2025年高考数学一轮复习-第十章-第九节 正态分布-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第十章-第九节 正态分布-课时作业【含解析】，共10页。
1.已知随机变量X服从正态分布N（a，4），且P（X＞1）＝0.5，P（X＞2）＝0.3，则P（X＜0）＝（ ）
A.0.2 B.0.3
C.0.7 D.0.8
2.（2024·福建福州）某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（80，σ2），且P（75＜X≤80）＝0.1.该市某校有350人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于85分的人数为（ ）
A.140 B.105
C.70 D.35
3.（2024·江苏南京）新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100 km）情况，随机调查得到了1 200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N（13，σ2），若P（12＜ξ＜14）＝0.7，则样本中耗电量不小于14 kW·h/100 km的汽车大约有（ ）
A.180辆 B.360辆
C.600辆 D.840辆
4.在某次数学测试中，学生成绩X服从正态分布N（100，σ2）（σ＞0）.若X在（80，120）内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（ ）


5.（2024·江苏镇江）南沿江高铁即将开通，某小区居民前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布N（50，100）；路线②骑共享单车到地铁站，乘地铁前往，路程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（60，16）.该小区的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲、乙选择的路线分别为（ ）
A.①、① B.①、②
C.②、① D.②、②
6.（多选）（2024·江苏南京）已知随机变量X的概率密度函数为φ（x）＝12πae－（x－b）22a2（a＞0，b＞0），且φ（x）的极大值点为x＝2a，记f（k）＝P（X＜k），g（k）＝P（X＞k＋a），则（ ）
A.X～N（b，a）
B.X～N（2a，a2）
C.f（a）＝g（2a）
D.f（2a）＋g（2a）＝f（a）＋g（a）
7.（2024·重庆）已知随机变量X服从正态分布N2，σ2，且P（2＜X＜2.5）＝0.36，则PX>2.5＝ .
8.（2024·江苏徐州）随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），随机变量η服从标准正态分布N（0，1），若P（η＜1）＝P（ξ＜4）＝a，则P（1＜ξ＜1＋σ）＝ .（用字母a表示）
9.（2024·河北秦皇岛）在某市高三的一次考试中，学生的数学成绩X服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），若P（X＜120）＝0.75，则P（90≤X≤120）＝ .
10.某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：mm）进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N（65，4.84）.
（1）当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73 mm，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
（2）如果钢管的直径X满足60.6 mm～69.4 mm之间为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望.
（参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.683；P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954；P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997）
[B组 能力提升练]
11.（多选）（2024·江苏淮安）若随机变量X的对数服从正态分布，则称X服从对数正态分布.已知一批零件共2 000只，零件的使用小时数Y的对数ln Y～N294，164，则（ ）
（e7.125＝1 242，e7.5＝1 808，若X～N（μ，σ2），则P（｜X－μ｜＜σ）＝0.682 6，P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 5）
A.P（7.375≤ln Y＜7.5）＝0.271 9
B.P（Y≤1 242）＝0.158 7
C.使用小时数不少于1 808的零件约91只
D.使用小时数落在区间（1 242，1 808）内的零件约1 635只
12.（多选）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X（单位：cm）服从正态分布，其密度曲线函数为f（x）＝1102πe－（x－100）2200，x∈（－∞，＋∞），则下列说法正确的是（ ）
A.该地水稻的平均株高为100 cm
B.该地水稻株高的方差为10
C.随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大
D.随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：cm）的概率一样大
13.若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），P（μ－σ≤X≤μ＋σ）＝0.682 7，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）＝0.954 5，设X～N（1，σ2），且P（X＞3）＝0.158 65，在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋y2＝σ2上有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是 .
14.（2024·江苏扬州）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：
（1）求实数m的值，并用组中值估计这100个购物群销售凤梨总量的平均数（盒）.
（2）假设所有购物群销售凤梨的数量X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为（1）中的平均数，σ2＝12 100.若该凤梨基地参与销售的购物群约有1 000个，销售凤梨的数量在[266，596）（单位：盒）内的群为“一级群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”.该凤梨基地对每个“优质群”奖励1 000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该凤梨基地大约需要准备多少资金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若X服从正态分布X～N（μ，σ2），则P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈0.683，P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）≈0.954，
P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）≈0.997.
2025年高考数学一轮复习-第十章-第九节 正态分布-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.已知随机变量X服从正态分布N（a，4），且P（X＞1）＝0.5，P（X＞2）＝0.3，则P（X＜0）＝（ ）
A.0.2 B.0.3
C.0.7 D.0.8
答案：B
解析：因为随机变量X服从正态分布N（a，4），所以曲线关于x＝a对称，且P（X＞a）＝0.5.由P（X＞1）＝0.5，可知a＝1，所以P（X＜0）＝P（X＞2）＝0.3.
2.（2024·福建福州）某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（80，σ2），且P（75＜X≤80）＝0.1.该市某校有350人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于85分的人数为（ ）
A.140 B.105
C.70 D.35
答案：A
解析：因为X近似服从正态分布N（80，σ2），所以P（80＜X≤85）＝P（75＜X≤80）＝0.1，即有P（X≥85）＝0.5－0.1＝0.4，故该校数学成绩不低于85分的人数为350×0.4＝140.
3.（2024·江苏南京）新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100 km）情况，随机调查得到了1 200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N（13，σ2），若P（12＜ξ＜14）＝0.7，则样本中耗电量不小于14 kW·h/100 km的汽车大约有（ ）
A.180辆 B.360辆
C.600辆 D.840辆
答案：A
解析：因为ξ～N（13，σ2），且P（12＜ξ＜14）＝0.7，
所以P（ξ≥14）＝12×[1－P（12＜ξ＜14）]＝12×（1－0.7）＝0.15，
所以样本中耗电量不小于14 kW·h/100 km的汽车大约1 200×0.15＝180（辆）.
4.在某次数学测试中，学生成绩X服从正态分布N（100，σ2）（σ＞0）.若X在（80，120）内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（ ）


答案：C
解析：∵X服从正态分布N（100，σ2），∴正态曲线的对称轴是直线X＝100.
∵X在（80，120）内的概率为0.6，∴X在（80，100）内的概率为0.3，
∴X在（0，80）内的概率为0.5－0.3＝0.2.
故任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率P＝C21×0.2×（1－0.2）＝0.32.
5.（2024·江苏镇江）南沿江高铁即将开通，某小区居民前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布N（50，100）；路线②骑共享单车到地铁站，乘地铁前往，路程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（60，16）.该小区的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲、乙选择的路线分别为（ ）
A.①、① B.①、②
C.②、① D.②、②
答案：C
解析：由正态分布的区间概率知P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.683，
P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954，
令路线①所需时间X1～N（μ1，σ1），路线②所需时间X2～N（μ2，σ2）
对于甲：有70分钟可走，
走第一条路线：故P（X1≤70）＝P（X1≤μ1＋2σ1）≈1－1－0.9542＝0.977，
走第二条路线：则P（X2≤68）＝P（X2≤μ2＋2σ2）≈1－1－0.9542＝0.977，
所以P（X2≤70）＞P（X2≤68），所以应选择路线②；
对于乙：有64分钟可走，
走第二条路线：P（X2≤64）＝P（X2≤μ2＋σ2）≈1－1－0.6832＝0.841 5
走第一条路线：则P（X1≤60）＝P（X1≤μ1＋σ1）≈1－1－0.6832＝0.841 5，
所以P（X1≤60）＜P（X1≤64），所以选择路线①.
6.（多选）（2024·江苏南京）已知随机变量X的概率密度函数为φ（x）＝12πae－（x－b）22a2（a＞0，b＞0），且φ（x）的极大值点为x＝2a，记f（k）＝P（X＜k），g（k）＝P（X＞k＋a），则（ ）
A.X～N（b，a）
B.X～N（2a，a2）
C.f（a）＝g（2a）
D.f（2a）＋g（2a）＝f（a）＋g（a）
答案：BCD
解析：对于A项，根据已知可得，μ＝b，σ＝a.
因为φ（x）的极大值点为x＝2a，所以有b＝2a，所以X～N（2a，a2），故A项错误；
对于B项，由A分析可知，X～N（2a，a2），故B项正确；
对于C项，由A分析可知，μ＝2a.
又f（a）＝P（X＜a），g（2a）＝P（X＞2a＋a）＝P（X＞3a），
根据正态分布的对称性，可知P（X＜a）＝P（X＞3a），所以f（a）＝g（2a），故C正确；
对于D项，因为μ＝2a，所以f（2a）＝P（X＜2a）＝12，g（a）＝P（X＞2a）＝12，
所以f（2a）＋g（2a）＝12＋f（a）＝f（a）＋g（a），故D项正确.
7.（2024·重庆）已知随机变量X服从正态分布N2，σ2，且P（2＜X＜2.5）＝0.36，则PX>2.5＝ .
答案：0.14
解析：依题意，X～N2，σ2，
所以PX>2.5＝0.5－P（2＜X＜2.5）＝0.5－0.36＝0.14.
8.（2024·江苏徐州）随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），随机变量η服从标准正态分布N（0，1），若P（η＜1）＝P（ξ＜4）＝a，则P（1＜ξ＜1＋σ）＝ .（用字母a表示）
答案：a－12
解析：随机变量η服从标准正态分布N（0，1），根据对称性可知P（η＜0）＝12，
因为P（η＜1）＝a，所以P（0＜η＜1）＝a－12，即P（μ＜η＜μ＋σ）＝a－12，
随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），根据对称性可知p（ξ＜1）＝12，
P（ξ＜4）＝a，则P（1＜ξ＜4）＝a－12，即P（1＜η＜1＋σ）＝a－12.
9.（2024·河北秦皇岛）在某市高三的一次考试中，学生的数学成绩X服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），若P（X＜120）＝0.75，则P（90≤X≤120）＝ .
答案：0.5
解析：因为X～N（105，σ2），
且P（X＜120）＝0.75，
所以P（105≤X≤120）＝0.25，
所以P（90≤X≤105）＝0.25，
所以P（90≤X≤120）＝0.5.
10.某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：mm）进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N（65，4.84）.
（1）当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73 mm，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
（2）如果钢管的直径X满足60.6 mm～69.4 mm之间为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望.
（参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.683；P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954；P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997）
解：（1）因为μ＝65，σ＝2.2，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6，而73∈（μ＋3σ，＋∞），所以P（X＞71.6）＝1－P（58.4≤X≤71.6）2＝1－0.9972＝0.001 5.此事件为小概率事件，所以该质检员的决定有道理.
（2）因为μ＝65，σ＝2.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4，
由题意可知钢管直径满足μ－2σ≤X≤μ＋2σ为合格品，所以该批钢管为合格品的概率约为0.95.
所以在60根钢管中，合格品约57根，次品约3根，任意挑选3根，则次品数Y的可能取值为0，1，2，3.
P（Y＝0）＝C30C573C603，P（Y＝1）＝C31C572C603，P（Y＝2）＝C32C571C603，P（Y＝3）＝C33C570C603.
则次品数Y的分布列为
所以E（Y）＝0×C30C573C603＋1×C31C572C603＋2×C32C571C603＋3×C33C570C603＝0.15.
[B组 能力提升练]
11.（多选）（2024·江苏淮安）若随机变量X的对数服从正态分布，则称X服从对数正态分布.已知一批零件共2 000只，零件的使用小时数Y的对数ln Y～N294，164，则（ ）
（e7.125＝1 242，e7.5＝1 808，若X～N（μ，σ2），则P（｜X－μ｜＜σ）＝0.682 6，P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 5）
A.P（7.375≤ln Y＜7.5）＝0.271 9
B.P（Y≤1 242）＝0.158 7
C.使用小时数不少于1 808的零件约91只
D.使用小时数落在区间（1 242，1 808）内的零件约1 635只
答案：BD
解析：因为ln Y～N294，164，所以μ＝7.25，σ＝0.125，
因为P（｜X－μ｜＜σ）＝0.682 6，P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 5，
所以P（7.375≤ln Y＜7.5）＝12×（0.954 5－0.682 6）＝0.135 95，所以A错误；
因为e7.125＝1 242，P（｜X－μ｜＜σ）＝0.682 6，
所以P（Y≤1 242）＝P（ln Y≤7.125）＝12×（1－0.682 6）＝0.158 7，所以B正确；
因为e7.5＝1 808，P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 5，
所以P（Y≥1 808）＝P（ln Y≥7.5）＝12×（1－0.954 5）＝0.022 75，
所以使用小时数不少于1 808的零件约0.022 75×2 000≈45（只），所以C错误；
因为P（1 242＜Y＜1 808）＝P（7.125＜ln Y＜7.5）＝0.682 6＋12×（0.954 5－0.682 6）＝0.817 55，
所以使用小时数落在区间（1 242，1 808）内的零件约0.817 55×2 000≈1 635（只），所以D正确.
12.（多选）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X（单位：cm）服从正态分布，其密度曲线函数为f（x）＝1102πe－（x－100）2200，x∈（－∞，＋∞），则下列说法正确的是（ ）
A.该地水稻的平均株高为100 cm
B.该地水稻株高的方差为10
C.随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大
D.随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：cm）的概率一样大
答案：AC
解析：f（x）＝1102πe－（x－100）2200，故μ＝100，σ2＝100，故A正确，B错误；P（X＞120）＝P（X＜80）＞P（X＜70），故C正确；根据正态分布的对称性知P（100＜X＜110）＝P（90＜X＜100）＞P（80＜X＜90），故D错误.
13.若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），P（μ－σ≤X≤μ＋σ）＝0.682 7，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）＝0.954 5，设X～N（1，σ2），且P（X＞3）＝0.158 65，在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋y2＝σ2上有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是 .
答案：（－13，13）
解析：因为X～N（1，σ2），所以μ＝1，所以P（X＞3）＝P（X＜－1）＝12[1－P（－1≤X≤3）].因为P（X＞3）＝0.158 65，所以P（－1≤X≤3）＝0.682 7，所以1－σ＝－1，1＋σ＝3，所以σ＝2，由题意知，只需圆心（0，0）到直线12x－5y＋c＝0的距离d满足0≤d＜1即可.
因为d＝｜c｜122＋52＝｜c｜13，所以0≤｜c｜13＜1，
所以0≤｜c｜＜13，
所以－13＜c＜13，所以c的取值范围是（－13，13）.
14.（2024·江苏扬州）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：
（1）求实数m的值，并用组中值估计这100个购物群销售凤梨总量的平均数（盒）.
（2）假设所有购物群销售凤梨的数量X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为（1）中的平均数，σ2＝12 100.若该凤梨基地参与销售的购物群约有1 000个，销售凤梨的数量在[266，596）（单位：盒）内的群为“一级群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”.该凤梨基地对每个“优质群”奖励1 000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该凤梨基地大约需要准备多少资金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若X服从正态分布X～N（μ，σ2），则P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈0.683，P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）≈0.954，
P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）≈0.997.
解：（1）由题意得：12＋2m＋20＋32＝100，解得m＝18.
故平均数为1100×（150×12＋250×18＋350×20＋450×32＋550×18）＝376.
（2）由题意，μ＝376，σ＝110，
且266＝376－110＝μ－σ，596＝376＋220＝μ＋2σ，
故P（X＞596）＝P（X＞μ＋2σ）≈12×（1－0.954）＝0.023，
所以“优质群”约有1 000×0.023＝23（个），
P（266≤X＜596）＝P（μ－σ＜X＜μ＋2σ）≈12×0.683＋12×0.954＝0.818 5，
所以“一级群”约有1 000×0.818 5＝818.5≈819（个）；
所以需要资金为23×1 000＋819×200＝186 800，
故至少需要准备186 800元.
凤梨数量（盒）
[100，200）
[200，300）
[300，400）
[400，500）
[500，600]
购物群数量（个）
12
m
20
32
m
Y
0
1
2
3
P
C30C573C603
C31C572C603
C32C571C603
C33C570C603
凤梨数量（盒）
[100，200）
[200，300）
[300，400）
[400，500）
[500，600]
购物群数量（个）
12
m
20
32
m