河南省信阳市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

这是一份河南省信阳市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，展开式的有理项为，设，是两个随机事件，且，，，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
2．数列满足，已知，则的前19项和（ ）
A．0B．8C．10D．19
3．2024年春节期间某高速公路收费站的3个收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）服从正态分布，若，假设3个收费口均能正常工作，则这些收费口每天恰有2个通过的小汽车超过700辆的概率为（ ）
A．0.009B．0.027C．0.243D．0.27
4．某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关．计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（ ）
A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关”
B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌
C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌
D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关”
5．如图是2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，其中残奥会的吉祥物有一个“腿”被设计成了假肢（右），现将4个奥运会吉祥物和2个残奥会吉祥物排成一排，则不同的排法有（ ）
A．6种B．12种C．15种D．60种
6．2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖．现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（ ）
A．B．C．1D．
7．意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列．数列满足，．现从数列的前2023项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，……．记这个数列的前项和为，则（ ）
A．442B．441C．364D．298
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．展开式的有理项为（ ）
A．第1项B．第2项C．第5项D．第8项
10．设，是两个随机事件，且，，，则（ ）
A．B．与相互独立
C．D．
11．设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有，则称在上是上凸函数．已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
12．某校进行的“校园安全”知识竞赛成绩，若成绩在90分以上为“优秀”，该校有4000人参加竞赛，则获得“优秀”的人数为_________．（附：，）
13．曲线在处的切线方程为_________．
14．为了研究高三学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了高三学生200名，得到如下列联表：
根据列联表的数据，计算得_________；依据小概率值_________的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”．
附：临界值表：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为．
（1）求的值；
（2）设，
①求的值；
②求奇次项的系数和．
16．（本小题满分15分）
两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率3%，第二批占60%，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取1件是合格品的概率为97.6%．
（1）求；
（2）已知取到的是次品，求它取自第二批产品的概率．
17．（本小题满分15分）
已知函数（为自然对数的底数）．
（1）判断是否存在零点，若存在求出其零点，若不存在，说明理由；
（2）若恒成立，求的取值范围．
18．（本小题满分17分）
华为Pura70的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐．某手机店今年2～6月份Pura70手机的销量如下表所示：
用最小二乘法得到手机销量（单位：部）关于月份的回归直线方程为，且销量的方差．
（1）求；
（2）求相关系数（精确到0.01），并据此判断手机销量与月份的相关性强弱（若，则可判断与线性相关较强）；
（3）求时的残差；已知，求决定系数（精确到0.01）．
附：相关系数，决定系数，．
19．（本小题满分17分）
绿化美化环境，建设美丽乡村．某村拟将村外的空地分成五块（如图1），种植花草（中间的圆圈不种植），现有四种不同的花卉供选择，要求每一块种植一种花，相邻区域种不同的花卉，设所种花卉的种数为．
（1）求的分布列与期望；
（2）若将空地分成个区域（图2），在这个区域上种植花卉，要求相邻区域种不同的花卉，现有5种不同的花卉供选择，问有多少种不同的种植方法？
2023—2024学年普通高中高二（下）期末教学质量检测
数学参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．A 解析：，，，1，2，3．
．故选A．
2．A 解析：数列为等差数列，由，得，，
．故选A．
3．B 解析：因为，，
每个收费口每天通过的小汽车超过700辆的概率为0.1，这些收费口每天恰有2个通过的小汽车超过700辆的概率为．故选B．
4．D 解析：依已知数据可得有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”．选项D正确，其余都是错误的．故选D．
5．C 解析：从一排的6个位置选2个摆放残奥会吉祥物即可（剩下的4个位置放奥运会吉祥物），．故选C．
6．A 解析：服从超几何分布，．故选A．
7．D 解析：根据斐波那契数列的定义知，，被3除的余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，余数数列为周期数列，周期为8，，所以，数列的前2023项中被3除余1的有项，故所求概率为．故选D．
8．A 解析：由图知，数列中的各项是，，，，，，，，……，
．
故选A．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．
9．BCD 解析：通项，由，得，4，7，展开式的有理项为第2，5，8项．故选BCD．
10．ABC 解析：由，即，得，选项A正确；由，所以，；，，所以与相互独立．选项B正确；由，选项C正确；因为与相互独立，所以，与，与相互独立，所以；．，选项D错误．故选ABC．
11．AD 解析：由，知得在递增，因为，所以，选项A正确；因为在上是“上凸”函数，由导数的几何意义知，随着的增大，曲线在某点的切线的斜率越来越小，所以，，选项B错误；设，，由切线的几何意义知，，即，即．选项D正确．故选AD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．91 解析：依题意，，，
，
，．
13． 解析：，，，曲线在处的切线方程为，即．
14．50.505（3分） 0.001（2分） 解析：，根据小概率值的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．
15．解：（1）；
（2）在，
令，得；
令，得①；
．
令，得②；
①－②，得．（也正确）
16．解：（1）记事件：任取一件产品是次品，记事件：第批的产品，．2．
则，，，，
由，解得．
（2）．
已知取到的是次品，则它取自第二批产品的概率．
17．解：（1）函数的定义域为，，
由，得，由，得，
所以，在上递增，在上递减，
所以，当时，取极小值，．
因为只有一个极小值点，也是最小值点，且，
所以，不存在零点．
（2），即．
令
构造函数，
由，得，由，得，
所以，在上递增，在上递减，
所以，当时，取极小值，．所以，．
故的取值范围为．
18．解：（1），
，
将代入，，得．
（2）由，得，
由，得．
所以，．所以，手机销量与月份的线性相关较强．
（3），
所以，，．
19．解：（1）的所有可能值为2，3，4．
若种两种花卉，则种植方法有；
若种三种花卖，则种植方法有；
若种四种花卉，则种植方法有；
所有的种植方法有．的分布列为
的期望．
（2）分两步，第一步种植区域，有种种植方法；
第二步种植区域，在块区域种植不同的花卉（有4种花卉供选择），设不同的种植方法有种．
显然，；
当时，有4种种植方法，有3种种植方法，…有3种种植方法（不论是否与同种），共有种种植方法．这里包含了与同种的情况，此时，可以看成和合为一个区域，即．所以．
由递推式，可得，
所以，数列是以为公比的等比数列，
又．所以，，
．
又，，也适合上式，所以，当时，．
由分步乘法原理知，在这个区域上种植花来，不同的种植方法有，．
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
80
20
100
男
30
70
100
合计
110
90
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
月份
2
3
4
5
6
手机销量（部）
42
53
66
109
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
A
B
D
C
A
D
A
BCD
ABC
AD
2
3
4