2025年高考数学一轮复习-第七章-第一节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第七章-第一节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-课时作业【含解析】，共11页。
1.（多选）（2024·四川内江）下列说法中正确的有（ ）
A.正四面体是正三棱锥
B.棱锥的侧面是全等的三角形
C.正三棱锥是正四面体
D.延长棱台所有侧棱，它们会交于一点
2.已知圆锥的表面积为3π，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ）
A.6π B.43π
C.46π D.63π
4.（2024·四川泸州）已知水平放置的△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为1的正三角形，那么△ABC的面积为（ ）
A.62 B.6
C.32 D.3
5.如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高l为6124的圆柱，上、下两端均是半径r为2的半球.若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化（不考虑过程中的原料损失），熔成一个实心球，则该球的直径为（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
6.（2024·山东威海）如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD 为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为（ ）
A.42π2 B.22π2
C.52π2 D.4π2
7.在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ）
A.4π B.（4＋2）π
C.6π D.（5＋2）π
8.（多选）（2024·山东潍坊）已知等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（ ）
A.2π B.（1＋2）π
C.22π D.（2＋2）π
9.（2024·上海）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为8π，则该圆锥的体积等于 .
10.（2024·上海）长、宽、高分别为5，4，3的长方体的外接球的表面积是 .
11.（2023·新高考Ⅱ卷）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 .
12.（2024·福建福州）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F是线段A1B1上的动点，则AF＋FC1的最小值为 .
[B组 能力提升练]
13.（多选）（2023·黑龙江哈尔滨）下列说法中不正确的是（ ）
A.各侧面都是正方形的正四棱柱一定是正方体
B.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
C.任意两条直线都可以确定一个平面
D.空间中三条直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面
14.（2024·浙江绍兴）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A.6π B.8π
C.16π D.20π
15.（多选）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径.记球的表面积为S球，体积为V球；圆柱的表面积为S圆柱，体积为V圆柱，则（ ）
A.S圆柱∶S球＝3∶2 B.V圆柱∶V球＝3∶2
C.S圆柱∶V圆柱＝3∶2 D.S球∶V球＝3∶2
16.（2023·全国乙卷）已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝2π3.若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为（ ）
A.π B.6π
C.3π D.36π
17.（多选）（2024·山东济南）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为3，A，B为底面圆周上两个动点（A与B不重合），则下列说法正确的是（ ）
A.圆锥的体积为π
B.三角形PAB为等腰三角形
C.三角形PAB面积的最大值为3
D.直线PA与圆锥底面所成角的大小为π6
18.（2024·江苏常州）已知四棱台ABCD?A1B1C1D1的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直，若AB＝9，AD＝6，A1B1＝3，棱台的体积为263，则该棱台的表面积是（ ）
A.60 B.163＋127
C.83＋67＋60 D.163＋127＋60
19.（2024·广东佛山）如图，圆台O1O2的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为22，若圆台O1O2的外接球（上下底面圆在同一球面上）的表面积为40π且其球心O在线段O1O2上.则圆台O1O2的体积为 .
20.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，圆锥SO的底面圆是正方形A1B1C1D1的内切圆，顶点S是正方形ABCD的中心，则圆锥SO的体积为 ，侧面积为 .
2025年高考数学一轮复习-第七章-第一节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.（多选）（2024·四川内江）下列说法中正确的有（ ）
A.正四面体是正三棱锥
B.棱锥的侧面是全等的三角形
C.正三棱锥是正四面体
D.延长棱台所有侧棱，它们会交于一点
答案：AD
解析：A选项，正四面体的四个面都是等边三角形，是正三棱锥，A选项正确.B选项，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，B选项错误.C选项，正三棱锥的侧棱长和底面棱长不一定相等，所以正三棱锥不一定是正四面体，C选项错误.D选项，根据棱台的定义可知，延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，D选项正确.
2.已知圆锥的表面积为3π，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：B
解析：设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，所以2πr＝πl，所以l＝2r，
所以πr2＋πrl＝3πr2＝3π，解得r＝1，所以该圆锥的底面直径为2r＝2.
3.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ）
A.6π B.43π
C.46π D.63π
答案：B
解析：球半径r＝1+（2）2＝3，所以球的体积为43π×（3）3＝43π.
4.（2024·四川泸州）已知水平放置的△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为1的正三角形，那么△ABC的面积为（ ）
A.62 B.6
C.32 D.3
答案：A
解析：由题意可知，直观图△A'B'C'的面积S△A'B'C'＝12×1×1×32＝34，
所以△ABC的面积S△ABC＝22S△A'B'C'＝62.
5.如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高l为6124的圆柱，上、下两端均是半径r为2的半球.若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化（不考虑过程中的原料损失），熔成一个实心球，则该球的直径为（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
答案：C
解析：设实心球的半径为R，原实心金属几何体的体积V＝43πr3＋πr2l＝43π×8＋π×4×6124＝1256π.因为43πR3＝1256π，所以R＝52，所以该球的直径为2R＝5.
6.（2024·山东威海）如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD 为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为（ ）
A.42π2 B.22π2
C.52π2 D.4π2
答案：A
解析：沿AD将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A，C两点间的距离，连接AC（图略），则AC＝3π，展开后AB的长度为π.设圆柱的高为h，则AC2＝AB2＋h2，即9π2＝π2＋h2，得h＝22π，所以圆柱的侧面积为2×π×1×22π＝42π2.
7.在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ）
A.4π B.（4＋2）π
C.6π D.（5＋2）π
答案：D
解析：∵在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝（5＋2）π.
8.（多选）（2024·山东潍坊）已知等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（ ）
A.2π B.（1＋2）π
C.22π D.（2＋2）π
答案：AB
解析：若以直角边所在直线为旋转轴，得到一个底面半径为1、高为1的圆锥，其表面积为π×12＋π×1×2＝（1＋2）π；若以斜边所在直线为旋转轴，得到两个底面半径为22、高为22的圆锥所形成的组合体，其表面积为2×π×22×1＝2π.
9.（2024·上海）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为8π，则该圆锥的体积等于 .
答案：833π
解析：设圆锥的底面半径为R，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以母线长为2R，高为3R，侧面积S＝12·2πR·2R＝8π，解得R＝2，
所以该圆锥的体积等于V＝13·π·22·23＝833π.
10.（2024·上海）长、宽、高分别为5，4，3的长方体的外接球的表面积是 .
答案：50π
解析：由题意可知，长方体的外接球的半径R＝1252＋42＋32＝522，
所以外接球的表面积是4πR2＝50π.
11.（2023·新高考Ⅱ卷）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 .
答案：28
解析：棱台的两底面边长分别为2与4，高为3（由上、下底面边长可知棱台的高与截去的棱锥的高相等），所以棱台的体积V＝13×（22＋42＋22×42）×3＝28.
12.（2024·福建福州）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F是线段A1B1上的动点，则AF＋FC1的最小值为 .
答案：6＋2
解析：将正三棱柱ABC－A1B1C1（如图1）中的△A1B1C1沿A1B1翻折至平面ABB1A1上，如图2所示，
在图2中，连接AC1，则AF＋FC1≥AC1.
因为AA1＝A1C1＝2，
且∠AA1C1＝90°＋60°＝150°，
所以AC1＝2AA1·sin∠AA1C12＝2×2sin 75°
＝4sin（30°＋45°）＝4×（sin 30°×cs 45°＋cs 30°×sin 45°）＝6＋2，所以当A，F，C1共线时，AF＋FC1取得最小值，为6＋2.
[B组 能力提升练]
13.（多选）（2023·黑龙江哈尔滨）下列说法中不正确的是（ ）
A.各侧面都是正方形的正四棱柱一定是正方体
B.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
C.任意两条直线都可以确定一个平面
D.空间中三条直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面
答案：BCD
解析：对于A，因为正四棱柱的底面是正方形，
而该正四棱柱的各侧面都是正方形，所以它是正方体，故A正确；
对于B，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和圆台，故B错误；
对于C，两条异面直线无法确定一个平面，故C错误；
对于D，当a，c是异面直线，b同时与a，c相交时，
满足a与b共面，b与c共面，但此时a，c不共面，故D错误.
14.（2024·浙江绍兴）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A.6π B.8π
C.16π D.20π
答案：D
解析：由正六棱柱的性质可得O为其外接球的球心（如图）， OO'＝1.
由于底面为正六边形，所以△ABO'为等边三角形，故AO'＝2，
所以AO＝AO'2＋OO'2＝22＋12＝5，
所以AO为外接球的半径，故外接球表面积为4π·52＝20π.
15.（多选）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径.记球的表面积为S球，体积为V球；圆柱的表面积为S圆柱，体积为V圆柱，则（ ）
A.S圆柱∶S球＝3∶2 B.V圆柱∶V球＝3∶2
C.S圆柱∶V圆柱＝3∶2 D.S球∶V球＝3∶2
答案：AB
解析：设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，
则S球＝4πR2，V球＝43πR3，S圆柱＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，
所以S圆柱∶S球＝6πR2∶4πR2＝3∶2，故A正确；
V圆柱∶V球＝2πR3∶43πR3＝3∶2，故B正确；
S圆柱∶V圆柱＝6πR2∶2πR3＝3∶R，故C错误；
S球∶V球＝4πR2∶43πR3＝3∶R，故D错误.
16.（2023·全国乙卷）已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝2π3.若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为（ ）
A.π B.6π
C.3π D.36π
答案：B
解析：设圆锥的母线长为l，底面半径长为r，则r＝3.在△AOB中，由∠AOB＝120°，OA＝OB＝3，得AB＝3.
S△PAB＝12AB·l2－AB22＝12×3×l2－94＝934，所以l＝3，则圆锥的高h＝l2－r2＝9－3＝6，故V圆锥＝13S底·h＝13π（3）2×6＝6π.
17.（多选）（2024·山东济南）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为3，A，B为底面圆周上两个动点（A与B不重合），则下列说法正确的是（ ）
A.圆锥的体积为π
B.三角形PAB为等腰三角形
C.三角形PAB面积的最大值为3
D.直线PA与圆锥底面所成角的大小为π6
答案：ABD
解析：如图所示，点O为点P在圆锥底面上的射影，连接OA，OB.PO＝22−(3）2＝1，圆锥的体积V＝13×π×（3）2×1＝π，A正确；PA＝PB＝2，B正确；易知直线PA与圆锥底面所成的角为∠PAO＝π6，D正确；取AB的中点C，连接PC，设∠PAC＝θ，则θ∈π6，π2，S△PAB＝2sin θ·2cs θ＝2sin 2θ，当θ＝π4时，△PAB面积取得最大值2，C错误.
18.（2024·江苏常州）已知四棱台ABCD?A1B1C1D1的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直，若AB＝9，AD＝6，A1B1＝3，棱台的体积为263，则该棱台的表面积是（ ）
A.60 B.163＋127
C.83＋67＋60 D.163＋127＋60
答案：D
解析：设棱台的上底面A1B1C1D1的面积为S1，下底面ABCD的面积为S2，
因为棱台的上下底面相似且AB＝9，AD＝6，A1B1＝3，所以A1D1＝2，
S1＝3×2＝6，S2＝9×6＝54.
设棱台的高为h，
则V＝136+54+6×54h＝263，所以h＝3.
因为上下底面中心的连线与底面垂直，所以OO1＝h，且四棱台的四条侧棱长相等.
因为AC＝36+81＝313，A1C1＝13AC＝13，
侧棱AA1＝ AC－A1C122＋ℎ2＝4，
则等腰梯形ABB1A1的高h1＝AA12－AB－A1B122＝7，
SABB1A1＝12×3+9×7＝67＝SCDD1C1，等腰梯形ADD1A1的高h2＝AA12－AD－A1D122＝23，
所以SADD1A1＝12×6+2×23＝83＝SBCC1B1，
所以该四棱台的表面积为S＝S1＋S2＋2SABB1A1＋2SADD1A1＝60＋127＋163.
19.（2024·广东佛山）如图，圆台O1O2的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为22，若圆台O1O2的外接球（上下底面圆在同一球面上）的表面积为40π且其球心O在线段O1O2上.则圆台O1O2的体积为 .
答案：142π
解析：设圆台O1O2的高为h，球心O到圆台上底面的距离为a，球O的半径为R，
因为球O的表面积为40π，所以4πR2＝40π，解得R＝10.
又因为球O的球心在圆台O1O2的轴O1O2上，可得a2+2=R2，ℎ－a2+8=R2，解得h＝32，
所以圆台的体积为V＝
132π+8π＋2π×8π×32＝142π.
20.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，圆锥SO的底面圆是正方形A1B1C1D1的内切圆，顶点S是正方形ABCD的中心，则圆锥SO的体积为 ，侧面积为 .
答案：π12 54π
解析：由题意知圆锥SO的高为1，底面半径为12，则母线长为 1+14＝52，所以圆锥SO的体积为π3×122×1＝π12，侧面积为π×12×52＝54π.