吉林省吉林市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

这是一份吉林省吉林市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案，共14页。
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1．已知样本数据：，，，，，，则这组样本数据的中位数为
A． B．C．D．
2．已知复数，则的模为
A．B．C．D．
3．若，是两条直线，是一个平面，则下列命题中正确的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则
A． B． C．D．
5．已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为
A．B．C．D．
6．在中，，则
A．B．
C．D．
7．中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为
A．
B．
C．
D．
已知锐角是单位圆的内接三角形，角，，的对边分别为，，，且
，则的取值范围是
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，，则
A．B．若，则
C．若，则D．在上的投影向量的坐标为
10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚硬币朝上的面相同”，事件“两枚硬币朝上的面不同”，则
A．B．与互斥
C．与互为对立D．与相互独立
11．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，则
A．三棱锥的外接球的表面积为
B．三棱锥的外接球的体积为
C．点到平面的距离为
D．已知点是底面（不含边界）内一动点，
且平面，则线段的长度的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
12．已知是关于的方程的一个根，则实数 ．
13．在中，，，为中点，则 ．
14．我国古代数学家祖暅于世纪末提出了下面的体积计算原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．在正四棱柱中，，是上一点，于点，设，，则点绕旋转一周所得的圆的面积为 （用表示）；将空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
某高校强基计划考试分“笔试”和“面试”两部分，每部分考试成绩记“合格”或“不合格”．两部分考试成绩均“合格”者则考试“通过”，并给予录取．现甲、乙两人都参加此高校的强基计划考试，甲、乙在笔试中成绩“合格”的概率分别为，，在面试中成绩“合格”的概率分别为，，且每人在笔试和面试成绩是否“合格”是相互独立的．
（Ⅰ）甲、乙两人谁被录取的可能性大，并说明理由；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人被录取的概率．
16．（本小题满分15分）
如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角．
（Ⅰ）求与两点间的距离；
（Ⅱ）求塔高．

17．（本小题满分15分）
随着全民健身意识增强，马拉松运动逐渐成为深受群众喜爱的体育健身项目之一．吉林市自年以来，现已成功举办五届马拉松比赛，“吉马”也因此成为了东北地区乃至全国颇具影响力的品牌赛事．年“吉马”被中国田径协会评为“城市形象媒体传播赛事典型案例”．时隔一年，吉林市委、市政府再次启动这一国际化赛事，将挑战自我、超越极限、坚韧不拔、永不放弃的马拉松精神与我市激流勇进的城市精神相结合，并将其发扬光大．为此，某校举办了“吉马”知识竞赛，从所有竞赛成绩中抽取一个容量为的样本，并按竞赛成绩（单位：分）分成六组：，，，，，，得到如下图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值，并求样本中竞赛成绩的第百分位数；
（Ⅱ）现从样本中竞赛成绩在内用比例分配的分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中抽取人座谈，求至少有一人竞赛成绩在内的概率；
（Ⅲ）已知样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，并据此估计所有答卷中竞赛成绩在内的总体方差．
参考公式：总体分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；．记总的样本平均数为，样本方差为，．
18．（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，,，，且是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面平面，且，.
（ = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i）求证：平面；
（ = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i）求直线与平面所成的角的正弦值．
19．（本小题满分17分）
法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理 ：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰
为另一个等边三角形的顶点”．如图，的内角，，的对边分别为，，，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为，，．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，且的周长为，求；
（Ⅲ）若的面积为，求的角平分线的取值范围．