2025年高考数学一轮复习-第四章-第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第四章-第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-课时作业【含解析】，共10页。
1.已知α∈（0，π），cs α＝－35，则tan α＝（ ）
A.34B.－34
C.43D.－43
2.已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于（ ）
A.15B.－15
C.513D.－513
3.sin 315°＋sin（－480°）＋cs（－330°）的值为（ ）
A.12B.－12
C.－22D.22
4.（2024·云南昆明）已知sin3π＋α＝35，且α在第三象限，则cs α＝（ ）
A.－45B.－35
C.35D.45
5.已知cs α－sin α＝－12，则sin αcs α的值为（ ）
A.38B.±38
C.34D.±34
6.已知函数f（x）＝csx2，则下列等式成立的是（ ）
A.f（2π－x）＝f（x）B.f（2π＋x）＝f（x）
C.f（－x）＝－f（x）D.f（－x）＝f（x）
7.（2024·陕西西安）已知tan3π－α＝12，则sinπ2＋α－sinπ＋αcsπ2－α＋csπ－α等于（ ）
A.1B.－12
C.13D.－13
8.（多选）（2024·山东泰安）已知sinα+3csα3csα－sinα＝5，下列计算结果正确的是（ ）
A.tan α＝12
B.tan α＝2
C.cs2α＋12sin 2α＝35
D.sin2α－cs 2α＝65
9.化简csα－π2sin5π2＋α·sin（α－π）·cs（2π－α）的结果为 .
10.已知cs（508°－α）＝1213，则cs（212°＋α）的值为 .
11.已知sin θ＋cs θ＝15，θ∈（0，π），则sin θcs（π－θ）＝ .
12.已知－π2＜φ＜π，csπ2＋φ为函数f（x）＝x2－65x＋925的零点，则tan（－φ）的值为 .
[B组 能力提升练]
13.（2024·甘肃兰州）已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcs（πx＋β），且f（4）＝3，则f（2 024）的值为（ ）
A.－1B.1
C.3D.－3
14.（2024·海南三亚）若α∈0，π，且cs α－sin α＝12，则tan α＝（ ）
A.4+75B.4－75
C.4+73D.4－73
15.已知曲线f（x）＝23x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则sin2α－cs2α2sinαcsα＋cs2α＝（ ）
A.12B.2
C.35D.－38
16.“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sinaπ2＋π6等于（ ）
A.12B.－12
C.32D.－32
17.（多选）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”.已知sin（π＋α）＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）
A.sin β＝154B.cs（π＋β）＝14
C.tan β＝15D.tan β＝155
18.（2024·广东广州）若sin α＋cs α＝－15，α∈π2，π，则tan α＝ .
19.（2024·广东汕头）已知sin αcsα＋π6＝3cs αsinα＋π6，则tan α＝ .
20.已知θ∈0，π2，则4cs2θsin4θ＋1cs4θ的最小值为 .
21.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，求sin2θ－cs2θ的值.
2025年高考数学一轮复习-第四章-第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-课时作业(解析版）
[A组 基础保分练]
1.已知α∈（0，π），cs α＝－35，则tan α＝（ ）
A.34B.－34
C.43D.－43
答案：D
解析：因为cs α＝－35且α∈（0，π），所以sin α＝1－cs2α＝45，所以tan α＝sinαcsα＝－43.
2.已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于（ ）
A.15B.－15
C.513D.－513
答案：D
解析：因为tan α＝－512，所以sinαcsα＝－512，所以cs α＝－125sin α，代入sin2α＋cs2α＝1，得sin2α＝25169.又α是第四象限角，所以sin α＝－513.
3.sin 315°＋sin（－480°）＋cs（－330°）的值为（ ）
A.12B.－12
C.－22D.22
答案：C
解析：原式＝sin（360°－45°）＋sin（－360°－120°）＋cs（－360°＋30°）＝－sin 45°－sin 60°＋cs 30°＝－22－32＋32＝－22.
4.（2024·云南昆明）已知sin3π＋α＝35，且α在第三象限，则cs α＝（ ）
A.－45B.－35
C.35D.45
答案：A
解析：因为sin3π＋α＝－sin α＝35，所以sin α＝－35.因为α在第三象限，所以，cs α＝－1－sin2α＝－45.
5.已知cs α－sin α＝－12，则sin αcs α的值为（ ）
A.38B.±38
C.34D.±34
答案：A
解析：由已知得（cs α－sin α）2＝sin2α＋cs2α－2sin αcs α＝1－2sin αcs α＝14，解得sin αcs α＝38.
6.已知函数f（x）＝csx2，则下列等式成立的是（ ）
A.f（2π－x）＝f（x）B.f（2π＋x）＝f（x）
C.f（－x）＝－f（x）D.f（－x）＝f（x）
答案：D
解析：对于A，f（2π－x）＝cs2π－x2＝csπ－x2＝－csx2≠f（x），A不成立；对于B，f（2π＋x）＝cs2π＋x2＝csπ＋x2＝－csx2≠f（x），B不成立；对于C，f（－x）＝cs－x2＝csx2＝f（x）≠－f（x），C不成立，D成立.
7.（2024·陕西西安）已知tan3π－α＝12，则sinπ2＋α－sinπ＋αcsπ2－α＋csπ－α等于（ ）
A.1B.－12
C.13D.－13
答案：D
解析：因为tan3π－α＝tan2π＋π－α＝
tanπ－α＝－tan α＝12，
所以tan α＝－12，
所以sinπ2＋α－sinπ＋αcsπ2－α＋csπ－α＝csα＋sinαsinα－csα＝1+tanαtanα－1＝－13.
8.（多选）（2024·山东泰安）已知sinα+3csα3csα－sinα＝5，下列计算结果正确的是（ ）
A.tan α＝12
B.tan α＝2
C.cs2α＋12sin 2α＝35
D.sin2α－cs 2α＝65
答案：BC
解析：∵sinα+3csα3csα－sinα＝tanα+33－tanα＝5，解得tan α＝2，
∴cs2α＋12sin 2α＝cs2α＋sin αcs α＝cs2α＋sinαcsαsin2α＋cs2α＝1+tanαtan2α+1＝1+222+1＝35，sin2α－cs 2α＝2sin2α－cs2α＝2tan2α－1tan2α+1＝75.
9.化简csα－π2sin5π2＋α·sin（α－π）·cs（2π－α）的结果为 .
答案：－sin2α
解析：原式＝sinαcsα·（－sin α）·cs α＝－sin2α.
10.已知cs（508°－α）＝1213，则cs（212°＋α）的值为 .
答案：1213
解析：因为cs（508°－α）＝cs（360°＋148°－α）＝cs（148°－α）＝1213，所以cs（212°＋α）＝cs（360°＋α－148°）＝cs（α－148°）＝cs（148°－α）＝1213.
11.已知sin θ＋cs θ＝15，θ∈（0，π），则sin θcs（π－θ）＝ .
答案：1225
解析：因为sin θ＋cs θ＝15，
所以（sin θ＋cs θ）2＝1＋2sin θcs θ＝125，
所以sin θcs θ＝－1225，
所以sin θcs（π－θ）＝－sin θcs θ＝1225.
12.已知－π2＜φ＜π，csπ2＋φ为函数f（x）＝x2－65x＋925的零点，则tan（－φ）的值为 .
答案：34
解析：因为函数f（x）＝x2－65x＋925＝x－352，所以函数f（x）的零点为x＝35，所以csπ2＋φ＝－sin φ＝35，即sin φ＝－35＜0.又－π2＜φ＜π，所以－π2＜φ＜0，所以cs φ＝45，于是tan（－φ）＝－tan φ＝－sinφcsφ＝－－3545＝34.
[B组 能力提升练]
13.（2024·甘肃兰州）已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcs（πx＋β），且f（4）＝3，则f（2 024）的值为（ ）
A.－1B.1
C.3D.－3
答案：C
解析：∵f（4）＝asin（4π＋α）＋bcs（4π＋β）＝asin α＋bcs β＝3，
∴f（2 024）＝asin（2 024π＋α）＋bcs（2 024π＋β）
＝asin α＋bcs β＝3.
14.（2024·海南三亚）若α∈0，π，且cs α－sin α＝12，则tan α＝（ ）
A.4+75B.4－75
C.4+73D.4－73
答案：D
解析：∵cs α－sin α＝12，∴（cs α－sin α）2＝14，即1－2sin αcs α＝14，∴sin αcs α＝38，
∴sinαcsαsin2α＋cs2α＝38，得tanα1+tan2α＝38，∴3tan2 α－8tan α＋3＝0，
∴tan α＝4－73或tan α＝4+73.
∵α∈0，π，且cs α－sin α＝12＞0，∴由三角函数定义知α∈0，π4，
∴0＜tan α＜1，故tan α＝4－73.
15.已知曲线f（x）＝23x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则sin2α－cs2α2sinαcsα＋cs2α＝（ ）
A.12B.2
C.35D.－38
答案：C
解析：由f'（x）＝2x2，得tan α＝f'（1）＝2，所以sin2α－cs2α2sinαcsα＋cs2α＝tan2α－12tanα+1＝35.
16.“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sinaπ2＋π6等于（ ）
A.12B.－12
C.32D.－32
答案：D
解析：根据“数字黑洞”的定义，任取数字2 025，经过第一步之后变为314，经过第二步之后变为123，再变为123，再变为123，
所以“数字黑洞”为123，即a＝123，
所以sinaπ2＋π6＝sin123π2＋π6＝sin3π2＋π6＝－cs π6＝－32.
17.（多选）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”.已知sin（π＋α）＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）
A.sin β＝154B.cs（π＋β）＝14
C.tan β＝15D.tan β＝155
答案：AC
解析：∵sin（π＋α）＝－sin α＝－14，
∴sin α＝14，cs α＝±154，
若α＋β＝π2，则β＝π2－α.
对于A，sin β＝sinπ2－α＝cs α可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A符合条件；
对于B，若B符合，则cs（π＋β）＝－csπ2－α＝－sin α＝－14，与cs（π＋β）＝14矛盾，故B不符合条件；
对于C，tan β＝15，即sin β＝15cs β，
又sin2β＋cs2β＝1，故sin β＝±154，故C符合条件；
对于D，tan β＝155，即sin β＝155cs β，
又sin2β＋cs2β＝1，故sin β＝±64，故D不符合条件.
18.（2024·广东广州）若sin α＋cs α＝－15，α∈π2，π，则tan α＝ .
答案：－34
解析：由题意知，sin α＋cs α＝－15，等式两边同时平方，
得sin2 α＋cs2 α＋2sin αcs α＝125，即
2sin αcs α＝－2425，
所以（sin α－cs α）2＝sin2 α＋cs2 α－2sin αcs α＝4925，
又α∈π2，π，
所以sin α－cs α＞0，所以sin α－cs α＝75，
由sinα＋csα＝－15，sinα－csα＝75，解得sinα＝35，csα＝－45，
所以tan α＝sinαcsα＝－34.
19.（2024·广东汕头）已知sin αcsα＋π6＝3cs αsinα＋π6，则tan α＝ .
答案：－3
解析：因为sin αcsα＋π6＝3cs αsinα＋π6，所以tan α＝3tanα＋π6，所以tan α＝3tanα＋31－33tanα，
所以tan2α＋23tan α＋3＝0，即tanα＋32＝0，所以tan α＝－3.
20.已知θ∈0，π2，则4cs2θsin4θ＋1cs4θ的最小值为 .
答案：5＋42
解析：1cs2θ＝sin2θcs2θ＋1，1sin2θ＝cs2θsin2θ＋1，
令sinθcsθ2＝k，k＞0，
则1sin2θ＝1k＋1，1cs4θ＝1cs2θ2＝（k＋1）2＝k2＋2k＋1，
∴4cs2θsin4θ＋1cs4θ＝4cs2θsin2θ·1sin2θ＋1cs4θ＝4k1k+1＋k2＋2k＋1＝4k2＋k2＋4k＋2k＋1≥24k2·k2＋24k·2k＋1＝5＋42，当且仅当k4＝4，2k2＝4，即k＝2时，取等号，则4cs2θsin4θ＋1cs4θ的最小值为5＋42.
21.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，求sin2θ－cs2θ的值.
解：由题图知，每个直角三角形中的长直角边长为cs θ，短直角边长为sin θ，小正方形边长为cs θ－sin θ.
因为小正方形的面积是125，所以（cs θ－sin θ）2＝125.
又θ为直角三角形中较小的锐角，
所以cs θ＞sin θ，cs θ－sin θ＝15.
又（cs θ－sin θ）2＝1－2sin θcs θ＝125，
所以2sin θcs θ＝2425，
所以（cs θ＋sin θ）2＝1＋2sin θcs θ＝4925，
所以cs θ＋sin θ＝75，
所以sin2θ－cs2θ＝（sin θ－cs θ）（cs θ＋sin θ）＝－15×75＝－725.