辽宁省大连市沙河口区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份辽宁省大连市沙河口区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（本试卷共23道题满分120分考试时间共120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效
第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零”，由此即可求解．
解：的相反数是，
故选：．
【点睛】本题主要考查相反数的定义，掌握以上知识是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．
解：∵点P的横坐标是负数，纵坐标是正数，
∴点在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题主要考查点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标的特点是解本题的关键，第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是、、、．
3. 以下调查中，适宜抽样调查的是（）
A. 了解某班学生喜爱的体育运动项目的情况
B. 合唱节前，某班计划购买服装，统计同学们的服装尺寸大小
C. 了解某地区饮用水矿物质含量的情况
D. 旅客上飞机前的安全检查
【答案】C
【解析】
【分析】根据抽样调查和全面调查的使用范围依次判断即可．
解：A. 了解某班学生喜爱的体育运动项目的情况，调查范围小，适用全面调查，故A不符合题意；
B. 合唱节前，某班计划购买服装，统计同学们的服装尺寸大小，调查结果重要，适用全面调查，故B不符合题意；
C. 了解某地区饮用水矿物质含量的情况，适用抽样调查，故C符合题意；
D. 旅客上飞机前的安全检查，调查结果重要，适用全面调查，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查抽样调查和全面调查的区别，理解抽样调查和全面调查的使用范围是解题的关键．
4. 如图，过点P作线段的垂线，垂足在（）
A. 线段上B. 线段的延长线上C. 线段的反向延长线上D. 直线外
【答案】B
【解析】
【分析】根据作垂线后垂足的位置直接判断即可．
解:如图所示，垂足在线段的延长线上；
故选：B．
【点睛】本题考查了对线段的延长线和反向延长线等概念的认识，涉及到了作垂线，解题关键是掌握相关概念．
5. 若，则下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质进行判断．
解：A、在不等式m＞n的两边同时加上2，不等号方向不变，即m+2＞n+2，故本选项不符合题意．
B、在不等式m＞n的两边同时减去3，不等号方向不变，即m-3＞n-3，故本选项不符合题意．
C、在不等式m＞n的两边同时乘-5，不等号方向改变，即-5m＜-5n，故本选项符合题意．
D、在不等式m＞n的两边同时除以6，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
6. 下列命题中，是真命题的是（）
A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角
B. 两直线平行，内错角相等
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握对顶角的性质、平行线的判定及性质、平行公理、垂直公理等知识是解答此题的关键．据对顶角的性质、平行线的判定及性质、平行公理、垂直公理等知识逐项判定即可．
解：A：相等的角指的是大小相等的角；对顶角是如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角就是对顶角；可见，对顶角一定是相等的角，而相等的角未必是对顶角，故选项A是假命题；
B：两直线平行，内错角相等，故选项B是真命题；
C：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项C是假命题；
D：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项D是假命题．
故选：B．
7. 如图，，点在上，过点作的垂线与相交于点．若，则的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由垂直可得，再由平行线的性质可得，从而可求的度数．
解：∵过点作的垂线与相交于点，
，
，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
8. 如图，下列条件中，能判断，的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断．
解：A、与不是内错角，也不是同位角，不能判断，故A不符合题意；
B、，能判定，故B不符合题意；
C、，能判定，故C符合题意；
D、，能判定，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
9. 一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质，可得，即可．
解：如图，根据题意得：，
∴．
故选：C
10. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意，可列方程组为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设绳索长y尺，竿长x尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设绳索长y尺，竿长x尺，
根据题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据算术平方根的平方等于被开方数，即可得到答案．
解：，
，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的平方等于被开方数，是解题的关键．
12. 将方程变形为用含的式子表示，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先两边同时减去，再两边同时除以，即可得到答案．
解：两边同时减去得，，
两边同时除以得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质的应用，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
13. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查多边形内角和公式、解一元一次方程，设这个多边形边数是n，根据多边形内角和公式列方程求解即可．
解：设这个多边形的边数是n，由题意得，
，
解得，
故答案为：6．
14. 如图所示的是一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，则此不等式组的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据数轴表示的不等式解集求解即可．
解：根据数轴的意义，得不等式的解集为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示不等式组的解集，熟知数轴与不等式解集的关系式解题的关键．
15. 如图，在中，，将线段沿线段平移得到线段（点与点对应，且不与点重合），连接和的平分线相交于点．若，则的度数是________．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质及判定，角平分线的定义，熟练掌握平移的性质是解题的关键。如图，过点作由平移的性质得进而得，，，再根据角平分线的性质即可得解．
解：如图，过点作
∵将线段沿线段平移得到线段
∴
∴，
∴，，
∵和的平分线相交于点．
∴
∴．
故答案：．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：
（2）解方程组
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了实数混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握实数的运算法则和加减消元法是解题的关键．
（1）先计算根式、化简绝对值后，再进行实数混合运算即可；
（2）利用加减法解二元一次方程组即可．
解：（1）原式
；
（2）
得：，
则，
把代入①得：，
则，
原方程组的解为．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点
（1）在平面直角坐标系中描出各点，并画出．
（2）求的面积；
（3）将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，请在图中画出，并写出点的坐标．
【答案】（1）作图见解析；
（2）；
（3）作图见解析，，点，点．
【解析】
【分析】（）根据点的坐标描出各点，再连线即可画出图形；
（）利用割补法解答即可求解；
（）根据平移的性质作图即可，再根据平移后的图形可写出点的坐标；
本题考查了坐标与图形，三角形的面积，平移作图，掌握平移的性质是解题的关键．
【小问1】
解：如图所示，即为所求；
【小问2】
解：，
的面积为；
【小问3】
解：如图所示，即为所求，由图可得，点，点，点．
18. 为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，从我做起”环保知识竞赛活动，该校有2000名学生，从中随机抽取部分学生进行测试（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）．并对测试成绩进行整理与描述，绘制不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次竞赛共抽取了多少名学生参赛？
（2）求m，n的值；
（3）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你通过样本估计总体中优秀大约有多少名学生？
【答案】（1）本次竞赛共抽取了200名学生参赛
（2），
（3）估计该校中2000名学生中成绩为优秀的人数约有700名学生
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）由直方图和扇形统计图可知，的人数为90，占比，根据样本总数等于频数除以频率即可得到答案；
（2）由扇形统计图可知，的百分比为，根据频数等于样本总数乘以频率可得到，再根据各组人数之和等于总人数求出；
（3）用总人数乘以样本中80分以上（含80分）的人数所占比例即可得．
【小问1】
解：（人）；
答：本次竞赛共抽取了200名学生参赛．
【小问2】
解：，
，
故答案为：，．
【小问3】
解：（名）；
答：估计该校中2000名学生中成绩为优秀的人数约有700名学生．
19. 大连大樱桃久负盛名，李伯伯为了丰富自家大樱桃的品种，计划购买美早和黄水晶两个品种的树苗，经了解，棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元；棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元．
（1）求这两种树苗的单价各多少元？
（2）为了错峰成熟，尽量达到供需平衡，李伯伯欲购买的美早树苗比黄水晶多棵，总费用不超过元，最多可以购买美早树苗多少棵？
【答案】（1）美早树苗单价为元，黄水晶树苗单价为元
（2）最多可以购买美早树苗棵
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系，列出方程组和不等式，即可求解．
（）设美早树苗单价为元，黄水晶树苗单价为元，根据棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元；棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元的等量关系，列出二元一次方程组，即可求解；
（）设购买美早树苗棵，则购买黄水晶树苗棵，根据总费用不超过元的不等关系，列出一元一次不等式，即可求解．
【小问1】
解：设美早树苗单价为元，黄水晶树苗单价为元，
由题意得
解得：
答：美早树苗单价为元，黄水晶树苗单价为元；
【小问2】
设购买美早树苗棵，则购买黄水晶树苗棵，
依题意，得：，
解得：．
由为正整数，得，
答：最多可以购买美早树苗棵．
20. （1）完成下面的证明．
已知：如图1，直线被直线所截，．
求证：．
证明：，
________（________）．
，
________（________）．
．
（2）如图2，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数．
【答案】（1）；同位角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理的应用，角平分线的定义；
（1）根据平行线性质与判定定理，补充证明过程；
（2）根据三角形的高的定义，三角形的内角和定理可得，进而根据角平分线的定义，得出，进而根据，即可求解．
（1）证明：，
（同旁内角互补，两直线平行）．
，
（同位角相等，两直线平行）．
．
（2）在中，为高，，
在中，
平分
21. 在中，是的角平分线，点在射线上，．
（1）如图1，当点在上，若，求的度数；
（2）当点在的延长线上，请在图2中补全图形，猜想与的数量关系并证明．
【答案】（1）
（2）；证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为．
（1）先求出，根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和定理求出；
（2）在中，设，根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和定理得出．
【小问1】
解：，
，
在中，，
，
是的角平分线，
，
在中，；
【小问2】
解：，理由如下：
，
，
在中，设，
，
是的角平分线，
，
在与中，
，
，
，
即，
．
22. 如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数；
（3）改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于；
①如图3，当为锐角时，求的度数；
②当为钝角时，请直接写出的度数．
【答案】（1）
（2）
（3）①，；②
【解析】
【分析】此题考查了平行线性质，三角形内角和定理，
（1）首先得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可；
（2）设，表示出，然后在中，根据两锐角互余得到，进而求解即可；
（3）①设，根据题意得到①，②，联立求解即可；
②与①同理的方法求解即可．
【小问1】
解：，
，
，
，
，
，
，
在中，；
【小问2】
解：设，
，
，
，
；
，
，
在中，，
，
．
【小问3】
解：①如图3，设，则，
，
，
，
，
即①，
，
，
，
又，
即②，
由①，②解得：，
，．
②与①同理可得，．
23. 平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，其中为常数，则称点是点的阶关联点．例如：若点的坐标为，则点的3阶关联点是，即点坐标为．
（1）若点的坐标为，求点的4阶关联点的坐标；
（2）若点的坐标为，点的阶关联点的坐标是，求的值；
（3）如图，点坐标为是点的阶关联点，点在轴上，若的面积是2，求点的坐标；
（4）已知点，点为线段上的动点，点的1阶关联点为点，点的阶关联点为点；当点在线段上运动时，若的面积是四边形面积的一半，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或，
（4）点坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，坐标与图形，二元一次方程组的应用，算术平方根；
（1）根据新定义即可求解；
（2）根据新定义得出关于的二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（3）根据新定义得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
（4）根据新定义可得，，根据的面积是四边形面积的一半，分点在的左侧和右侧两种情况分别求解，即可．
【小问1】
解：∵点的坐标为，
∴，
即．
【小问2】
解：依题意，点的坐标为，点的阶关联点的坐标是，
∴，
解得：．．
【小问3】
解：由题意得，
解得：
设，
，
，
解得：或，
或，
【小问4】
解：∵点，点为线段上的动点，
∴设，
∵点的1阶关联点为点，点的阶关联点为点；
∴，，
∵，
∴在的右侧，在上方，在下方
如图所示，过点作轴，过点作交的延长线与点，垂足为，连接，
∴四边形的面积为
∵的面积是四边形面积的一半，
∴
又∵
∴
解得：（负值舍去）
如图所示，当在的右侧时，同理可得
∴
解得：（负值舍去）
∴点坐标为或成绩分组（x/分）
频数（人）
90
20