2025年高考数学一轮复习-7.5-空间向量与线、面位置关系【课件】

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1. 了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间 向量的正交分解及其坐标表示.2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及 其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3. 理解直线的方向向量与平面的法向量，能用向量语言表述直线与直 线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系.4. 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
必备知识 系统梳理 基础重落实
1. 已知空间向量 a ＝（1，1，0）， b ＝（0，－1，4），则｜ a ＋ b ｜ ＝（　　）
3. 在空间直角坐标系中， a ＝（1，2，1）为直线 l 的一个方向向量， n ＝（2， t ，4）为平面α的一个法向量，且 l ∥α，则 t ＝（　　）
解析：　因为 l ∥α，所以 a ＝（1，2，1）与 n ＝（2， t ，4）垂 直，故 a · n ＝（1，2，1）·（2， t ，4）＝2＋2 t ＋4＝0，解得 t ＝ －3，故选C.
精选考点 典例研析 技法重悟通
练后悟通空间向量线性运算中的三个关键点
共线、共面向量定理的应用
（2）判断点 M 是否在平面 ABC 内.
解题技法证明三点共线和空间四点共面的方法比较
1. 若 A （－1，2，3）， B （2，1，4）， C （ m ， n ，1）三点共线， 则 m ＋ n ＝ ⁠.
　如图所示，四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中，底面为平行四边形，以顶 点 A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
（1）求 AC 1的长；
（2）求 BD 1与 AC 夹角的余弦值.
利用空间向量证明平行、垂直
【例3】　如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， AD ⊥ AB ， AB ∥ DC ， AD ＝ DC ＝ AP ＝2， AB ＝1，点 E 为棱 PC 的中点.证明：
（1） BE ⊥ DC ；
证明：依题意，以点 A 为原点建立空间直角 坐标系（如图），可得 B （1，0，0）， C （2，2，0）， D （0，2，0）， P （0，0，2）.由 E 为棱 PC 的中点，得 E （1，1，1）.
（2） BE ∥平面 PAD ；
（3）平面 PCD ⊥平面 PAD .
解题技法利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤
（1） A 1 B 1⊥平面 AA 1 C ；
（2） AB 1∥平面 A 1 C 1 C .
关键能力 分层施练 素养重提升
1. 直线 l 的一个方向向量为（2，1，1），平面α的一个法向量为（4， 2，2），则（　　）
解析：　直线 l 的一个方向向量为（2，1，1），平面α的一个法向 量为（4，2，2），显然它们共线，所以 l ⊥α.故选B.
2. 已知 a ＝（2，1，－3）， b ＝（－1，2，3）， c ＝（7，6，λ）， 若 a ， b ， c 三向量共面，则λ＝（　　）
6. （多选）已知空间中三点 A （0，1，0）， B （2，2，0）， C （－ 1，3，1），则下列结论正确的有（　　）
8. 如图所示，在直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中， CA ＝ CB ＝1，∠ BCA ＝ 90°，棱 AA 1＝2， M ， N 分别是 A 1 B 1， A 1 A 的中点.
（3）求证： A 1 B ⊥ C 1 M .
11. （多选）如图，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， AA 1＝3，点 M ， N 分别在棱 AB 和 BB 1上运动（不含端点）.若 D 1 M ⊥ MN ，则下列 命题正确的是（　　）
12. 如图，圆锥的轴截面 SAB 是边长为2的等边三角形， O 为底面中 心， M 为 SO 的中点，动点 P 在圆锥底面内（包括圆周）.若 AM ⊥ MP ，则点 P 在圆锥底面上形成的轨迹的长度为 ⁠.
14. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PD ⊥底面 ABCD ，底面 ABCD 为正 方形， PD ＝ DC ， E ， F 分别是 AB ， PB 的中点.（1）求证： EF ⊥ CD ；
（2）在平面 PAD 内求一点 G ，使 GF ⊥平面 PCB ，并证明你 的结论.
16. 如图，棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的所有棱长都等于2，∠ ABC 和∠ A 1 AC 均为60°，平面 AA 1 C 1 C ⊥平面 ABCD .
（1）求证： BD ⊥ AA 1；
（2）在直线 CC 1上是否存在点 P ，使 BP ∥平面 DA 1 C 1？若存 在，求出点 P 的位置；若不存在，请说明理由.