2025年高考数学一轮复习-第十章-第一节 两个基本计数原理-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第十章-第一节 两个基本计数原理-课时作业【含解析】，共10页。
1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有（ ）
A.4种 B.10种
C.18种 D.20种
2.（2024·广东汕头）电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ）
A.2563 B.27
C.2553 D.6
3.（2024·山西太原）现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值有（ ）
A.3种 B.6种
C.7种 D.8种
4.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时，需要将数字1，2，3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有（ ）
A.12种 B.24种
C.72种 D.216种
5.（多选）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A.共有43种不同的安排方法
B.若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C.若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种
D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
6.如图，a省分别与b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案种数为（ ）
A.480 B.600
C.720 D.840
7.（2024·安徽宿州）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数为（ ）
A.12 B.24
C.36 D.48
8.（2024·福建南平）甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同
[B组 能力提升练]
9.（多选）（2024·山东潍坊）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（ ）
A.选1人为负责人的选法种数为30
B.每组选1名组长的选法种数为3 024
C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335
D.若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种
10.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数是（ ）
A.48 B.54
C.72 D.108
11.几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则这九根树枝从高到低不同的顺序共有（ ）
A.23种 B.24种
C.32种 D.33种
12.（2024·河北保定）算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表所示：
用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，知“＝｜”表示的三位数为 ；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为 .
13.（2024·湖南怀化）世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强（各组的前2名小组出线），这16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为 .
14.若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时，各位均不进位（例如：134＋3 802＝3 936），则称（m，n）为“简单的”有序数对，m＋n为有序数对（m，n）的值，那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是 .
2025年高考数学一轮复习-第十章-第一节 两个基本计数原理-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有（ ）
A.4种 B.10种
C.18种 D.20种
答案：B
解析：赠送1本画册，3本集邮册，需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法.赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法.由分类计数原理可知，不同的赠送方法共有4＋6＝10（种）.
2.（2024·广东汕头）电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ）
A.2563 B.27
C.2553 D.6
答案：A
解析：分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256＝2563种颜色.
3.（2024·山西太原）现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值有（ ）
A.3种 B.6种
C.7种 D.8种
答案：C
解析：由题意得，
三种币值取一张，共有3种取法，币值分别为拾圆、贰拾圆、伍拾圆；
三种币值取两张，共有3种取法，币值分别为叁拾圆、陆拾圆、柒拾圆；
三种币值全取，共有1种取法，币值为捌拾圆.
一共可以组成的币值有3＋3＋1＝7（种）.
4.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时，需要将数字1，2，3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有（ ）
A.12种 B.24种
C.72种 D.216种
答案：A
解析：先填第一行，有3×2×1＝6种不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其他单元格唯一确定.根据分步计数原理可知，共有6×2＝12种不同的填法.
5.（多选）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A.共有43种不同的安排方法
B.若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C.若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种
D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
答案：ABD
解析：对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每个学生有4种选法，则三个学生有4×4×4＝43种选法，故A正确；
对于B，三人到4个工厂，有43＝64种情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33＝27（种），
则甲工厂必须有同学去的安排方法有64－27＝37（种），故B正确；
对于C，若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有42＝16种安排方法，故C错误；
对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有4×3×2＝24种安排方法，故D正确.
6.如图，a省分别与b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案种数为（ ）
A.480 B.600
C.720 D.840
答案：C
解析：依题意，按c与d涂的颜色相同和不同分成两类：
若c与d涂同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有1种方法，涂e有3种方法，最后涂b有3种方法，由分步计数原理得到不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180（种），
若c与d涂不同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有3种方法，涂e，b也各有3种方法，
由分步计数原理得到不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540（种），
所以，由分类计数原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720（种）.
7.（2024·安徽宿州）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数为（ ）
A.12 B.24
C.36 D.48
答案：C
解析：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24（个）；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.
所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36（个）.
8.（2024·福建南平）甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为 .
答案：80
解析：某月5日至9日，日期尾数分别为5，6，7，8，9，有3天是奇数日，2天是偶数日.第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2×2＝4种用车方案；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有3×2×2＝12种用车方案，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23＝8种用车方案，共计12＋8＝20种用车方案.根据分步计数原理可知，不同的用车方案种数为4×20＝80.
[B组 能力提升练]
9.（多选）（2024·山东潍坊）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（ ）
A.选1人为负责人的选法种数为30
B.每组选1名组长的选法种数为3 024
C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335
D.若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种
答案：ABC
解析：对于A，选1人为负责人的选法种数：6＋7＋8＋9＝30，故A正确；
对于B，每组选1名组长的选法：6×7×8×9＝3 024，故B正确；
对于C，2人需来自不同的小组的选法：6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335，故C正确；
对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择，
所以不同的选法有：43－33＝37，故D错误.
10.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数是（ ）
A.48 B.54
C.72 D.108
答案：C
解析：设“赵爽弦图”ABCD为①区，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形分别为②，③，④，⑤区.
第一步给①区涂色，有4种涂色方法.
第二步给②区涂色，有3种涂色方法.
第三步给③区涂色，有2种涂色方法.
第四步给④区涂色，若④区与②区同色，⑤区有2种涂色方法.
若④区与②区不同色，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法.
所以共有4×3×2×（2＋1×1）＝72种涂色方法.
11.几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则这九根树枝从高到低不同的顺序共有（ ）
A.23种 B.24种
C.32种 D.33种
答案：D
解析：不妨设A，B，C，D，E，F，G，H，I代表树枝的高度，九根树枝从上至下共九个位置，
根据甲依次撞击到树枝A，B，C；乙依次撞击到树枝D，E，F；丙依次撞击到树枝G，A，C；丁依次撞击到树枝B，D，H；戊依次撞击到树枝I，C，E，可得G＞A＞B，且G，A，B在前四个位置，C＞E＞F，D＞E＞F，且E，F一定排在后四个位置，
（1）若I排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C，则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有4×（3＋4）＝28种排法；
（2）若I不排在前四个位置中的一个位置，则G，A，B，D按顺序排在前四个位置，由于I＞C＞E＞F，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若I不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法，
由分类计数原理可得，这九根树枝从高到低不同的顺序有28＋5＝33（种）.
12.（2024·河北保定）算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表所示：
用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，知“＝｜”表示的三位数为 ；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为 .
答案：621 14
解析：由题意，结合表格中的数据和图形，知“＝｜”表示的三位数为621；
共有5根算筹，要能被5整除，则个位数必须为0或5，
①当个位数为5时，不符合题意；
②当个位数为0时，则5根算筹全部放在十位和百位，
若百位有1根，十位有4根，则共有1×2＝2个三位数；
若百位有2根，十位有3根，则共有2×2＝4个三位数；
若百位有3根，十位有2根，则共有2×2＝4个三位数；
若百位有4根，十位有1根，则共有2×1＝2个三位数；
若百位有5根，十位有0根，则共有2个三位数.
所以共有2＋4＋4＋2＋2＝14个三位数.
13.（2024·湖南怀化）世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强（各组的前2名小组出线），这16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为 .
答案：64
解析：因为8个小组进行单循环赛，每小组进行6场小组赛，所以小组赛的场数为8×6＝48.因为16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为8＋4＋2＋2＝16，因此比赛进行的总场数为48＋16＝64.
14.若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时，各位均不进位（例如：134＋3 802＝3 936），则称（m，n）为“简单的”有序数对，m＋n为有序数对（m，n）的值，那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是 .
答案：300
解析：第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2种组合方式；
第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；
第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5种组合方式；
第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3种组合方式.
根据分步计数原理可知，值为1 942的“简单的”有序数对的个数为2×10×5×3＝300.