2025年高考数学一轮复习-第六章-第一节 数列的概念-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第六章-第一节 数列的概念-课时作业【含解析】，共8页。
1.（2024·山东青岛）写出数列1，23，45，87，169，…的一个通项公式an＝（ ）
A.2n2n－1 B.2n－12n－1
C.2n2n+1 D.2n－12n+1
2.（2024·甘肃酒泉）已知数列an的一个通项公式为an＝（－1）n·2n＋a，且a3＝－5，则实数a等于（ ）
A.1 B.3
C.－1 D.－3
3.已知数列an的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，则a3＝（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
4.在各项均为正数的数列{an}中，对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9＝（ ）
A.256 B.510
C.512 D.1 024
5.数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2－2an+1（n∈N*）.若数列{an}是常数列，则a＝（ ）
A.－2 B.－1
C.0 D.（－1）n
6.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an+3，n为奇数，2an+1，n为偶数，则a6＝（ ）
A.16 B.25
C.28 D.33
7.数列{an}满足a1＝－3，an＝an+1－1an+1+1，其前n项积为Tn，则T2 024＝（ ）
A.12 B.1
C.32 D.－3
8.（多选）已知数列{an}的通项公式为an＝9n2－9n+29n2－1（n∈N*），则下列结论正确的是（ ）
A.这个数列的第10项为2731
B.97100是该数列中的项
C.数列中的各项都在区间14，1内
D.数列{an}是单调递减数列
9.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n（n∈N*），则an＝ .
10.（2024·上海）数列an对任意正整数n，满足a1a2…an＝n2，则数列an的通项公式an＝ .
11.已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n（an＋1－an）（n∈N*），则a3＝ ，an＝ .
12.已知数列an满足：an＋1＝2an，an≥a1，an+2，an＜a1n∈N*.若a3＝3，则a1＝ .
[B组 能力提升练]
13.（多选）已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋2）·67n，则下列说法正确的是（ ）
A.数列{an}的最小项是a1
B.数列{an}的最大项是a4
C.数列{an}的最大项是a5
D.当n≥5时，数列{an}递减
14.已知数列an满足a1＝33，an+1－ann＝2，则ann的最小值为（ ）
A.10.5 B.10
C.9 D.8
15.在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，且a1＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝（ ）
A.132 B.299
C.68 D.99
16.在数列{an}中，a1＝1，a＝（n，an），b＝（an＋1，n＋1），且a⊥b，则a100等于（ ）
A.10099 B.－10099
C.100 D.－100
17.（多选）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；第nn∈N*次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2.记an＝1＋x1＋x2＋…＋xk＋2，数列an的前n项和为Sn，则（ ）
A.k＋1＝2n
B.an＋1＝3an－3
C.an＝32n2+3n
D.Sn＝343n+1+2n－3
18.（2024·广东惠州调研）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n（n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝ .
19.已知数列an满足a1＝12，且an＋1＝an3an+1，则数列an＝ .
20.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{an}中，an＝[lg n]，记Sn为数列{an}的前n项和，则a2 024＝ ；S2 024＝ .
2025年高考数学一轮复习-第六章-第一节 数列的概念-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.（2024·山东青岛）写出数列1，23，45，87，169，…的一个通项公式an＝（ ）
A.2n2n－1 B.2n－12n－1
C.2n2n+1 D.2n－12n+1
答案：B
解析：数列1，23，45，87，169，…，
则其分子为2n－1，分母为2n－1，则其通项公式为2n－12n－1.
2.（2024·甘肃酒泉）已知数列an的一个通项公式为an＝（－1）n·2n＋a，且a3＝－5，则实数a等于（ ）
A.1 B.3
C.－1 D.－3
答案：B
解析：因为an＝（－1）n·2n＋a，a3＝－5，
所以－23＋a＝－5，解得a＝3.
3.已知数列an的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，则a3＝（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
答案：B
解析：因为Sn＝n2＋n＋1，所以a3＝S3－S2＝6.
4.在各项均为正数的数列{an}中，对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9＝（ ）
A.256 B.510
C.512 D.1 024
答案：C
解析：由题意可得a6＝a3·a3＝64.∵an＞0，∴a3＝8，
∴a9＝a6·a3＝64×8＝512.
5.数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2－2an+1（n∈N*）.若数列{an}是常数列，则a＝（ ）
A.－2 B.－1
C.0 D.（－1）n
答案：A
解析：因为数列{an}是常数列，所以a＝a2＝a12－2a1+1＝a2－2a+1，即a（a＋1）＝a2－2，得a＝－2.
6.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an+3，n为奇数，2an+1，n为偶数，则a6＝（ ）
A.16 B.25
C.28 D.33
答案：C
解析：由题意得，当n＝1时，a2＝1＋3＝4；当n＝2时，a3＝2×4＋1＝9；当n＝3时，a4＝9＋3＝12；当n＝4时，a5＝2×12＋1＝25；当n＝5时，a6＝25＋3＝28.
7.数列{an}满足a1＝－3，an＝an+1－1an+1+1，其前n项积为Tn，则T2 024＝（ ）
A.12 B.1
C.32 D.－3
答案：B
解析：由an＝an+1－1an＋1+1，得anan＋1＋an＝an＋1－1，即an＋1＝1+an1－an.又a1＝－3，∴a2＝－12，a3＝13，a4＝2，a5＝－3，∴数列{an}是周期数列，周期为4，且a1a2a3a4＝1，∴T2 024＝T4×506＝1.
8.（多选）已知数列{an}的通项公式为an＝9n2－9n+29n2－1（n∈N*），则下列结论正确的是（ ）
A.这个数列的第10项为2731
B.97100是该数列中的项
C.数列中的各项都在区间14，1内
D.数列{an}是单调递减数列
答案：BC
解析：an＝9n2－9n+29n2－1＝（3n－1)(3n－2）（3n－1)(3n+1）
＝3n－23n+1，
令n＝10得a10＝2831，故A错误；
令3n－23n+1＝97100得n＝33∈N*，
故97100是数列中的项，故B正确；
因为an＝3n－23n+1＝3n+1－33n+1＝1－33n+1，
又n∈N*.
所以数列{an}是单调递增数列，
所以14≤an＜1，故C正确，D不正确.
9.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n（n∈N*），则an＝ .
答案：2n
解析：当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，Sn－1＝（n－1）2＋（n－1）＝n2－n，所以an＝Sn－Sn－1＝2n，a1＝2也符合上式，所以an＝2n.
10.（2024·上海）数列an对任意正整数n，满足a1a2…an＝n2，则数列an的通项公式an＝ .
答案：1，n=1，n2n－12，n≥2
解析：当n＝1时，a1＝1；
当n≥2时，由a1a2…an＝n2可得a1a2…an－1＝n－12，
两式作商可得an＝n2n－12，又a1＝12不符合上式，所以an＝1，n=1，n2n－12，n≥2.
11.已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n（an＋1－an）（n∈N*），则a3＝ ，an＝ .
答案：3 n
解析：由an＝n（an＋1－an），可得an+1an＝n+1n，则当n≥2时，an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a2a1·a1＝nn－1×n－1n－2×n－2n－3×…×21×1＝n，∴a3＝3.∵a1＝1满足an＝n，∴an＝n.
12.已知数列an满足：an＋1＝2an，an≥a1，an+2，an＜a1n∈N*.若a3＝3，则a1＝ .
答案：34
解析：由题意，当an＜a1时，an＋1－an＝2，数列{an}为公差d＝2的等差数列，则a3＝a1＋2×2＝3，a1＝－1，此时不满足an＜a1，故不符合题意；当an≥a1时，数列{an}是等比数列，此时公比q＝an+1an＝2，则a3＝a1·22＝3，解得a1＝34，满足an≥a1，所以a1＝34.
[B组 能力提升练]
13.（多选）已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋2）·67n，则下列说法正确的是（ ）
A.数列{an}的最小项是a1
B.数列{an}的最大项是a4
C.数列{an}的最大项是a5
D.当n≥5时，数列{an}递减
答案：BCD
解析：假设第n项为{an}的最大项，则an≥an－1，an≥an+1，
即（n+2）·67n≥（n+1）·67n－1，（n+2）·67n≥（n+3）·67n+1，
所以n≤5，n≥4，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故在数列{an}中，a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝6574，当n≥5时，数列{an}递减.
14.已知数列an满足a1＝33，an+1－ann＝2，则ann的最小值为（ ）
A.10.5 B.10
C.9 D.8
答案：A
解析：由an+1－ann＝2得an＋1－an＝2n，∴an＝a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＋a1＝2＋4＋6＋…＋2（n－1）＋a1＝2（n－1)(1+n－1）2＋33＝n2－n＋33，
∴ann＝n2－n+33n＝n＋33n－1n∈N*.当n∈（0，33）时，ann单调递减；当n∈（33，＋∞）时，ann单调递增.又n∈N*，经验证，n＝6时，ann最小值为10.5.
15.在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，且a1＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝（ ）
A.132 B.299
C.68 D.99
答案：B
解析：因为对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，所以an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，所以an＋3＝an，所以数列{an}是周期数列，且周期为3，故a2＝a98＝4，a3＝a9＝3，a100＝a1＝2，所以S100＝33（a1＋a2＋a3）＋a100＝299.
16.在数列{an}中，a1＝1，a＝（n，an），b＝（an＋1，n＋1），且a⊥b，则a100等于（ ）
A.10099 B.－10099
C.100 D.－100
答案：D
解析：因为a＝（n，an），b＝（an＋1，n＋1），且a⊥b，所以nan＋1＋（n＋1）an＝0，所以an+1an＝－n+1n，所以a2a1＝－21，a3a2＝－32，…，a100a99＝－10099.以上各式左右分别相乘，得a100a1＝－100，因为a1＝1，所以a100＝－100.
17.（多选）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；第nn∈N*次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2.记an＝1＋x1＋x2＋…＋xk＋2，数列an的前n项和为Sn，则（ ）
A.k＋1＝2n
B.an＋1＝3an－3
C.an＝32n2+3n
D.Sn＝343n+1+2n－3
答案：ABD
解析：由a1有3项，a2有5项，a3有9项，a4有17项，…，故an有2n＋1项，所以k＋2＝2n＋1，即k＋1＝2n，故A正确；由a1＝3＋3，a2＝3＋3＋9，a3＝3＋3＋9＋27，a4＝3＋3＋9＋27＋81，…，an＝3＋31＋32＋33＋…＋3n＝3＋31－3n1－3＝3n+1+32，故C错误；由an＝3n+1+32，可得an＋1＝3n+2+32＝3an－3，故B正确；由Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1232＋33＋34＋…＋3n+1＋3n2＝12×91－3n1－3＋3n2＝343n+1+2n－3，故D正确.
18.（2024·广东惠州调研）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n（n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝ .
答案：n·2n－1
解析：an＋1－2an＝2n两边同时除以2n＋1，可得an+12n+1－an2n＝12.又a12＝12，∴数列an2n是以12为首项，12为公差的等差数列，∴an2n＝12＋（n－1）×12＝n2，
∴an＝n·2n－1.
19.已知数列an满足a1＝12，且an＋1＝an3an+1，则数列an＝ .
答案：13n－1
解析：由an＋1＝an3an+1两边取倒数可得1an+1＝1an＋3，即1an+1－1an＝3，所以数列1an是等差数列，且首项为2，公差为3，所以1an＝3n－1，所以an＝13n－1.
20.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{an}中，an＝[lg n]，记Sn为数列{an}的前n项和，则a2 024＝ ；S2 024＝ .
答案：3 4 965
解析：∵an＝[lg n]，
∴当1≤n≤9时，an＝[lg n]＝0；
当10≤n≤99时，an＝[lg n]＝1；
当100≤n≤999时，an＝[lg n]＝2；
当1 000≤n≤9 999时，an＝[lg n]＝3，
∴a2 024＝[lg 2 024]＝3，S2 024＝9×0＋90×1＋900×2＋1 025×3＝4 965.