2025年高考数学一轮复习-第十章-第六节 条件概率与全概率公式-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第十章-第六节 条件概率与全概率公式-课时作业【含解析】，共10页。
1.（2024·江苏连云港）若随机事件P（A）＝13，P（B）＝12，P（AB）＝112，则P（A｜B）＝（ ）
A.29 B.23 C.14 D.16
2.一次考试中，某班级数学成绩不及格的学生占20％，数学成绩和物理成绩都不及格的学生占15％.已知该班级某学生数学成绩不及格，则该学生物理成绩也不及格的概率为（ ）
B.0.2
C.0.3
3.已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）
A.1127 B.1124 C.827 D.924
4.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6.若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ）
B.0.6

5.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P（A｜B）等于（ ）
A.14 B.34 C.29 D.59
6.（2024·山东枣庄）已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（ ）
A.310 B.35 C.12 D.14
7.（多选）某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答.设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A.PA＝35 B.PAB＝310
C.PBA＝12 D.PBA＝12
8.某医生一周（7天）晚上值2次班，在已知他周二晚上一定值班的条件下，他在周三晚上值班的概率为 .
9.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为 .
10.现有一副不含大小王的52张扑克牌，每次从中随机抽出一张扑克牌，抽出的牌不再放回，则第1次抽到A牌，第2次也抽到A牌的概率是 .
11.（2024·河北衡水）某病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是A传B，B传C，C又传D等，这就是“持续人传人”，而A，B，C分别被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者.若小明参加宴会，仅和感染的10人中的一人接触，则感染的概率为 .
[B组 能力提升练]
12.每场足球比赛的时间为90分钟.若比赛过程中体力消耗过大，则运动员腿部会发生抽筋现象，无法继续投入比赛之中.某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20％，比赛结束前20分钟抽筋的概率为50％.若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛，那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为（ ）
A.45 B.310 C.58 D.25
13.（2024·广东广州）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军.若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A.13 B.25 C.23 D.45
14.甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为23，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同.则甲获得冠军的概率为（ ）
A.827 B.1627 C.3281 D.4081
15.（多选）四张外观相同的奖券让甲、乙、丙、丁四人各随机抽取一张，其中只有一张奖券可以中奖，则（ ）
A.四人中奖概率与抽取顺序无关
B.在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为23
C.事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥
D.事件甲中奖与事件乙中奖相互独立
16.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为25％，那么他答对题目的概率为（ ）
C.0.5
17.银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.则任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为 ；如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为 .
18.开元通宝是我国唐代的一种货币，向开元通宝上任意投掷一粒芝麻，第一次投进方空的概率约为0.5，在第一次投到开元通宝上的条件下第二次也投进方空的概率约为0.3，则这样连续两次都可把芝麻投进方空的概率是 .
19.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为 .
20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P（B｜A）P（B｜A）与P（B｜A）P（B｜A）的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
（1）证明：R＝P（A｜B）P（A｜B）·P（A｜B）P（A｜B）；
（2）利用该调查数据，给出P（A｜B），P（A｜B）的估计值，并利用①的结果给出R的估计值.
2025年高考数学一轮复习-第十章-第六节 条件概率与全概率公式-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.（2024·江苏连云港）若随机事件P（A）＝13，P（B）＝12，P（AB）＝112，则P（A｜B）＝（ ）
A.29 B.23 C.14 D.16
答案：D
解析：P（A｜B）＝PABPB＝112×2＝16.
2.一次考试中，某班级数学成绩不及格的学生占20％，数学成绩和物理成绩都不及格的学生占15％.已知该班级某学生数学成绩不及格，则该学生物理成绩也不及格的概率为（ ）
B.0.2
C.0.3
答案：D
解析：设事件A表示该班级数学成绩不及格的学生，事件B表示该班级物理成绩不及格的学生，则P（A）＝0.2，P（AB）＝0.15，∴已知该班某学生数学成绩不及格，则该学生物理成绩也不及格的概率为P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝0.150.2＝0.75.
3.已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）
A.1127 B.1124 C.827 D.924
答案：C
解析：设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.
由题意，P（A）＝42+4＝23，P（B｜A）＝3+18+1＝49，
所以P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝49×23＝827，
所以两次都取到红球的概率为827.
4.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6.若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ）
B.0.6

答案：A
解析：记事件A表示该元件使用寿命超过1年，事件B表示该元件使用寿命超过2年，则P（A）＝0.8，P（AB）＝0.6，
因此，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝0.60.8＝0.75.
5.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P（A｜B）等于（ ）
A.14 B.34 C.29 D.59
答案：C
解析：由已知得P（B）＝3344＝27256，
P（AB）＝A3344＝3128，
所以P（A｜B）＝P（AB）P（B）＝29.
6.（2024·山东枣庄）已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（ ）
A.310 B.35 C.12 D.14
答案：C
解析：设事件A表示第一次取出次品，事件B表示第二次取出次品，P（A）＝35，P（AB）＝35×24＝310，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝31035＝12.
7.（多选）某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答.设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A.PA＝35 B.PAB＝310
C.PBA＝12 D.PBA＝12
答案：ABC
8.某医生一周（7天）晚上值2次班，在已知他周二晚上一定值班的条件下，他在周三晚上值班的概率为 .
答案：16
解析：设事件A为“周二晚上值班”，事件B为“周三晚上值班”，
则P（A）＝C61C72＝27，P（AB）＝1C72＝121，故P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝16.
9.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为 .
答案：13
10.现有一副不含大小王的52张扑克牌，每次从中随机抽出一张扑克牌，抽出的牌不再放回，则第1次抽到A牌，第2次也抽到A牌的概率是 .
答案：1221
解析：52张扑克牌中有4张A牌，记A1表示第1次抽到A牌，A2表示第2次抽到A牌.易得P（A1）＝452＝113，若第1次抽到A牌，则剩下的51张牌中有3张A牌，则P（A2｜A1）＝351＝117，从而第1次抽到A牌，第2次也抽到A牌的概率是P（A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＝113×117＝1221.
11.（2024·河北衡水）某病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是A传B，B传C，C又传D等，这就是“持续人传人”，而A，B，C分别被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者.若小明参加宴会，仅和感染的10人中的一人接触，则感染的概率为 .
答案：0.915
解析：设事件A，B，C分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则由题意得P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，P（C）＝0.2，P（D｜A）＝0.95，P（D｜B）＝0.9，P（D｜C）＝0.85，
则P（D）＝P（D｜A）P（A）＋P（D｜B）P（B）＋P（D｜C）·P（C）＝0.95×0.5＋0.9×0.3＋0.85×0.2＝0.915.
[B组 能力提升练]
12.每场足球比赛的时间为90分钟.若比赛过程中体力消耗过大，则运动员腿部会发生抽筋现象，无法继续投入比赛之中.某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20％，比赛结束前20分钟抽筋的概率为50％.若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛，那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为（ ）
A.45 B.310 C.58 D.25
答案：C
解析：设事件A表示该足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B表示该足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，
则P（A）＝0.8，P（AB）＝0.5，
所以他能顺利完成90分钟比赛的概率为P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝0.50.8＝58.
13.（2024·广东广州）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军.若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A.13 B.25 C.23 D.45
答案：B
解析：设A表示甲获得冠军，B表示冠军产生时恰好进行了三局比赛，则A包括“第一局甲赢、第二局甲赢”“第一局甲赢、第二局乙赢、第三局甲赢”“第一局乙赢、第二局甲赢、第三局甲赢”，则P（A）＝23×23＋23×13×23＋13×23×23＝2027，
AB包括“第一局甲赢、第二局乙赢、第三局甲赢”“第一局乙赢、第二局甲赢、第三局甲赢”，则P（AB）＝23×13×23＋13×23×23＝827，P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝8272027＝25.
14.甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为23，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同.则甲获得冠军的概率为（ ）
A.827 B.1627 C.3281 D.4081
答案：D
解析：甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，
故甲获得冠军的概率为233＋2×233×13＝4081.
15.（多选）四张外观相同的奖券让甲、乙、丙、丁四人各随机抽取一张，其中只有一张奖券可以中奖，则（ ）
A.四人中奖概率与抽取顺序无关
B.在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为23
C.事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥
D.事件甲中奖与事件乙中奖相互独立
答案：ABC
解析：对于A，根据题意，每个人中奖的概率都为14，与抽奖的顺序无关，故A正确；对于B，记“甲未中奖”为事件A，“乙或丙中奖”为事件B，
则P（A）＝34，P（AB）＝P（B）＝14＋14＝12，
∴在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝1234＝23，故B正确；对于C，事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖不可能同时发生，故它们互斥，故C正确；对于D，设“甲中奖”为事件M，“乙中奖”为事件N，则P（M）＝P（N）＝14，由于只有一张奖券可以中奖，故事件M，N不可能同时发生，故P（MN）＝0，因为P（MN）≠P（M）·P（N），所以M，N不相互独立，故D不正确.
16.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为25％，那么他答对题目的概率为（ ）
C.0.5
答案：A
解析：记事件A为“该考生答对题目”，事件B1为“该考生知道正确答案”，事件B2为“该考生不知道正确答案”，
则P（A）＝P（A｜B1）·P（B1）＋P（A｜B2）·P（B2）＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.
17.银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.则任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为 ；如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为 .
答案：15 25
解析：设Ai为“第i次按对密码”（i＝1，2），则事件A“不超过2次就按对密码”可表示为A＝A1∪A1A2.
事件A1与事件A1A2互斥，由互斥事件的概率加法公式和乘法公式，得
P（A）＝P（A1）＋P（A1A2）＝P（A1）＋P（A1）P（A2｜A1）＝110＋910×19＝15.
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为15.
设B为“密码的最后1位是偶数”，则由条件概率的性质可得P（A｜B）＝P（A1｜B）＋P（A1A2｜B）＝15＋4×15×4＝25.
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为25.
18.开元通宝是我国唐代的一种货币，向开元通宝上任意投掷一粒芝麻，第一次投进方空的概率约为0.5，在第一次投到开元通宝上的条件下第二次也投进方空的概率约为0.3，则这样连续两次都可把芝麻投进方空的概率是 .
答案：0.15
解析：设Ai表示第i次把芝麻投进方空，i＝1，2，则由已知可得P（A1）＝0.5，P（A2｜A1）＝0.3，
因此由乘法公式可得P（A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＝0.5×0.3＝0.15，
即连续两次都可把芝麻投进方空的概率是0.15.
19.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为 .
答案：712
解析：设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.P（B1）＝C52C82＝514，P（B2）C51C31C82＝1528，P（B3）＝C32C82＝328，P（A｜B1）＝23，P（A｜B2）＝59，P（A｜B3）＝49，由全概率公式，得P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜B3）＝514×23＋1528×59＋328×49＝712.
20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P（B｜A）P（B｜A）与P（B｜A）P（B｜A）的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
（1）证明：R＝P（A｜B）P（A｜B）·P（A｜B）P（A｜B）；
（2）利用该调查数据，给出P（A｜B），P（A｜B）的估计值，并利用①的结果给出R的估计值.
（1）证明：R＝P（B｜A）P（B｜A）P（B｜A）P（B｜A）＝P（B｜A）P（B｜A）·P（B｜A）P（B｜A），
由题意知，证明P（B｜A）P（B｜A）·P（B｜A）P（B｜A）＝P（A｜B）P（A｜B）·P（A｜B）P（A｜B）即可，
左边＝P（AB）P（A）P（AB）P（A）·P（A B）P（A）P（AB）P（A）＝P（AB）P（AB）·P（A B）P（AB），
右边＝P（AB）P（B）P（AB）P（B）·P（A B）P（B）P（AB）P（B）＝P（AB）P（AB）·P（A B）P（AB）.
左边＝右边，故R＝P（A｜B）P（A｜B）·P（A｜B）P（A｜B）.
（2）解：由调查数据可知P（A｜B）＝40100＝25，P（A｜B）＝10100＝110，
且P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝35，P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝910，所以R＝2535×910110＝6.
组别
是否良好
合计
不够良好
良好
病例组
40
60
100
对照组
10
90
100
合计
50
150
200
组别
是否良好
合计
不够良好
良好
病例组
40
60
100
对照组
10
90
100
合计
50
150
200