高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列一等奖教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列一等奖教案设计，共8页。教案主要包含了典例解析，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等比数列的前n项和公式
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。
学生在已学习等差数列前n项和公式的基础上，引导学生类比学习等比数列前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。
重点：等比数列的前n项和公式及其应用
难点：运用等比数列解决实际问题
多媒体
由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。
课程目标
学科素养
A.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．
B.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
1.数学抽象：等比数列的前n项和公式
2.逻辑推理：等比数列的前n项和公式的运用
3.数学运算：等比数列的前n项和公式的运用
4.数学建模：运用等比数列的前n项和公式解决实际问题
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
知识回顾
等比数列的前n项和公式
已知量
首项a1、公比q(q≠1)与项数n
首项a1、末项an与公比q(q≠1)
首项a1、
公比q＝1
求和公式
Sn＝
Sn＝
Sn＝
eq \f(a11－qn,1－q);eq \f(a1－an,1－q); na1
二、典例解析
例10. 如图，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点E,F,G,H, 作第2个正方形 EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.
(1) 求从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和；
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。
解：设正方形的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2, a3, …,an,…，则a1=25,
由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，
所以ak+1=12ak,
因此{an}，是以25为首项，12为公比的等比数列.
设{an}的前项和为Sn
（1）S10=25×1−1210 1 −12=50×1−1210=25575512
所以，前10个正方形的面积之和为25575512cm2.
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和
a1+a2+a3+…+an+…，
而Sn=25×1−12n 1 −12=50×1−12n,
随着n的无限增大，12n将趋近于0，Sn将趋近于50.
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
典例解析
例11. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}， n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 Sn （单位：万吨），则an=20(1+5%)n, bn=6+1.5 n ,
Sn=a1−b1+a2−b2+…+an−bn
=a1+a2+…+an−b1+b2+…+bn
=20×1.05+20×1.052+…+20×1.05n−(7.5+9+…6+1.5n)
=(20×1.05)×(1−1.05n) 1 −1.05−n2(7.5+6+1.5n)
=420×1.05n−34n2−274n−420
当n=5时，S5 ≈63.5
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.
解决数列应用题时
一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；
二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题．
跟踪训练1. 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长14.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入．
解：由题意知第1年投入800万元，
第2年投入800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))万元，
……
第n年投入800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))n－1万元，
所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))的等比数列．
所以n年内的总投入Sn＝800＋800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＋…＋800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))n－1＝4 000×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n))(万元)．
由题意知，第1年旅游业的收入为400万元，
第2年旅游业的收入为400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))万元，
……
第n年旅游业的收入为400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))n－1万元，
所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400，
公比为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))的等比数列．
所以n年内旅游业的总收入
Tn＝400＋400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))＋…＋400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))n－1＝1 600×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－1))(万元)．
故n年内的总投入为4 000×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n))万元，
n年内旅游业的总收入为1 600×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－1))万元．
例12. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,…
（1）写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成cn+1 −k=r(cn−k)的形式，其中k, r为常数；
（3）求S10=c1+c2+c3+…+c10的值（精确到1）.
分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答。
解（1）由题意，得c1=1200,并且
cn+1=1.08cn−100. ①
（2）将cn+1 −k=r(cn−k)化成
cn+1=rcn−rk+k. ②
比较①②的系数，可得r=1.08,k−rk=−100.
解这个方程组，得r=1.08,k=1250.
所以（1）中的递推公式可以化为
（3）由（2）可知，数列{cn-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则
(c1−1250)+(c2−1250)+(c3−1250)+…+ (cn−1250)
=−50×1−1.08101 −1.08≈−724.8.
所以S10=c1+c2+c3+…+c10≈1250×10−724.8=11775.7≈11776.
以正方形面积求和问题为背景，引导学生运用等比数列求和知识解决问题。并体会等比数列与指数函数的关系，感悟函数思想。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
以生活中的垃圾处理为背景，引导学生运用等比数列求和知识解决实际问题。并掌握分组求和法。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
以牧场中牛的繁殖问题为背景，引导学生运用等比数列求和知识解决问题，并学会运用构造法，构造等比数列解决问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
三、达标检测
1．等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为( )
A.eq \f(a11－q2n,1－q) B.eq \f(a11－q3n,1－q3)
C.eq \f(a31－q3n,1－q3) D.eq \f(a21－q2n,1－q)
【答案】C [等比数列中，序号成等差数列，则项仍成等比数列，则a3，a6，…，a3n是等比数列，且首项为a3，公比为eq \f(a6,a3)＝q3，再用等比数列的前n项和公式求解，即Sn＝eq \f(a31－q3n,1－q3)，故答案为C项．]
2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
【答案】－63 [通解 因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；
当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；
当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；
当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32.
所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.
优解 因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝eq \f(－1×1－26,1－2)＝－63.]
3．数列eq \f(1,2)，eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)，eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)，…，eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n)的前n项和为________.
【答案】n－1＋eq \f(1,2n) [通项an＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n)＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2n))＝1－eq \f(1,2n)
∴前n项和Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n)))＝n－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋…＋\f(1,2n)))＝n－1＋eq \f(1,2n).]
4. 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2018年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
(2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(0.910≈0.35，保留一位小数)
解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a·0.9n－1.
(2)10年的出口总量S10＝eq \f(a1－0.910,1－0.9)＝10a(1－0.910)．
∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，
即a≤eq \f(8,1－0.910)，
∴a≤12.3.故2018年最多出口12.3吨．
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
（1）掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学模型，尤其要注意公比与项数的选取；
（2）根据实际问题，先分清等比数列与等差数列, 再建立不同的数学模型；
（3）通过实际问题，发现等差数列与等比数列的不同特点.
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。