2025年高考数学一轮复习-第三章-第一节 导数的概念及其意义、导数的运算-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第三章-第一节 导数的概念及其意义、导数的运算-课时作业【含解析】，共12页。
1.（多选）（2024·河南安阳）下列求导运算正确的是（ ）
A.x＋1x'＝1－1x2
B.e2x'＝e2x
C.lg2x'＝1xln2
D.csxx'＝xsinx＋csxx2
2.（2024·深圳检测）曲线y＝（x3－3x）·ln x在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A.2x＋y－2＝0B.x＋2y－1＝0
C.x＋y－1＝0D.4x＋y－4＝0
3.（2024·河北保定）已知函数f（x）＝e2x＋f'（1）x2，则f'（1）＝（ ）
A.－2e2B.2e2
C.e2D.－e2
4.（2024·河北衡水）曲线y＝x－x3在横坐标为1的点处的切线为l，则点M（1，2）到直线l的距离为（ ）
A.255B.55
C.25D.45
5.函数f（x）＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，2]B.（－∞，2）
C.（2，＋∞）D.（0，＋∞）
6.（2024·陕西咸阳）已知函数fx＝ln x＋x，过原点作曲线y＝fx的切线l，则切点P的坐标为（ ）
A.1，1B.e，e+1
C.1e，1e－1D.e2，e2+2
7.（多选）（2024·辽宁沈阳）已知函数fx＝3x＋f'－1·x2＋1，f'x为fx的导函数，则（ ）
A.f'－1＝1
B.f'1＝－5
C.fx在0，＋∞上单调递减
D.f1＝3
8.（多选）已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，则下列结论正确的是（ ）
A.l斜率最小时的切点坐标为23，53
B.l斜率最小时的切点坐标为2，53
C.切线l的倾斜角α的取值范围为0，π2∪3π4，π
D.l斜率的取值范围为k≤1
9.（2024·江西景德镇）函数fx＝1－x1+x＋ln x在x＝1处的切线方程为 .
10.（2024·浙江绍兴）过点－23，0作曲线y＝x3的切线，写出一条切线方程： .
11.（2024·辽宁大连期末）已知曲线y＝x＋1kln x在点（1，1）处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则k＝ .
12.已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3－ln x，则曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线的斜率为 .
[B组 能力提升练]
13.已知函数f（x）＝x3－x和点P（1，－1），则过点P且与该函数图象相切的直线的条数为（ ）
A.1B.2
C.3D.4
14.（2024·广东揭阳）已知曲线y＝x3＋2ax2＋x＋b在点1，0处的切线的倾斜角为3π4，则a＋b＝（ ）
A.－34B.－54
C.－2D.－114
15.已知函数fx＝ax3＋bx2＋cx＋d，且满足f2x－1＝－f1－2x，f1＝2，f'0＝－2，则f－2＝（ ）
A.28B.－28
C.203D.－203
16.（2024·四川成都）若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小值为（ ）
A.22B.2
C.22D.42
17.（多选）已知函数f（x）＝x3＋x－16，则错误的结论是（ ）
A.曲线y＝f（x）在点（2，－6）处的切线方程为13x－y－19＝0
B.直线l为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，则直线l的方程为x－y＝0
C.直线l为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，则直线l的方程为x－y＝0或13x－y＝0
D.如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，则切点的横坐标为±1
18.（多选）已知函数f（x）＝ax3＋3x2－6ax－11，g（x）＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f'（－1）＝0，则下列结论正确的是（ ）
A.直线m不恒过定点
B.a＝－2
C.若直线m是曲线y＝g（x）的切线，则m的方程为y＝9或y＝12x＋9
D.若直线m既是曲线y＝f（x）的切线，又是曲线y＝g（x）的切线，则m的方程为y＝12x＋9
19.（2024·安徽宣城）若曲线y＝aln x＋x2（a＞0）的切线的倾斜角的取值范围是π3，π2，则a＝ .
20.（2024·海南海口）过x轴上一点P（t，0）作曲线C：y＝（x＋3）ex的切线，若这样的切线不存在，则整数t的一个可能值为 .
2025年高考数学一轮复习-第三章-第一节 导数的概念及其意义、导数的运算-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.（多选）（2024·河南安阳）下列求导运算正确的是（ ）
A.x＋1x'＝1－1x2
B.e2x'＝e2x
C.lg2x'＝1xln2
D.csxx'＝xsinx＋csxx2
答案：AC
解析：对于选项A，因为x＋1x'＝1－1x2，故A正确；
对于选项B，因为e2x'＝e2x·（2x）'＝2e2x，故B错误；
对于选项C，因为lg2x'＝1xln2，故C正确；
对于选项D，因为csxx'＝x－sinx－csxx2＝－xsinx＋csxx2，故D错误.
2.（2024·深圳检测）曲线y＝（x3－3x）·ln x在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A.2x＋y－2＝0B.x＋2y－1＝0
C.x＋y－1＝0D.4x＋y－4＝0
答案：A
解析：由y'＝（3x2－3）·ln x＋1x·（x3－3x），得所求切线斜率k＝y'｜x＝1＝－2，故所求切线方程为y＝－2（x－1），即2x＋y－2＝0.
3.（2024·河北保定）已知函数f（x）＝e2x＋f'（1）x2，则f'（1）＝（ ）
A.－2e2B.2e2
C.e2D.－e2
答案：A
解析：由f（x）＝e2x＋f'（1）x2，
得f'（x）＝2e2x＋2f'（1）x，
令x＝1，得f'（1）＝2e2＋2f'（1），
所以f'（1）＝－2e2.
4.（2024·河北衡水）曲线y＝x－x3在横坐标为1的点处的切线为l，则点M（1，2）到直线l的距离为（ ）
A.255B.55
C.25D.45
答案：A
解析：y'＝1－3x2，则切线l的斜率k＝y'｜x＝1＝－2.又易知切点为（1，0），所以切线l的方程为2x＋y－2＝0，则点M（1，2）到直线l的距离为25＝255.
5.函数f（x）＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，2]B.（－∞，2）
C.（2，＋∞）D.（0，＋∞）
答案：B
解析：函数f（x）＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f'（x）＝1x＋a＝2在（0，＋∞）上有解，即a＝2－1x.
因为x＞0，所以2－1x＜2，所以a的取值范围是（－∞，2）.
6.（2024·陕西咸阳）已知函数fx＝ln x＋x，过原点作曲线y＝fx的切线l，则切点P的坐标为（ ）
A.1，1B.e，e+1
C.1e，1e－1D.e2，e2+2
答案：B
解析：由题意可知f'x＝1x＋1，
设切点为Px0，ln x0＋x0，则切线方程为y＝1x0+1x－x0＋ln x0＋x0.
因为切线过原点，所以0＝1x0+1－x0＋ln x0＋x0＝ln x0－1，
解得x0＝e，则Pe，e+1.
7.（多选）（2024·辽宁沈阳）已知函数fx＝3x＋f'－1·x2＋1，f'x为fx的导函数，则（ ）
A.f'－1＝1
B.f'1＝－5
C.fx在0，＋∞上单调递减
D.f1＝3
答案：BCD
解析：因为f'x＝－3x2＋2f'－1·x，
所以f'－1＝－3－2f'－1，
解得f'－1＝－1，
则fx＝3x－x2＋1，f'x＝－3x2－2x，
易知fx在0，＋∞上单调递减，f'1＝－5，f1＝3，故A错误，B，C，D正确.
8.（多选）已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，则下列结论正确的是（ ）
A.l斜率最小时的切点坐标为23，53
B.l斜率最小时的切点坐标为2，53
C.切线l的倾斜角α的取值范围为0，π2∪3π4，π
D.l斜率的取值范围为k≤1
答案：BC
解析：∵y'＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，
∴当x＝2时，y'min＝－1，此时y＝53，
∴斜率最小时的切点坐标为2，53，最小斜率k＝－1，
∴A错误， B正确.
由k≥－1，得tan α≥－1.
又∵α∈[0，π），∴α∈0，π2∪3π4，π，
故α的取值范围为0，π2∪3π4，π，∴C正确，D错误.
9.（2024·江西景德镇）函数fx＝1－x1+x＋ln x在x＝1处的切线方程为 .
答案：y＝12x－12
解析：由题意知，f（1）＝0，则切点为（1，0），
f'（x）＝－2（x+1）2＋1x＝x2+1x（x+1）2（x＞0），
所以切线的斜率为f'1＝12，
故函数在x＝1处的切线方程为y－0＝12x－1，即y＝12x－12.
10.（2024·浙江绍兴）过点－23，0作曲线y＝x3的切线，写出一条切线方程： .
答案：y＝0或y＝3x＋2（写出一条即可）
解析：由y＝x3可得y'＝3x2，
设过点－23，0作曲线y＝x3的切线的切点为（x0，y0），则y0＝x03，
所以切线方程为y－y0＝3x02（x－x0），
将－23，0代入得－x03＝3x02－23－x0，解得x0＝0或x0＝－1，
所以切点坐标为（0，0）或（－1，－1），
故切线方程为y＝0或y＝3x＋2.
11.（2024·辽宁大连期末）已知曲线y＝x＋1kln x在点（1，1）处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则k＝ .
答案：1
解析：易知点（1，1）在曲线y＝x＋1kln x上.
令f（x）＝x＋1kln x，则f'（x）＝1＋1kx，
所以f'（1）＝1＋1k.又该切线与直线x＋2y＝0垂直，所以1＋1k＝2，解得k＝1.
12.已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3－ln x，则曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线的斜率为 .
答案：2
解析：因为当x＞0时，f（x）＝x3－ln x，所以当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝－x3－ln（－x）.因为函数f（x）为奇函数，所以f（x）＝－f（－x）＝x3＋ln（－x），则f'（x）＝3x2＋1x，所以f'（－1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线的斜率为2.
[B组 能力提升练]
13.已知函数f（x）＝x3－x和点P（1，－1），则过点P且与该函数图象相切的直线的条数为（ ）
A.1B.2
C.3D.4
答案：B
解析：因为f（1）＝13－1＝0，所以点P（1，－1）没有在函数f（x）的图象上.设切点坐标为（x0，y0），则y0＝x03－x0，f'（x0）＝3x02－1.由导数的几何意义可知，切线的斜率为k＝3x02－1，又k＝y0+1x0－1，所以y0＝x03－x0，y0+1x0－1=3x02－1，化简可得x02（2x0－3）＝0，解得x0＝0或x0＝32，所以切点有两个，因而有两条切线.
14.（2024·广东揭阳）已知曲线y＝x3＋2ax2＋x＋b在点1，0处的切线的倾斜角为3π4，则a＋b＝（ ）
A.－34B.－54
C.－2D.－114
答案：A
解析：f'x＝3x2＋4ax＋1，由题意可知，切线的斜率k＝tan3π4＝－1，则
f（1）=2+2a＋b=0，f'(1）=3+4a+1=－1，解得a＝－54，b＝12，
所以a＋b＝－34.
15.已知函数fx＝ax3＋bx2＋cx＋d，且满足f2x－1＝－f1－2x，f1＝2，f'0＝－2，则f－2＝（ ）
A.28B.－28
C.203D.－203
答案：B
解析：由f2x－1＝－f1－2x，知函数fx为奇函数，
又fx的定义域为R，所以f0＝0，得d＝0.
由f－1＝－f1得b＝0，所以fx＝ax3＋cx，f'x＝3ax2＋c，
由f1＝2，f'0＝－2，得a＋c=2，c＝－2，得a=4，c＝－2，所以fx＝4x3－2x，
于是f－2＝4×－23－2×－2＝－28.
16.（2024·四川成都）若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小值为（ ）
A.22B.2
C.22D.42
答案：C
解析：过点P作曲线y＝ln x－x2的切线（图略），当切线与直线l：x＋y－4＝0平行时，点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小.
设切点为P（x0，y0）（x0＞0），y'＝1x－2x，
所以，切线斜率为k＝1x0－2x0.
由题知1x0－2x0＝－1得x0＝1或 x0＝－12（舍），
所以，P（1，－1），此时点P到直线l：x＋y－4＝0距离d＝｜1－1－4｜2＝22.
17.（多选）已知函数f（x）＝x3＋x－16，则错误的结论是（ ）
A.曲线y＝f（x）在点（2，－6）处的切线方程为13x－y－19＝0
B.直线l为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，则直线l的方程为x－y＝0
C.直线l为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，则直线l的方程为x－y＝0或13x－y＝0
D.如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，则切点的横坐标为±1
答案：ABC
解析：因为f'（x）＝（x3＋x－16）'＝3x2＋1，又点（2，－6）在曲线y＝f（x）上，
所以f（x）在点（2，－6）处的切线的斜率为f'（2）＝13，
所以切线方程为y＋6＝13（x－2），即y＝13x－32，所以A错误；
对于B，C，设切点坐标为（x0，y0），则直线l的斜率为f'（x0）＝3x02＋1，
所以直线l的方程为y＝（3x02＋1）（x－x0）＋x03＋x0－16.
因为直线l过原点，所以0＝（3x02＋1）（0－x0）＋x03＋x0－16，
整理得，x03＝－8，所以x0＝－2，所以y0＝（－2）3＋（－2）－16＝－26，
f'（x0）＝3×（－2）2＋1＝13，所以直线l的方程为y＝13x，所以B，C错误.
对于D，因为切线与直线y＝－14x＋3垂直，所以切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为（x0，y0），则f'（x0）＝3x02＋1＝4，
所以x0＝±1，所以D正确.
18.（多选）已知函数f（x）＝ax3＋3x2－6ax－11，g（x）＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f'（－1）＝0，则下列结论正确的是（ ）
A.直线m不恒过定点
B.a＝－2
C.若直线m是曲线y＝g（x）的切线，则m的方程为y＝9或y＝12x＋9
D.若直线m既是曲线y＝f（x）的切线，又是曲线y＝g（x）的切线，则m的方程为y＝12x＋9
答案：BC
解析：由已知得，直线m恒过定点（0，9），所以A错误；
由已知得f'（x）＝3ax2＋6x－6a.
因为f'（－1）＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2，所以B正确；
若直线m是曲线y＝g（x）的切线，则设切点为（x0，3x02＋6x0＋12）.
因为g'（x0）＝6x0＋6，所以切线方程为y－（3x02＋6x0＋12）＝（6x0＋6）（x－x0），
将（0，9）代入切线方程，解得x0＝±1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9，所以C正确；
由a＝－2知，f（x）＝－2x3＋3x2＋12x－11，
①由f'（x）＝0得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1处，y＝f（x）的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f（x）的切线方程为y＝9，
所以y＝f（x）与y＝g（x）的公切线是y＝9.
②由f'（x）＝12得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f（x）的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f（x）的切线方程为y＝12x－10，
所以y＝f（x）与y＝g（x）的公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，y＝f（x）与y＝g（x）的公切线是y＝9，所以D错误.
19.（2024·安徽宣城）若曲线y＝aln x＋x2（a＞0）的切线的倾斜角的取值范围是π3，π2，则a＝ .
答案：38
解析：因为y＝aln x＋x2（a＞0），所以y'＝ax＋2x≥22a.因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是π3，π2，所以斜率k≥3，所以3＝22a，所以a＝38.
20.（2024·海南海口）过x轴上一点P（t，0）作曲线C：y＝（x＋3）ex的切线，若这样的切线不存在，则整数t的一个可能值为 .
答案：－4，－5，－6（只需写出一个答案即可）
解析：设切点为（x0，（x0＋3）ex0），因为y'＝（x＋4）ex，所以切线方程为y－（x0＋3）ex0＝（x0＋4）ex0（x－x0）.
因为切线l经过点P，所以－（x0＋3）ex0＝（x0＋4）ex0（t－x0），
由题意关于x0的方程x02－（t－3）x0－4t－3＝0没有实数解，
则Δ＝（t－3）2＋4（4t＋3）＜0，解得－7＜t＜－3.
因为t为整数，所以t的取值可能是－6，－5，－4.