2025年高考数学一轮复习-第十一章-第四节 列联表与独立性检验-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第十一章-第四节 列联表与独立性检验-课时作业【含解析】，共14页。

1.下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）
A.独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B.独立性检验可以100％确定两个变量之间是否具有某种关系
C.利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病
D.对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
2.为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据：
下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：
根据表中数据，计算χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），若由此认为“该药物预防流感有效果”，则该结论出错的概率不超过（ ）
B.0.1

3.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：
计算可知有 的把握认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”（ ）
附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），n＝a＋b＋c＋d.
A.95％ B.99％
C.99.5％ D.99.9％
4.（2024·山东菏泽）足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的56，女性喜爱足球的人数占女性人数的13.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有 （ ）
χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d）
A.10人 B.11人
C.12人 D.13人
5.为考察某种营养品对儿童身高增长的影响，选取部分儿童进行试验，根据100个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表，由表可知下列说法正确的是（ ）
参考公式：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
A.a＝b＝30
B.χ2≈12.667
C.从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是35
D.有99.9％的把握认为该营养品对儿童身高增长有影响
6.（多选）（2024·山东济宁）某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：
经计算χ2≈4.762，则可以推断出（ ）
A.该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为35
B.该学校男生比女生更经常锻炼
C.有95％的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
D.有99％的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
7.一项研究同年龄段的男、女生的注意力差别的脑功能实验，其实验数据如表所示：
则χ2≈ （精确到小数点后三位），在犯错误的概率不超过0.05的前提下，该实验 （填“拒绝”或“支持”）该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异.
8.某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个.根据统计结果，我们有 的把握认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”.
附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d；
9.（2024·湖南娄底）某中学团委在高二年级（其中男生150名，女生150名）中，对是否喜欢观看该世界杯进行了问卷调查，各班男生喜欢观看的人数统计分别为6，7，8，8，6，5，14，14，12，10，各班女生喜欢观看的人数统计分别为4，4，4，5，5，6，7，7，8，10.
（1）根据题意补全2×2列联表.
（2）依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关？
参考数据：
χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），n＝a＋b＋c＋d.
[B组 能力提升练]
10.某中学调查了高一年级学生的选科倾向，随机抽取300人，其中选考物理的有220人，选考历史的有80人，统计各选科人数如表，则下列说法正确的是（ ）
A.物理类的学生中选择政治的比例比历史类的学生中选择政治的比例高
B.物理类的学生中选择地理的比例比历史类的学生中选择地理的比例高
C.没有95％的把握认为选择生物与选考类别有关
D.有90％的把握认为选择生物与选考类别有关
11.针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的45，女生中喜欢航天的人数占女生人数的35，若依据α＝0.05Pχ2≥3.841≥0.05的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（ ）
A.25 B.45
C.60 D.75
12.（2024·山东青岛）某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，下表是该商场连续五天的日销售情况：
其中i＝1，2，3，…，温度变量xi对应的销售量为yi.
（1）建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在[24，25）（xi＝6）区间时的该饮品的日销售量.
附：b＝∑i=1nxiyi－nx·y∑i=1nxi2－nx2，a＝y－bx.
（2）为了了解消费群体中男、女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了2×2列联表为：
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为对饮品的喜欢程度与性别有关联？
附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），n＝a＋b＋c＋d.
（3）超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成[10，30），[30，50），[50，70），[70，90），[90，110）（单位：百份）五组，并绘制了如图所示的频率分布直方图.
根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量.
2025年高考数学一轮复习-第十一章-第四节 列联表与独立性检验-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）
A.独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B.独立性检验可以100％确定两个变量之间是否具有某种关系
C.利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病
D.对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
答案：D
解析：对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，
并非检验二者是不是线性相关，故错误；
对于B，独立性检验并不能100％确定两个变量相关，故错误；
对于C，99％是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非抽烟人中患肺病的发病率，故错误；
对于D，根据卡方计算的定义可知该选项正确.
2.为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据：
下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：
根据表中数据，计算χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），若由此认为“该药物预防流感有效果”，则该结论出错的概率不超过（ ）
B.0.1

答案：A
解析：由题意知，χ2＝40×（2×12－8×18）210×30×20×20＝4.8，
由临界值表可知，认为“该药物预防流感有效果”，则该结论出错的概率不超过0.05.
3.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：
计算可知有 的把握认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”（ ）
附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），n＝a＋b＋c＋d.
A.95％ B.99％
C.99.5％ D.99.9％
答案：A
解析：完善2×2列联表如下：
提出零假设H0：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”.
因为χ2＝100×（10×30－40×20）230×70×50×50≈4.762＞3.841＝x0.05，
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
所以我们有95％的把握认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”.
4.（2024·山东菏泽）足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的56，女性喜爱足球的人数占女性人数的13.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有 （ ）
χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d）
A.10人 B.11人
C.12人 D.13人
答案：C
解析：设被调查的男性为x人，则女性为2x人，依据题意可得列联表如下表：
χ2＝3x5x6·4x3－2x3·x623x2·3x2·x·2x＝2x3，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，所以有
χ2≥7.879，即2x3≥7.879，
解得x≥11.818 5，又因为上述列联表中的所有数字均为整数，故x的最小值为12.
5.为考察某种营养品对儿童身高增长的影响，选取部分儿童进行试验，根据100个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表，由表可知下列说法正确的是（ ）
参考公式：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
A.a＝b＝30
B.χ2≈12.667
C.从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是35
D.有99.9％的把握认为该营养品对儿童身高增长有影响
答案：D
解析：由题可知a＝50－10＝40，b＝50－30＝20，所以A错误；
χ2＝100×（40×30－10×20）250×50×60×40≈16.667＞10.828＝x0.001，
所以我们有99.9％的把握认为该营养品对儿童身高增长有影响，所以B错误，D正确；
从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是40100＝25，所以C错误.
6.（多选）（2024·山东济宁）某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：
经计算χ2≈4.762，则可以推断出（ ）
A.该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为35
B.该学校男生比女生更经常锻炼
C.有95％的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
D.有99％的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
答案：BC
解析：对选项A：该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为4050＝45，错误；
对选项B：经常体育锻炼的概率的估计值男生为4050＝45，女生为3050＝35，正确；
对选项C：χ2≈4.762＞3.841，故有95％的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，正确；
对选项D：χ2≈4.762＜6.635，故没有99％的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，错误.
7.一项研究同年龄段的男、女生的注意力差别的脑功能实验，其实验数据如表所示：
则χ2≈ （精确到小数点后三位），在犯错误的概率不超过0.05的前提下，该实验 （填“拒绝”或“支持”）该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异.
答案：0.538 支持
解析：由表中数据可知a＝29，b＝7，c＝33，d＝5，n＝a＋b＋c＋d＝74，计算可知χ2＝
74×（145－231）2（29+33）×（33+5）×（7+5）×（29+7）≈
0.538＜3.841，
所以没有充分证据认为学生在注意力的稳定性上与性别有关，
即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异.
8.某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个.根据统计结果，我们有 的把握认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”.
附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d；
答案：97.5％
解析：由题意可得列联表如下，
χ2＝105×（45×20－10×30）255×50×75×30≈6.109＞5.024＝x0.025.
所以我们有97.5％的把握认为能否一次考试通过与是否集中培训有关.
9.（2024·湖南娄底）某中学团委在高二年级（其中男生150名，女生150名）中，对是否喜欢观看该世界杯进行了问卷调查，各班男生喜欢观看的人数统计分别为6，7，8，8，6，5，14，14，12，10，各班女生喜欢观看的人数统计分别为4，4，4，5，5，6，7，7，8，10.
（1）根据题意补全2×2列联表.
（2）依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关？
参考数据：
χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），n＝a＋b＋c＋d.
解：（1）由题设，喜欢观看的男生有6＋7＋8＋8＋6＋5＋14＋14＋12＋10＝90（人），故不喜欢观看的男生有150－90＝60（人）；
喜欢观看的女生有4＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋7＋8＋10＝60（人），故不喜欢观看的女生有150－60＝90（人）.
列联表如下图示：
（2）提出零假设H0：该校学生喜欢看世界杯与性别无关.
由χ2＝300×（90×90－60×60）2150×150×150×150＝12＞10.828＝x0.001，
所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关.
[B组 能力提升练]
10.某中学调查了高一年级学生的选科倾向，随机抽取300人，其中选考物理的有220人，选考历史的有80人，统计各选科人数如表，则下列说法正确的是（ ）
A.物理类的学生中选择政治的比例比历史类的学生中选择政治的比例高
B.物理类的学生中选择地理的比例比历史类的学生中选择地理的比例高
C.没有95％的把握认为选择生物与选考类别有关
D.有90％的把握认为选择生物与选考类别有关
答案：C
解析：对于A，物理类的学生中选择政治的比例为80220＝411，
历史类的学生中选择政治的比例为5080＝58，
因为411＜58，故选项A不正确；
对于B，物理类的学生中选择地理的比例为
100220＝511，
历史类的学生中选择地理的比例为4580＝916，
因为511＜916，故选项B不正确；
对于C和D，提出零假设H0：选择生物与选考类别无关.
根据已知数据可得2×2列联表如表：
所以χ2＝300×（115×45－105×35）2150×150×80×220＝7544≈1.705＜2.706＝x0.1，
依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，所以没有90％以上的把握认为选择生物与选考类别是否有关，故选项C正确，选项D不正确.
11.针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的45，女生中喜欢航天的人数占女生人数的35，若依据α＝0.05Pχ2≥3.841≥0.05的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（ ）
A.25 B.45
C.60 D.75
答案：A
解析：依题意，设男生的人数为5nn∈N*，根据题意列出2×2列联表如下所示：
提出零假设H0：是否喜欢航天与学生性别无关.
则χ2＝10n×（4n×2n－3n×n）25n×5n×7n×3n＝10n21，
∵依据α＝0.05的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，
∴χ2≥3.841，即10n21≥3.841，得n≥8.066 1，
∴5n≥40.330 5，又n∈N*，∴结合选项知B，C，D都可以.
12.（2024·山东青岛）某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，下表是该商场连续五天的日销售情况：
其中i＝1，2，3，…，温度变量xi对应的销售量为yi.
（1）建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在[24，25）（xi＝6）区间时的该饮品的日销售量.
附：b＝∑i=1nxiyi－nx·y∑i=1nxi2－nx2，a＝y－bx.
（2）为了了解消费群体中男、女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了2×2列联表为：
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为对饮品的喜欢程度与性别有关联？
附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），n＝a＋b＋c＋d.
（3）超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成[10，30），[30，50），[50，70），[70，90），[90，110）（单位：百份）五组，并绘制了如图所示的频率分布直方图.
根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量.
解：（1）x＝15（1＋2＋3＋4＋5）＝3，y＝15（0.3＋0.3＋0.5＋0.9＋1）＝0.6，
∑i=15xiyi－5x y＝1×0.3＋2×0.3＋3×0.5＋4×0.9＋5×1－5×3×0.6＝2，
∑i=15xi2－5x2＝（1＋4＋9＋16＋25）－5×9＝10，
所以b＝∑i=1nxiyi－nx·y∑i=1nxi2－nx2＝0.2，a＝0.6－0.2×3＝0，
销售量关于温度变量的线性回归方程为y＝0.2x，
当x＝6，y＝1.2，
所以温度在[24，25）区间时的该饮品的日销售量估计为1.2万份.
（2）提出零假设H0：对饮品的喜欢程度与性别无关.
χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d）
＝220×（3 600－1 400）2110×110×60×160≈9.17＞6.635＝x0.01.所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为对饮品的喜欢程度与性别有关.
（3）设100天的日均销售量为x，
则x＝（20×0.005＋40×0.01＋60×0.015＋80×0.012 5＋100×0.007 5）×20＝63，
这100天的日均销售量约为6 300份.
药物
流感
患流感
未患流感
服用
2
18
未服用
8
12
x
0.1
0.05
0.01
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
疫苗
病毒
合计
被感染
未感染
注射
10
50
未注射
30
50
合计
30
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828
营养品
身高
合计
有明显增长
无明显增长
食用
a
10
50
未食用
b
30
50
合计
60
40
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
锻炼
经常锻炼
不经常锻炼
男
40
10
女
30
20
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
性别
注意力
稳定
不稳定
男生
29
7
女生
33
5
α
0.05
0.025
0.010
0.001
xα
3.841
5.024
6.635
10.828
性别
世界杯
合计
喜欢观看
不喜欢观看
男生
150
女生
150
合计
300
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
选择科目
选考类别
思想政治
地理
化学
生物
物理类
80
100
145
115
历史类
50
45
30
35
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
温度/℃
[19，20）
[20，21）
[21，22）
[22，23）
[23，24]
温度变量xi
1
2
3
4
5
销售量yi/万份
0.3
0.3
0.5
0.9
1
喜欢
一般
合计
女
90
20
110
男
70
40
110
合计
160
60
220
α
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
药物
流感
患流感
未患流感
服用
2
18
未服用
8
12
x
0.1
0.05
0.01
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
疫苗
病毒
合计
被感染
未感染
注射
10
50
未注射
30
50
合计
30
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
疫苗
病毒
合计
感染
未感染
注射疫苗
10
40
50
未注射疫苗
20
30
50
合计
30
70
100
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828
足球
性别
合计
男性
女性
喜爱
5x6
2x3
3x2
不喜爱
x6
4x3
3x2
合计
x
2x
3x
营养品
身高
合计
有明显增长
无明显增长
食用
a
10
50
未食用
b
30
50
合计
60
40
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
锻炼
经常锻炼
不经常锻炼
男
40
10
女
30
20
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
性别
注意力
稳定
不稳定
男生
29
7
女生
33
5
α
0.05
0.025
0.010
0.001
xα
3.841
5.024
6.635
10.828
大密度集中培训
周末分散培训
合计
一次考过
45
30
75
一次未考过
10
20
30
合计
55
50
105
性别
世界杯
合计
喜欢观看
不喜欢观看
男生
150
女生
150
合计
300
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
世界杯
合计
喜欢观看
不喜欢观看
男生
90
60
150
女生
60
90
150
合计
150
150
300
选择科目
选考类别
思想政治
地理
化学
生物
物理类
80
100
145
115
历史类
50
45
30
35
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
选生物
不选生物
合计
物理类
115
105
220
历史类
35
45
80
合计
150
150
300
男生
女生
合计
喜欢航天
4n
3n
7n
不喜欢航天
n
2n
3n
合计
5n
5n
10n
温度/℃
[19，20）
[20，21）
[21，22）
[22，23）
[23，24]
温度变量xi
1
2
3
4
5
销售量yi/万份
0.3
0.3
0.5
0.9
1
喜欢
一般
合计
女
90
20
110
男
70
40
110
合计
160
60
220
α
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828