g（x）.
∵f（x）有最大值3，∴g（x）有最小值－1，
则a>0，3a－4a＝－1，解得a＝1.
12.已知定义域为R的函数f（x）＝－12＋12x+1，则关于t的不等式f（t2－2t）＋f（2t2－1）＜0的解集为 .
答案：－∞,−13∪（1，＋∞）
解析：由题意知f（x）是奇函数，且在R上为减函数，
所以f（t2－2t）＋f（2t2－1）＜0，
可化为f（t2－2t）＜－f（2t2－1）＝f（1－2t2）.
所以t2－2t＞1－2t2，解得t＞1或t＜－13.
即不等式的解集为－∞,−13∪（1，＋∞）.
[B组 能力提升练]
13.（2024·山东日照）已知函数f（x）＝132x2－ax在区间1，＋∞上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A.4，＋∞B.4，＋∞
C.－∞，4D.－∞，4
答案：C
解析：因为函数y＝13x为R上的减函数，
根据复合函数的单调性可知，要使函数f（x）＝132x2－ax在区间1，＋∞上单调递减，
则函数y＝2x2－ax在区间1，＋∞上单调递增.
根据二次函数的性质可知，函数y＝2x2－ax在a4，＋∞上单调递增，
所以应有a4≤1，即a≤4.
14.（2024·安徽合肥）若0＜b＜a＜1，则ab，ba，aa，bb中最大的是（ ）
A.abB.ba
C.aaD.bb
答案：A
解析：∵0＜b＜a＜1，∴指数函数y＝ax和y＝bx均为减函数，∴ab＞aa，ba＜bb，∵幂函数y＝xb在（0，＋∞）上为增函数，∴ab＞bb，即ab，ba，aa，bb中最大的是ab.
15.（2024·云南大理）若对∀x∈R，使得a2x－4≤2x2－2x（a＞0且a≠1）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.2B.1，2
C.0，1∪1，2D.2，＋∞
答案：A
解析：若a2x－4≤2x2－2x（a＞0且a≠1）对任意的x∈R都成立.
①当x≥2时，x－2≥0，由a2x－4≤2x2－2x变形得到a2x－2≤2xx－2，故a2≤2x，
因为指数函数y＝2x在2，＋∞上单调递增，故要使得a2≤2x对任意x≥2成立，
只需a2≤22＝4，即得a∈0，1∪1，2.
②当x＜2时，a2x－2≤2xx－2变形为a－22－x≤2－x2－x，即得a－2≤2－x＝12x，
因为指数函数y＝12x在－∞，2上单调递减，要使得a－2≤12x对任意x＜2成立，
只需a－2≤122＝14，即a2≥4，即得a∈2，＋∞.
因此，结合题意可知要使得对∀x∈R，使得a2x－4≤2x2－2x（a＞0且a≠1）恒成立，
取a∈0，1∪1，2与a∈2，＋∞的交集，可知a∈2.
16.（2024·山东枣庄）对任意实数a＞1，函数y＝（a－1）x－1＋1的图象必过定点A（m，n），f（x）＝nmx的定义域为[0，2]，g（x）＝f（2x）＋f（x），则g（x）的值域为（ ）
A.（0，6]B.（0，20]
C.[2，6]D.[2，20]
答案：C
解析：令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函数图象必过定点（1，2），
所以m＝1，n＝2，
f（x）＝nmx＝2x，由0≤x≤2，0≤2x≤2，
解得x∈[0，1]，
g（x）＝f（2x）＋f（x）＝22x＋2x，令t＝2x，
则y＝t2＋t，t∈[1，2]，所以g（x）的值域为[2，6].
17.（多选）（2024·浙江杭州）已知函数f（x）＝3x－13x+1，下列说法正确的有（ ）
A.f（x）的图象关于原点对称
B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的值域为（－1，1）
D.∀x1，x2∈R，且x1≠x2，f（x1)−f（x2）x1－x2＜0
答案：AC
解析：对于A，由f（－x）＝3－x－13－x+1＝－3x－13x+1＝－f（x），可得函数f（x）为奇函数，函数f（x）的图象关于原点对称，故A正确，B错误；
对于C，设y＝3x－13x+1，可得3x＝1+y1－y，所以1+y1－y＞0，即1+yy－1＜0，解得－1＜y＜1，即函数f（x）的值域为（－1，1），所以C正确；
对于D，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，f（x1)−f（x2）x1－x2＜0，可得函数f（x）为减函数，
而f（x）＝3x－13x+1＝1－23x+1为增函数，所以D错误.
18.已知函数f（x）＝2x1+a·2x的图象关于点0，12对称，则a＝ ，f（x）的值域为 .
答案：1 （0，1）
解析：依题设f（x）＋f（－x）＝1，
则2x1+a·2x＋2－x1+a·2－x＝1，
整理得（a－1）[4x＋（a－1）·2x＋1]＝0，
所以a－1＝0，则a＝1.
因此f（x）＝2x1+2x＝1－11+2x.
由于1＋2x＞1，∴0＜11+2x＜1，∴0＜f（x）＜1.
19.（2024·上海）设函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）是增函数，若f（1)−f(−1）f（2)−f(−2）＝310，则a＝ .
答案：3
解析：因为函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）是增函数，则a＞1，
由f（1)−f(−1）f（2)−f(−2）＝310，得a－1aa2－1a2＝1a＋1a＝310，
即3a＋3a＝10，∴3a2－10a＋3＝0，解得a＝13（舍去）或a＝3，
综上a＝3.
20.（2024·江苏镇江）已知fx＝a·2x－1－12x+1＋aa>0为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断并用定义法证明函数fx的单调性；
（3）解关于x的不等式0＜fx2－x≤310.
解：（1）由fx是奇函数，则f0＝a2－12+a＝0，解得a＝2，
所以fx＝2x－12x+1+2且定义域为R，
f－x＝2－x－12（2－x+1）＝1－2x2（1+2x）＝－f（x），
综上，a＝2.
（2）fx＝2x－12x+1+2＝2x+1－222x+1＝12－12x+1在R内单调递增，证明如下：
设x1＜x2，而fx1－fx2＝12－12x1+1－12－12x2+1
＝12x2+1－12x1+1＝2x1+1－2x2+12x1＋x2+2＝22x1－2x22x1＋x2+2＝2x1－2x22x1＋x2+1，
而2x1＜2x2，2x1＋x2+1＞0，故fx1－fx2＜0，
即fx1＜fx2，
所以函数fx是单调递增函数.
（3）由fx在R上递增，
令fx＝12·2x－12x+1＝0，解得x＝0，令fx＝310，解得x＝2，
所以原不等式0＜fx2－x≤310等价于f0＜fx2－x≤f2，
所以0＜x2－x≤2，故解集为
{x－1≤x