人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线获奖教案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线获奖教案，共10页。教案主要包含了典例解析，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线的简单几何性质
学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学
重点：运用双曲线的方程获得几何性质
难点：双曲线的渐近线及离心率的意义
多媒体
引导学生类比椭圆几何性质的研究，让学生自主探究双曲线的几何性质，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。
课程目标
学科素养
A.掌握双曲线的简单几何性质.
B.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
1.数学抽象：双曲线的几何性质
2.逻辑推理：类比椭圆研究双曲线的几何性质
3.数学运算：运用双曲线的标准方程讨论几何性质
4.直观想象：双曲线的几何性质
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
问题导学
类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线
x2a2−y2b2=1 (a>0，b>0)，
的哪些几何性质，如何研究这些性质？
1、范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程x2a2−y2b2=1可得
x2a2=1+y2b2≥1
于是，双曲线上点的坐标（ x ， y ）都适合不等式，
x2a2≥1，y∈R
所以x≥a 或x≤−a; y∈R
2、对称性
x2a2−y2b2=1 (a>0，b>0)，关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 .
顶点是A1−a,0、A2 a,0，只有两个。
（2）如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，
它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线
4、渐近线
（1）双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0，b>0)，的渐近线方程为：y=±bax
（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图
4、渐近线
慢慢靠近
5、离心率
（1）定义：e = c a
（2）e的范围：e >1
（3）e的含义：
因为c>a>0,所以可以看出e>1，另外，注意到ba=c2−a2a=c2−a2a2 =e2−1,说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄.
如果双曲线C的标准方程是
y2a2−x2b2=1 (a>0，b>0)，
那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，
那些与焦点在x轴上的双曲线是有区别的？
双曲线的几何性质
标准方程
图形
标准方程
性
质
范围
x≤-a或x≥a y∈R
y≤-a或y≥a x∈R
对称性
对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
轴
实轴:线段A1A2,长:2a;
虚轴:线段B1B2,长:2b;
半实轴长:a,半虚轴长:b
渐近线
y=±bax
y=±abx
离心率
a,b,c间的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
(1)双曲线与椭圆的六个不同点:

双曲线
椭圆
曲线
两支曲线
封闭的曲线
顶点
两个顶点
四个顶点
轴
实、虚轴
长、短轴
渐近线
有渐近线
无渐近线
离心率
e>1
0a,b,c关系
a2+b2=c2
a2-b2=c2
(2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为 2 .
(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.
1.判断
(1)双曲线x2a2−y2b2=1与y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的形状相同. ( )
(2)双曲线x2a2−y2b2=1与y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线相同. ( )
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直. ( )
答案:(1)√ (2)× (3)√
2.圆锥曲线x2m+8+y29=1的离心率e=2,则实数m的值为( )
A.-5 B.-35 C.19 D.-11
解析:由圆锥曲线x2m+8+y29=1的离心率e=2,说明曲线是双曲线,
所以m<-8,∴e=9-8-m3=2,解得m=-35.
答案:B
二、典例解析
例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为x29−y24=1,
即x232−y222=1,所以a=3,b=2,c=13.
因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),
焦点坐标为(-13,0),(13,0),
实轴长2a=6,虚轴长2b=4,
离心率e=ca=133,
渐近线方程为y=±bax=±23x.
由双曲线的方程研究其几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
跟踪训练1 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
解:把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)
化为标准方程为x2m−y2n=1(m>0,n>0),
由此可知,半实轴长a=m,
半虚轴长b=n,c=m+n,
焦点坐标为(m+n,0),(-m+n,0),
离心率e=ca=m+nm=1+nm,
顶点坐标为(-m,0),(m,0),
所以渐近线方程为y=±nm x,即y=±mnmx.
例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程.
(1)过点P(3,-5),离心率为2;
(2)与椭圆x29+y24=1有公共焦点,且离心率e=52;
(3)与双曲线x29−y216=1有共同渐近线,且过点(-3,23).
解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),
∵e=2,∴c2a2=2,即a2=b2.①
又双曲线过P(3,-5),∴9a2−5b2=1,②
由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为x24−y24=1.
若双曲线的焦点在y轴上,
设其方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),
同理有a2=b2,③
5a2−9b2=1,④
由③④得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为x24−y24=1.
(2)由椭圆方程x29+y24=1,知半焦距为9-4=5,
∴焦点是F1(-5,0),F2(5,0).
因此双曲线的焦点为(-5,0),(5,0).
设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),
由已知条件,有ca=52,a2+b2=c2,c=5,解得a=2,b=1.
∴所求双曲线的标准方程为x24-y2=1.
(3)设所求双曲线方程为x29−y216=λ(λ≠0),将点(-3,23)代入得λ=14,
∴双曲线方程为x29−y216=14,即双曲线的标准方程为x294−y24=1.
2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0).
(3)与双曲线x2a2−y2b2=1共焦点的双曲线方程可设为x2a2-λ−y2b2+λ=1(λ≠0,-b2<λ(4)与双曲线x2a2−y2b2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0).
跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为53;
(2)过点(2,0),与双曲线y264−x216=1离心率相等.
解:(1)设所求双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),由题意知2b=8,e=ca=53,从而b=4,c=53a,
代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为x29−y216=1.
(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,
故可设其方程为x264−y216=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得λ=116,
故所求双曲线的标准方程为x24-y2=1.
类比椭圆讨论双曲线的几何性质。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。
通过典例解析，已知双曲线的几何条件求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养
三、达标检测
1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为( )
A.4B.-4C.-14D.14
解析:由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,则双曲线方程可化为y2-x2-1m=1,
则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,∴b=2,∴-1m=b2=4,∴m=-14,故选C.
答案:C
2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=±43x,则下列结论正确的是 ( )
A.C的方程为x29−y216=1 B.C的离心率为54
C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2
解析:双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±43x,可得c=5,焦点坐标在x轴上,所以ba=43,因为c=5,所以b=4,a=3,
所以C的方程为x29−y216=1,A正确;离心率为e=53,B不正确;
焦点到渐近线的距离为d=4×542+32=4,C不正确;
|PF|的最小值为c-a=2,D正确.
答案:AD
3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是 .
解析:令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),
∴c=4,a2=b2=12c2=12×16=8,故等轴双曲线的方程为x2-y2=8.
答案:x2-y2=8
4.关于双曲线x29−y216=-1,有以下说法:
①实轴长为6;②双曲线的离心率是54;③焦点坐标为(±5,0);④渐近线方程是y=±43x;⑤焦点到渐近线的距离等于3.
正确的说法是 .(把所有正确说法的序号都填上)
解析:∵双曲线x29−y216=-1,
即y216−x29=1,∴a=4,b=3,c=9+16=5,
∴①实轴长为2a=8,故①错误;
②双曲线的离心率是e=ca=54,故②正确;
③焦点坐标为F(0,±5),故③错误;
④渐近线方程是y=±43x,故④正确;
⑤焦点到渐近线的距离为d=|0+15|9+16=3,故⑤正确.
答案:②④⑤
5.已知F为双曲线C:x24−y29=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(13,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为 .
解析:根据题意,双曲线C:x24−y29=1的左焦点F(-13,0),所以点A(13,0)是双曲线的右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点.虚轴长为6,所以|PQ|=12. 双曲线图像如图.
|PF|-|AP|=2a=4,①
|QF|-|QA|=2a=4,②
①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,
∴周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.
答案:32
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。