人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念精品教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念精品教学设计，共10页。教案主要包含了问题探究，数列，数列与函数，数列的通项公式，课时练等内容，欢迎下载使用。
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习数列的概念与表示
“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等。数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.
重点：数列的有关概念与数列的表示方法
难点：数列的函数特征
多媒体
学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识，初步掌握了函数的研究方法，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础.况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.
课程目标
学科素养
A.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
B.掌握数列的分类.
C.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.
D.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
1.数学抽象：数列的概念及表示、数列的分类
2.逻辑推理：求数列的通项公式
3.数学运算：运用数列通项公式求特定项
4.数学建模：数列的概念
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
情景导学
古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列. 那么什么叫数列呢?
二、问题探究
1. 王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：
75,87,96,103,110,116,120,128,138，
145,153,158,160,162,163,165,168 ①
记王芳第i岁的身高为 ℎi ，那么ℎ1=75 , ℎ2=87, …，ℎ17=168.我们发现ℎi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即ℎ1=75 是排在第1位的数，ℎ2=87是排在第2位的数…，ℎ17 =168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置，所以①具有确定顺序的一列数。
2. 在两河流域发掘的一块泥板（编号K90，约生产于公元
前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天，
每天月亮可见部分的数：
5,10,20,40,80,96,112,128,
144,160,176,192,208,224,240. ②
记第i天月亮可见部分的数为 si, 那么s1=5 , s2=10, …，s15=240.这里，si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1~15顺序排列时的确定位置，即s1=5是排在第1位的数，s2=10是排在第2位的数… …s15=240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置，所以，②也是具有确定顺序的一列数。
3. -12的n次幂按1次幂， 2次幂, 3次幂, 4次幂……依次排成一列数：
- 12， 14，- 18， 1 16… ③
思考：你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？
一、数列
1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.
3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,
例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.
(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.
二、数列的分类

类别
含义
按项的
个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项
小于它的前一项的数列
三、数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，
其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，
记为an＝f(n)．
另一方面，对于函数y＝f(x)，
如果f(n)(n∈N*)有意义，
那么 构成了一个数列{f(n)}．
f(1)，f(2)，…，f(n)，…
1. 下列叙述正确的是( )
A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类
B.数列中的数由它的位置序号唯一确定
C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
D.同一个数在数列中不可能重复出现
解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.
答案:B
四、数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.
(2)并不是所有的数列都有通项公式.
(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列
-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cs nπ等.
1.若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10= ,224是该数列的第 项.
解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,
即224是该数列的第15项.
答案:99 15
三、典例解析
例1. 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项,并画出它们的图像.
（1） an=n2+n2 ; （2） an=cs(n−1)π2
解:（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列{an}的前5项依次为1,3,6,10,15
如图所示(1)
（2）当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列 {an}的前5项依次为1,0,-1,0,1
如图所示(2)
例2. 根据数列的前4项,写出下列数列的一个通项公式:
(1)12,2,92,8,252,…;
(2)1,-3,5,-7,9,…;
(3)9,99,999,9 999,…;
(4)22-11,32-23,42-35,52-47,…;
(5)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…;
(6)4,0,4,0,4,0,….
解:(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,12,42,92,162,252,…,所以,它的一个通项公式为an=n22.
(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为an=(n+1)2-n2n-1=n2+n+12n-1.
(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·1n(n+1).
(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=4,n为奇数,0,n为偶数.又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.
根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:
(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.
(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.
(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.
2.常见数列的通项公式
(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…
的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.
(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.
(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.
(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.
(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.
(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.
(7)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是an=n(n+1)2.
(8)数列1,12,13,14,…的一个通项公式是an=1n.
跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)1,13,15,17; (2)212,414,618,8116;
(3)3,5,9,17; (4)23,415,635,863;
(5)7,77,777,7 777.
解:(1)an=12n-1;(2)an=2n+12n;(3)an=2n+1;
(4)an=2n(2n)2-1;(5)an=79(10n-1).
例3 (1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.
①数列中有哪些项是负数?
②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.
(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1)1011n(n∈N*),试问数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.
分析:(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.
(2)数列{an}的通项计算an+1-an确定单调性求解最大(小)项
(1)解:①an=n2-5n-6