还剩16页未读，
继续阅读
所属成套资源：2025年高考物理一轮复习讲义学案（word版，已完结）
成套系列资料，整套一键下载
2025年高考物理一轮复习讲义学案 第六章 机械能 第一讲 功和功率
展开
这是一份2025年高考物理一轮复习讲义学案 第六章 机械能 第一讲 功和功率，共19页。
考点1 功的正负判断与计算
1.做功的两个必要因素
（1）作用在物体上的力.
（2）物体在[1] 力的方向 上发生的位移.
2.表达式：W＝[2] Flcsα ，α是力F与位移l的夹角.
3.功的正负的判断
如图，一个质量为150kg的雪橇，受到与水平方向成37°角斜向上方的拉力，大小为500N，在水平地面上移动的距离为5m.地面对雪橇的阻力为100N，cs37°＝0.8.
拉力对雪橇做的功是 2000 J，阻力对雪橇做的功是 －500 J，重力对雪橇做的功是 0 J，支持力对雪橇做的功是 0 J，各力对雪橇做的总功是 1500 J.
解析 拉力在水平方向的分力为 Fx ＝ F cs 37°，它所做的功为W1 ＝Fxl ＝Fl cs37°＝500×5×0.8 J ＝2 000 J，阻力与运动方向相反，两者夹角为180°，它所做的功为W2＝F阻l cs 180°＝-100×5 J ＝- 500 J，重力和支持力与运动方向垂直，即重力和支持力对雪橇做的功均为0，各力对雪橇所做的总功为W＝W1＋W2＝2 000 J-500 J＝1 500 J.
命题点1 功的正负判断
1.图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼（忽略扶梯对手的作用），图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止.下列关于力做功的判断正确的是（ A ）
A.甲图中支持力对人做正功
B.甲图中摩擦力对人做负功
C.乙图中支持力对人做正功
D.乙图中摩擦力对人做负功
解析 对题图甲中女士受力分析如图1所示，受重力和支持力两个力，支持力与速度v的夹角为锐角，做正功，故A正确，B错误.对题图乙中男士受力分析如图2所示，受重力、支持力与静摩擦力作用，支持力与速度v'的夹角为90°，不做功，静摩
擦力与速度方向相同，做正功，故C、D均错误.
命题点2 恒力做功的计算
2.[多选]如图，在电梯中有一固定放置的倾角为θ的斜面，斜面上放置一个质量为m的物体，二者以相同的加速度a匀加速上升了高度h，重力加速度为g，且物体和斜面始终保持相对静止，在这一过程中，下列说法正确的是（ AD ）
A.斜面对物体的支持力做的功为m（a＋g）hcs2θ
B.斜面对物体的摩擦力做的功为m（a＋g）hcs2θ
C.斜面对物体做的功为mah
D.合力对物体做的功为mah
解析 对物体受力分析如图，水平和竖直方向分别有F sin θ-f cs θ＝0，F cs θ＋f sin θ-mg＝ma，解得F＝m(a＋g) cs θ，f＝m(a＋g) sin θ，根据定义分别计算出二者的做功，WF＝Fh cs θ＝m(a＋g)h cs 2θ，Wf＝fh cs (90°-θ)＝m(a＋g)h sin 2θ，故A正确，B错误；斜面对物体有2个力，所以做的功为二者之和，即W＝WF＋Wf＝m(a＋g)h，C错误；合力对物体做的功W合＝F合h，再根据牛顿第二定律F合＝ma，可得W合＝mah，D正确.
方法点拨
常见力做功的特点
考点2 变力做功问题的求解
变力做功的六种求解方法
命题点1 微元法求变力做功
3.如图所示，一质量为m＝2.0kg的物体从半径为R＝5.0m的圆弧轨道的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端（圆弧AB在竖直平面内）.拉力F的大小始终为15N，方向始终与物体所在圆弧处的切线成37°角.圆弧轨道所对应的圆心角为45°，BO边沿竖直方向.求这一过程中：（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8）
（1）拉力F做的功；
（2）重力G做的功；
（3）圆弧轨道对物体的支持力N做的功.
答案 （1）47.1J （2）－29.3J （3）0
解析 （1）将圆弧AB分成很多小段l1、l2、…、ln，物体在这些小段上近似做直线运动，则拉力在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体所在圆弧处的切线成37°角，所以W1＝Fl1cs37°、W2＝Fl2cs37°、…、Wn＝Flncs37°
WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcs37°（l1＋l2＋…＋ln）＝Fcs37°·πR4≈47.1J.
（2）重力G做的功WG＝－mgR（1－cs45°）≈－29.3J.
（3）物体受到的支持力N始终与物体的运动方向垂直，所以WN＝0.
命题点2 等效转换法求变力做功
4.如图所示，一辆拖车通过光滑定滑轮将一重为G的物体匀速提升，当拖车从A点水平移动到B点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ角，求此过程中拖车对绳子所做的功.
答案 1－csθsinθGs
解析 拖车对绳子做的功等于绳子对物体做的功.以物体为研究对象，由于整个过程中物体匀速运动，所以绳子的拉力大小FT＝G. 物体上升的距离等于滑轮右侧后来的绳长OB减去开始时的绳长OA，即l＝ssinθ-stanθ，所以绳子对物体做的功W＝FTl＝1-csθsinθGs，则拖车对绳子做的功等于1-csθsinθGs.
命题点3 平均力法求变力做功
5.某工地建房时用小车将细沙从一楼提到七楼（高度为20m），小车和细沙总质量为10kg.由于小车漏沙，在被匀加速提升至七楼的过程中，小车和细沙的总质量随着上升距离的变化关系如图所示.小车可以看成质点，已知小车加速度为2m/s2，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2.由图像可知，在提升的整个过程中，拉力对小车做的功为（ A ）
A.2160JB.1800J
C.2400JD.180J
解析 由题图可知小车和细沙的总质量m＝10-0.1h(kg).小车在被匀加速提升至七楼的过程中，根据牛顿第二定律有F-mg＝ma，可得F＝120-1.2h(N)，故拉力与上升距离(位移)满足线性关系，所以可用平均力法求解变力做功.当h＝0时F1＝120 N；当h＝20 m时F2＝96 N；则在提升的整个过程中，拉力对小车做的功为W拉＝F1＋F22h＝2 160 J，故A正确.
考点3 功率问题的分析与求解
1.定义：功与完成这些功所用[7] 时间 之比.
2.物理意义：描述力对物体做功的[8] 快慢 .
3.公式
4.额定功率与实际功率
（1）额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率.
（2）实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率.
在生产生活中，人们不仅关注做功的多少，还关注做功的快慢，做功的快慢我们用功率表示.求解功率的公式有P＝Wt和P＝Fvcsα，试对下列关于两公式和功率的说法进行判断.
（1）公式P＝Fvcsα只可以求平均功率，不可以求瞬时功率.（ ✕ ）
（2）当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大.（ ✕ ）
（3）公式P＝Wt是用来求t时刻的瞬时功率的.（ ✕ ）
（4）功率越大，说明该力做的功越多.（ ✕ ）
6.[平均功率的求解]如图所示，质量为60kg的运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒.已知重心在c点，其垂线与两脚、两手连线中点间的距离Oa、Ob分别为0.9m和0.6m.若她在一分钟内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，则运动员在一分钟内克服重力做的功和相应的功率约为（取g＝10m/s2）（ B ）
A.430J，7WB.4300J，70W
C.720J，12WD.7200J，120W
解析 设重心上升的高度为h，根据相似三角形可知h0.4m＝0.9m(0.9+0.6)m，得h＝0.24 m.做一次俯卧撑的过程中，运动员克服重力做的功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝144 J，所以运动员在一分钟内克服重力做的总功为W总＝NW＝4 320 J，功率P＝W总t＝72 W，故B正确.
7.[瞬时功率的求解/2023辽宁]如图（a），从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道.两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t的关系如图（b）所示.由图可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中（ B ）
A.甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B.甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C.乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D.乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
解析 由图(b)可知小物块甲做匀加速直线运动，小物块乙做加速度减小的加速运动，结合图(a)可知，小物块甲沿轨道Ⅱ下滑，小物块乙沿轨道Ⅰ下滑，AD错误；由图(b)可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中，同一时刻物块乙的速度大于物块甲的速度，则同一时刻甲的动能比乙的小，B正确；小物块乙由静止释放的瞬间，小物块乙的速度为零，则小物块乙的重力功率为0，小物块乙滑到轨道Ⅰ底端的瞬间，小物块乙的速度方向与重力方向垂直，则小物块乙的重力功率为0，但在下滑过程，小物块乙的重力做的功不为0，则小物块乙的重力的瞬时功率先增大后减小，C错误.
考点4 机车启动模型
如图所示，汽车上坡时有经验的司机都会提前换挡，试对下列关于汽车上坡时的说法作出判断.
（1）汽车上坡时，司机需要通过换挡的方法减小汽车的速度，从而得到较大的牵引力.（ √ ）
（2）根据公式P＝Fv知，牵引力一定时，随着汽车速度的增加，汽车的功率可以一直增加.（ ✕ ）
（3）汽车在坡上匀速行驶时牵引力等于摩擦力.（ ✕ ）
命题点1 以恒定功率启动
8.[2024江苏名校联考]我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一.在平直路面上某运动的新能源卡车的额定功率为60kW，若其总质量为5000kg，在水平路面上所受的阻力为5000N.
（1）求新能源卡车所能达到的最大速度；
（2）若新能源卡车以额定功率启动，则该卡车车速v＝2m/s时其加速度为多大？
答案 （1）12m/s （2）5m/s2
解析 （1）当达到最大速度时有P＝Fvm，F＝f
解得vm＝12m/s.
（2）当车速v＝2m/s时卡车的牵引力为
F'＝Pv＝60×1032N＝3×104N
由牛顿第二定律有F'－f＝ma
解得a＝5m/s2.
命题点2 以恒定加速度启动
9.[多选]一辆轿车质量为m，在平直公路上行驶，启动阶段轿车牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过一段时间，其速度由零增大到最大值vm.若所受阻力恒为f，则关于轿车的速度v、加速度a、牵引力F、功率P的图像可能正确的是（ ACD ）
A B C D
解析 由于轿车受到的牵引力不变，开始阶段加速度不变，所以轿车在开始阶段做匀加速运动，当实际功率达到额定功率时，功率不再增加，速度增大，牵引力就减小，当牵引力减小到等于阻力时，加速度等于零，速度达到最大值vm＝P额f，故A、C、D正确，B错误.
10.某兴趣小组让一辆自制遥控小车在水平的直轨道上由静止开始运动，小车先做匀加速运动而后以恒定的功率运动，其运动的v－t图像如图所示（除4～8s时间段内的图像为曲线外，其余时间段内图像均为直线）.小车的质量为m＝2kg，小车在整个过程中所受的阻力大小不变恒为f＝6N.求：
（1）小车匀速行驶阶段的功率；
（2）小车的速度为v1＝8m/s时加速度a1的大小；
（3）小车在加速运动过程中总位移x的大小.
答案 （1）54W （2）0.375m/s2 （3）40.5m
解析 （1）由题图可知小车的最大速度vmax＝9m/s
由公式P＝Fvmax，F＝f，得P＝54W.
（2）当小车的速度为v1时，其牵引力F1＝Pv1
根据牛顿第二定律有F1－f＝ma1
解得a1＝0.375m/s2.
（3）由题图可知，t1＝4s时该小车匀加速结束，速度为v1＝6m/s
0～4s内的位移为x1＝v12t1
小车变加速运动时，由动能定理有
P（t2－t1）－fx2＝12mvmax2－12mv12
而x＝x1＋x2
解得x＝40.5m.
方法点拨
机车启动问题的解题技巧
1. 机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得Pt-F阻s＝ΔEk，此式常用于求解机车以恒定功率启动过程中的位移大小.
2. 无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vmax＝PFmin＝PF阻(式中Fmin为最小牵引力，其大小等于阻力F阻).
3. 机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，牵引力的功率最大，速度不是最大，此时的速度v＝PF＜vmax＝PF阻.
1.[功/2023北京]如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动.已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.在物体移动距离为x的过程中（ D ）
A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时，F做功为μmgx
D.F做功的最小值为max
解析
竖直方向有FN＋Fsinθ＝mg，水平方向有F合＝Fcsθ－f，其中f＝μFN，θ变化时，FN变化，则f变化，其做功大小W＝fx变化，A错；合力做功为W合＝F合x＝max，与F方向无关，B错；F为水平方向时，有F－μmg＝ma，则F＞μmg，即F做功大于μmgx，C错；物体运动过程中，有Fxcsθ－fx＝W合，即当f＝0时，F做功最小，此时有Wmin＝W合＝max，D对.
2.[功和功率/2023山东]《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景.引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动.水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动.每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60％被输送到高出水面H处灌入稻田.当地的重力加速
度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ B ）
A.2nmgω2RH5B.3nmgωRH5
C.3nmgω2RH5D.nmgωRH
解析 由题意知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60％被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入稻田的水的总质量为m总＝2πRnm×60％＝1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝1.2πRnmgH，筒车对灌入稻田的水做功的功率P＝WT，而T＝2πω，解得P＝3nmgωRH5，B正确.
3.[机车启动/2023湖北]两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2.现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（ D ）
A.P1v1＋P2v2P1＋P2B.P1v2＋P2v1P1＋P2
C.P1＋P2v1v2P1v1＋P2v2D.P1＋P2v1v2P1v2＋P2v1
解析
4.[机车启动/2021重庆/多选]额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图所示.两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶，从t2和t4时刻开始牵引力均视为不变.若两车行驶时所受的阻力大小与其重力成正比，且比例系数相同，则（ ABC ）
A.甲车的质量比乙车大
B.甲车比乙车先开始运动
C.甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同
D.甲车在t2时刻和乙车在t4时刻的速率相同
解析 根据题述，两车额定功率P相同，两车从t2和t4时刻开始牵引力不变，可知
此后两车牵引力等于各自所受阻力，结合题图可知，甲车所受阻力大于乙车所受阻
力，又两车行驶时所受的阻力大小与其重力成正比，且比例系数相同，可知甲车的
质量比乙车大，选项A正确.对甲、乙两车启动的第一阶段，甲车的牵引力达到最大
时，乙车的牵引力还小于其行驶时所受的阻力，可知甲车一定比乙车先开始运动，
选项B正确.甲车在t1时刻的牵引力等于乙车在t3时刻的牵引力，又两车均刚达到额定
功率，根据P＝Fv可知，甲车在t1时刻的速率与乙车在t3时刻的速率相同，选项C正
确.t2时刻甲车达到最大速度，t4时刻乙车达到最大速度，额定功率P＝fv m，又甲车
所受的阻力比乙车所受阻力大，所以甲车在t2时刻的速率小于乙车在t4时刻的速率，
选项D错误.
5.[功率/2022江苏]在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略.空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L.如图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物；在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为ω的匀速圆周运动，运动到A点停下；然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L.
（1）求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小Fn；
（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P；
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图2所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动.已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比F1：F2.
答案 （1）2mω2L （2）4mL2t3 （3）r3－（r－d）3r3
解析 （1）质量为m的货物绕O点做匀速圆周运动，半径为2L，根据牛顿第二定律可知
Fn＝mω2·2L＝2mω2L.
（2）货物从静止开始以加速度a做匀加速直线运动，根据运动学公式可知L＝12at2
解得a＝2Lt2
货物到达B点时的速度大小为v＝at＝2Lt
货物在机械臂的作用下在水平方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作用力即货物所受合力ma，所以经过时间t，货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率为P＝mav＝m·2Lt2·2Lt＝4mL2t3.
（3）空间站和货物同步做匀速圆周运动，角速度ω0相同，对质量为m0的空间站，质量为M的地球提供其做圆周运动的向心力，则有GMm0r2＝m0ω02r
解得GM＝ω02r3
货物在机械臂的作用力F1和万有引力F2的作用下做匀速圆周运动，则F2－F1＝mω02（r－d）
货物受到的万有引力F2＝GMm（r－d）2＝mω02r3（r－d）2
解得机械臂对货物的作用力大小为
F1＝mω02r3（r－d）2－mω02（r－d）＝mω02r3－（r－d）3（r－d）2
则F1F2＝r3－（r－d）3r3.
1.[多选]下列说法正确的是（ ABC ）
A.－10J的功大于＋5J的功
B.功是标量，正、负表示力对物体做功还是物体克服该力做功
C.一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动
D.功是矢量，正、负表示方向
解析 功是标量，功的正负既不表示方向也不表示功的大小，而是表示力对物体起动力作用（即力对物体做正功），还是力对物体起阻力作用（即物体克服该力做功），故A、B、C正确，D错误.
2.[2024天津滨海新区模拟]小明同学体育课上做深蹲起跳动作，先下沉重心，然后迅速蹬地起跳，双脚离开地面后上升到最高点.在小明下沉重心到上升到最高点的过程中，地面对他支持力的做功情况说法正确的是（ D ）
A.地面支持力对小明一直做正功
B.地面支持力对小明一直做负功
C.地面支持力先对小明做正功，脚离地后不做功
D.地面支持力一直不做功
解析 脚离地前，人在地面支持力方向上的位移为零，支持力不做功；脚离地后，不再受到支持力；故在小明下沉重心到上升到最高点的过程中，地面支持力一直不做功，D正确.
3.[2024河南周口模拟]某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F＝kh＋F0（k、F0已知），石头沿竖直方向做直线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（ C ）
A.F0h0B.kF0h0
C.F0h0＋12kh02D.12（kh0＋F0）h0
解析 由于阻力与深度为线性关系，则克服阻力做的功W＝Fh＝(F0＋kh0＋F0)2h0＝F0h0＋12kh02，C正确.
4.[图像创新/2024山西怀仁一中期中]如图甲所示，质量为4kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的图像如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2，则该物体在0～4m的运动过程中（ D ）
A.摩擦力的功率一直增大
B.推力的功率一直增大
C.摩擦力做功为80J
D.推力做功为200J
解析 滑动摩擦力Ff＝μmg＝20 N. 当推力大于摩擦力时，物体做加速运动，当推力小于摩擦力时，物体做减速运动，又摩擦力大小恒定，故该物体在0～4 m的运动过程中，摩擦力的功率先增大后减小，故A错误；由题图乙可知，推力大小一直减小，当推力等于摩擦力时，物体速度达到最大，此后物体速度减小，则推力的功率也减小，故B错误；摩擦力做功W1＝-Ffx＝-80 J，故C错误；F-x图像中图线与x轴所围的面积表示推力做的功，推力做的功W2＝12×100×4 J＝200 J，故D正确.
5.如图所示，在某滑雪场滑雪者从O点由静止沿斜面自由滑下，接着在水平面上滑至N点停下，斜面、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为μ＝0.1，滑雪者（包括滑雪板）的质量为m＝50kg，g取10m/s2，O、N两点间的水平距离为s＝100m.滑雪者在整个运动的过程中，克服摩擦力做的功为（ C ）
A.1250J
B.2500J
C.5000J
D.7500J
解析 设斜面的倾角为θ，则滑雪者从O点到N点的运动过程中克服摩擦力做的功Wf＝μmg cs θ·xOM＋μmg·xMN，由题图可知，xOM cs θ＋xMN＝s，两式联立可得Wf＝μmgs＝5 000 J，故A、B、D错误，C正确.
6.[2024山东日照模拟/多选]图甲是全球最大回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机打破长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列.该起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m＝200kg的物体，物体的a－t图像如图乙所示，5～10s内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度g＝10m/s2，则以下说法正确的是（ BC ）
A.物体在0～10s内运动的最大速度为10m/s
B.起重机的额定功率为24000W
C.0～5s内起重机对物体做的功小于5～10s内起重机对物体做的功
D.0～5s内起重机对物体做的功大于5～10s内起重机对物体做的功
解析 物体在0～5 s内做匀加速直线运动，5 s末速度v＝a1t5＝10 m/s，之后物体做加速度不断减小的加速运动，故0～10 s内最大速度大于10 m/s，A错误；在0～5 s内，由牛顿第二定律可知，F-mg＝ma1，可得F＝m(g＋a1)＝2 400 N，5 s末起重机功率达到额定值，故其额定功率P＝Fv＝24 000 W，B正确；由于起重机在0～5 s内，功率由零均匀增大到额定值，故0～5 s内的平均功率小于5～10 s内的平均功率，所以0～5 s内起重机对物体做的功小于5～10 s内起重机对物体做的功，C正确，D错误.
7.[2024福建泉州质量监测]如图所示，质量m＝1.5×103kg的山地越野车，在平直山道上以恒定功率P＝9.0×104W启动，行驶过程中所受阻力恒为车重力的15.车到A点前速度已达到最大，继续行驶至A点水平飞出，恰好沿山坡的切线方向落于B点.已知A、B两点间的水平距离L＝18m，取g＝10m/s2，不计空气阻力，求：
（1）山地越野车从A点飞出时速度的大小vm；
（2）A、B两点间的竖直高度h；
（3）山地越野车到达B点时山坡的切线与水平方向夹角的正切值tanθ.
答案 （1）30m/s （2）1.8m （3）0.2
解析 （1）当车的速度最大时，有F牵＝f＝15mg
又P＝F牵vm
联立并代入数据解得vm＝30m/s
（2）由题意可知车从A点飞出后做平抛运动，则由平抛运动规律有L＝vmt
h＝12gt2
联立并代入数据解得t＝0.6s、h＝1.8m
（3）由运动学公式可知车到达B点时竖直方向的分速度大小为vy＝gt
由几何关系有tanθ＝vyvm
联立并代入数据解得tanθ＝0.2.
8.[多选]如图所示，三个质量相等的小球a、b、c从图示位置分别以相同的速度v0水平向右抛出，最终都能到达D（3L，0）点.不计空气阻力，x轴所在处为地面，则可判断a、b、c三个小球（ ABC ）
A.初始时刻纵坐标之比为9：4：1
B.在空中运动过程中，重力做功的平均功率之比为3：2：1
C.在空中运动过程中，速度变化率之比为1：1：1
D.到达D点时，重力做功的瞬时功率之比为1：1：1
解析 水平初速度相同，x＝v0t，a、b、c水平位移之比为3：2：1，所以它们在空中运动的时间之比为3：2：1，初始时刻纵坐标之比即该过程小球的下落高度之比，根据h＝12gt2可知，初始时刻纵坐标之比为9：4：1，重力做的功之比等于下落高度之比，即9：4：1，由P＝Wt知，重力做功的平均功率之比为3：2：1，故A、B正确；加速度等于速度的变化率，在空中运动过程中，三个小球的加速度均为g，则速度变化率之比为1：1：1，故C正确；根据vy＝2gh以及P'＝mgvy可知，到达D点时，重力做功的瞬时功率之比为3：2：1，故D错误.
9.[多选]如图甲所示，质量m＝1kg的小物块在平行斜面向上的拉力F作用下从静止开始沿斜面向上运动，斜面始终静止，t＝0.5s时撤去拉力，其1.5s内的速度随时间变化的关系如图乙所示，g取10m/s2，则（ AC ）
时拉力的功率为12W
内拉力做功9J
后物块可能返回
后物块一定静止
解析 由题图乙知，0～0.5 s内物块的位移x1＝12×0.5×2 m＝0.5 m；0.5～1.5 s内物
块的位移x2＝12×1×2 m＝1 m；两阶段加速度的大小分别为a1＝4 m/s2，a2＝2 m/s2；
设斜面倾角为θ，斜面对物块的动摩擦因数为μ，根据牛顿第二定律，0～0.5 s内有F-
μmg cs θ-mg sin θ＝ma1；0.5～1.5 s内有-μmg cs θ-mg sin θ＝-ma2，联立解得F＝6
N，但无法求出μ和θ，0.5 s时，拉力的功率P＝Fv＝12 W，故A正确.1.5 s内的前0.5 s
拉力做功，其大小W＝Fx1＝3 J，故B错误.无法求出μ和θ，不清楚tan θ与μ的大小关
系，无法判断物块能否静止在斜面上，故C正确，D错误.
10.[2024山东新泰一中校考]我国高铁技术处于世界领先水平，和谐号动车组是由动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车，如图所示.假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比，某列动车组由8节车厢组成，其中第1和5节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组（ B ）
A.启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反
B.做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3：2
C.进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比
D.与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为3：2
解析 当动车组启动时，乘客的加速度的方向与车的加速度的方向相同，所以乘客受到车厢的作用力等于受到的支持力与向前的作用力的合力，方向并非和车运动的方向相反，故A错误；当动车组做加速运动时，有两节动力车厢，对整个动车组进行受力分析有2F-8kmg＝8ma，对6、7、8车厢整体进行受力分析有F1-3kmg＝3ma，对7、8车厢整体进行受力分析有F2-2kmg＝2ma，联立可得F1F2＝32，故B正确；设进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离为s，则有-8kmg·s＝0-8×12mv2，解得s＝v22kg，所以该动车组进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度的平方成正比，故C错误；当只有两节动车时，最大速率为vmax，则有2P＝8kmgvmax，改为4节动车带4节拖车的动车组时，有4P＝8kmgv'max，联立有v'max＝2vmax，故D错误.
11.[在真实情境中建构运动模型/2024“宜荆荆恩”起点考试]小龙同学为参加自行车比赛在操场上练习骑车.当他一个人骑车时，脚蹬踏的频率可以达到3Hz，为了增加训练强度，他让一名同学坐在后座上，如图所示，脚蹬踏的频率最多只能达到2Hz.若小龙用力蹬踏自行车时的驱动力的功率相同，则小龙单独骑车和载人时所受的阻力之比为（ B ）
A.4∶9B.2∶3
C.2∶6D.3∶2
解析 小龙单独骑车时，驱动力的功率P1＝F1v1＝F1·2πRn1，载人时，驱动力的功率P2＝F2v2＝F2·2πRn2，又P1＝P2，则F1F2＝n2n1＝23，又达到最大速度时，阻力与驱动力的大小相等，则f1f2＝F1F2＝23，B正确.
12.[反冲作用力的功率的计算/2023广东佛山顺德区一中一模/多选]如图甲所示，“水上飞人”是一种水上娱乐运动.喷水装置向下持续喷水，总质量为M的人与喷水装置受到向上的反冲作用力腾空而起，在空中做各种运动.一段时间内，人与喷水装置在竖直方向运动的v－t图像如图乙所示，水的反冲作用力的功率恒定，规定向上为正方向，忽略水管对喷水装置的拉力以及空气的阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ BC ）
A.t1～t2时间内，水的反冲作用力越来越大
B.水的反冲作用力的功率为Mgv2
C.t1时刻，v－t图像切线的斜率为v2－v1v1g
D.t2～t3时间内，水的反冲作用力做的功为Mgv2t3
解析 设水的反冲作用力的恒定功率为P，由P＝Fv可得水的反冲作用力F＝Pv，由
v-t图像可知t1～t2时间内，人与喷水装置的速度v越来越大，则水的反冲作用力越来
越小，故A错误；t2时刻，人与喷水装置的速度达到最大值v2，开始匀速上升，水的
反冲作用力F＝Mg，水的反冲作用力的恒定功率P＝Fv＝Mgv2，故B正确；由v-t图像
可知t1时刻，人与喷水装置的速度为v1，设水的反冲作用力为F1，由P＝Mgv2，P＝
F1v1，可知F1＝Mgv2v1，由牛顿第二定律有F1-Mg＝Ma，可得t1时刻，v-t图像切线的斜
率，即人与喷水装置的加速度a＝v2-v1v1g，故C正确；由P＝Wt可得W＝Pt，结合P＝
Fv＝Mgv2，可知t2～t3时间内，水的反冲作用力做的功W＝Mgv2(t3-t2)，故D错误.课标要求
核心考点
五年考情
核心素养对接
1.理解功和功率.
2.了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义.
功的正负判断与计算
2023：新课标T15、T20，北京T11，广东T8；
2021：全国乙T19，浙江6月T11；
2019：浙江4月T19
1.物理观念：功和功率是建立功能关系的重要概念，准确理解“功”才能更好地促进能量观念的形成.
2.科学思维：建构机车启动模型；掌握变力做功的计算方法；会用极限思想求解瞬时功率.
3.科学态度与责任：能用功和功率分析解释生活中的实际现象.
变力做功问题的求解
2023：湖北T9
功率问题的分析与求解
2023：山东T4，辽宁T3；
2022：江苏T14；
2021：浙江6月T8，浙江1月T19
机车启动模型
2023：山东T8，湖北T4；
2021：北京T8，湖南T3，重庆T10
命题分析预测
功和功率可能会与交通实际、曲线运动、电磁场、电磁感应等知识综合考查，选择题形式居多.预计2025年高考可能会出现与体育运动、生产生活等实际情境相结合命制的选择题.
角度
功的正负
0≤α＜π2
W＞0，力对物体做[3] 正功
α＝π2
W＝0，力对物体[4] 不做功
π2＜α≤π
W＜0，力对物体做[5] 负功 ，或者说物体[6] 克服 这个力做功
做功的力
做功的特点
重力
与路径无关，与物体所受的重力和初、末位置的高度差有关，WG＝mgΔh
弹簧的弹力
力的方向不变时，F随位移x线性变化（弹簧处于弹性限度内），F＝F1＋F22，W＝Fx，F1、F2为始、末位置的弹力
静摩擦力
可以做正功、做负功、不做功
滑动摩擦力
可以做正功、做负功、不做功
一对静摩擦力
总功为零
一对滑动摩擦力
总功为负功，W总＝－Ffd相对
汽车牵引力
P不变时，W＝Pt；F不变时，W＝Fs
方法
以例说法
用动能定理计算
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgl（1－csθ）＝0，得WF＝mgl（1－csθ）
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，若摩擦力f大小恒定，运动一周克服摩擦力做的功Wf＝f·Δx1＋f·Δx2＋f·Δx3＋…＝f（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝f·2πR
等效转换法
恒力F通过绳子把物块从A点拉到B点，绳子对物块做的功W＝F·（hsinα－hsinβ）
平均力法
弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中（均在弹性限度内），克服弹力做功W＝kx1＋kx22·（x2－x1）
图像法
一水平拉力F拉着一物体在水平面上运动的位移为x1，F－x图像如图所示，图线与坐标轴所围面积表示拉力所做的功
用W＝Pt计算
这是一种等效代换的思想，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是不变的这一条件
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图像和v－t图像
OA段
过程分析
v↑⇒F＝P额v↓⇒a＝F－F阻m↓直至a＝0
a＝F－F阻m（不变）⇒F不变v↑⇒P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝v1a
AB段
过程分析
F＝F阻⇒a＝0⇒
vmax＝P额F阻
v↑⇒F＝P额v↓⇒a＝F－F阻m↓直至a＝0
运动性质
速度为vmax的匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC段
F＝F阻⇒a＝0⇒vmax＝P额F阻恒定
考点1 功的正负判断与计算
1.做功的两个必要因素
（1）作用在物体上的力.
（2）物体在[1] 力的方向 上发生的位移.
2.表达式：W＝[2] Flcsα ，α是力F与位移l的夹角.
3.功的正负的判断
如图，一个质量为150kg的雪橇，受到与水平方向成37°角斜向上方的拉力，大小为500N，在水平地面上移动的距离为5m.地面对雪橇的阻力为100N，cs37°＝0.8.
拉力对雪橇做的功是 2000 J，阻力对雪橇做的功是 －500 J，重力对雪橇做的功是 0 J，支持力对雪橇做的功是 0 J，各力对雪橇做的总功是 1500 J.
解析 拉力在水平方向的分力为 Fx ＝ F cs 37°，它所做的功为W1 ＝Fxl ＝Fl cs37°＝500×5×0.8 J ＝2 000 J，阻力与运动方向相反，两者夹角为180°，它所做的功为W2＝F阻l cs 180°＝-100×5 J ＝- 500 J，重力和支持力与运动方向垂直，即重力和支持力对雪橇做的功均为0，各力对雪橇所做的总功为W＝W1＋W2＝2 000 J-500 J＝1 500 J.
命题点1 功的正负判断
1.图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼（忽略扶梯对手的作用），图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止.下列关于力做功的判断正确的是（ A ）
A.甲图中支持力对人做正功
B.甲图中摩擦力对人做负功
C.乙图中支持力对人做正功
D.乙图中摩擦力对人做负功
解析 对题图甲中女士受力分析如图1所示，受重力和支持力两个力，支持力与速度v的夹角为锐角，做正功，故A正确，B错误.对题图乙中男士受力分析如图2所示，受重力、支持力与静摩擦力作用，支持力与速度v'的夹角为90°，不做功，静摩
擦力与速度方向相同，做正功，故C、D均错误.
命题点2 恒力做功的计算
2.[多选]如图，在电梯中有一固定放置的倾角为θ的斜面，斜面上放置一个质量为m的物体，二者以相同的加速度a匀加速上升了高度h，重力加速度为g，且物体和斜面始终保持相对静止，在这一过程中，下列说法正确的是（ AD ）
A.斜面对物体的支持力做的功为m（a＋g）hcs2θ
B.斜面对物体的摩擦力做的功为m（a＋g）hcs2θ
C.斜面对物体做的功为mah
D.合力对物体做的功为mah
解析 对物体受力分析如图，水平和竖直方向分别有F sin θ-f cs θ＝0，F cs θ＋f sin θ-mg＝ma，解得F＝m(a＋g) cs θ，f＝m(a＋g) sin θ，根据定义分别计算出二者的做功，WF＝Fh cs θ＝m(a＋g)h cs 2θ，Wf＝fh cs (90°-θ)＝m(a＋g)h sin 2θ，故A正确，B错误；斜面对物体有2个力，所以做的功为二者之和，即W＝WF＋Wf＝m(a＋g)h，C错误；合力对物体做的功W合＝F合h，再根据牛顿第二定律F合＝ma，可得W合＝mah，D正确.
方法点拨
常见力做功的特点
考点2 变力做功问题的求解
变力做功的六种求解方法
命题点1 微元法求变力做功
3.如图所示，一质量为m＝2.0kg的物体从半径为R＝5.0m的圆弧轨道的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端（圆弧AB在竖直平面内）.拉力F的大小始终为15N，方向始终与物体所在圆弧处的切线成37°角.圆弧轨道所对应的圆心角为45°，BO边沿竖直方向.求这一过程中：（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8）
（1）拉力F做的功；
（2）重力G做的功；
（3）圆弧轨道对物体的支持力N做的功.
答案 （1）47.1J （2）－29.3J （3）0
解析 （1）将圆弧AB分成很多小段l1、l2、…、ln，物体在这些小段上近似做直线运动，则拉力在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体所在圆弧处的切线成37°角，所以W1＝Fl1cs37°、W2＝Fl2cs37°、…、Wn＝Flncs37°
WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcs37°（l1＋l2＋…＋ln）＝Fcs37°·πR4≈47.1J.
（2）重力G做的功WG＝－mgR（1－cs45°）≈－29.3J.
（3）物体受到的支持力N始终与物体的运动方向垂直，所以WN＝0.
命题点2 等效转换法求变力做功
4.如图所示，一辆拖车通过光滑定滑轮将一重为G的物体匀速提升，当拖车从A点水平移动到B点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ角，求此过程中拖车对绳子所做的功.
答案 1－csθsinθGs
解析 拖车对绳子做的功等于绳子对物体做的功.以物体为研究对象，由于整个过程中物体匀速运动，所以绳子的拉力大小FT＝G. 物体上升的距离等于滑轮右侧后来的绳长OB减去开始时的绳长OA，即l＝ssinθ-stanθ，所以绳子对物体做的功W＝FTl＝1-csθsinθGs，则拖车对绳子做的功等于1-csθsinθGs.
命题点3 平均力法求变力做功
5.某工地建房时用小车将细沙从一楼提到七楼（高度为20m），小车和细沙总质量为10kg.由于小车漏沙，在被匀加速提升至七楼的过程中，小车和细沙的总质量随着上升距离的变化关系如图所示.小车可以看成质点，已知小车加速度为2m/s2，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2.由图像可知，在提升的整个过程中，拉力对小车做的功为（ A ）
A.2160JB.1800J
C.2400JD.180J
解析 由题图可知小车和细沙的总质量m＝10-0.1h(kg).小车在被匀加速提升至七楼的过程中，根据牛顿第二定律有F-mg＝ma，可得F＝120-1.2h(N)，故拉力与上升距离(位移)满足线性关系，所以可用平均力法求解变力做功.当h＝0时F1＝120 N；当h＝20 m时F2＝96 N；则在提升的整个过程中，拉力对小车做的功为W拉＝F1＋F22h＝2 160 J，故A正确.
考点3 功率问题的分析与求解
1.定义：功与完成这些功所用[7] 时间 之比.
2.物理意义：描述力对物体做功的[8] 快慢 .
3.公式
4.额定功率与实际功率
（1）额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率.
（2）实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率.
在生产生活中，人们不仅关注做功的多少，还关注做功的快慢，做功的快慢我们用功率表示.求解功率的公式有P＝Wt和P＝Fvcsα，试对下列关于两公式和功率的说法进行判断.
（1）公式P＝Fvcsα只可以求平均功率，不可以求瞬时功率.（ ✕ ）
（2）当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大.（ ✕ ）
（3）公式P＝Wt是用来求t时刻的瞬时功率的.（ ✕ ）
（4）功率越大，说明该力做的功越多.（ ✕ ）
6.[平均功率的求解]如图所示，质量为60kg的运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒.已知重心在c点，其垂线与两脚、两手连线中点间的距离Oa、Ob分别为0.9m和0.6m.若她在一分钟内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，则运动员在一分钟内克服重力做的功和相应的功率约为（取g＝10m/s2）（ B ）
A.430J，7WB.4300J，70W
C.720J，12WD.7200J，120W
解析 设重心上升的高度为h，根据相似三角形可知h0.4m＝0.9m(0.9+0.6)m，得h＝0.24 m.做一次俯卧撑的过程中，运动员克服重力做的功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝144 J，所以运动员在一分钟内克服重力做的总功为W总＝NW＝4 320 J，功率P＝W总t＝72 W，故B正确.
7.[瞬时功率的求解/2023辽宁]如图（a），从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道.两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t的关系如图（b）所示.由图可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中（ B ）
A.甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B.甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C.乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D.乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
解析 由图(b)可知小物块甲做匀加速直线运动，小物块乙做加速度减小的加速运动，结合图(a)可知，小物块甲沿轨道Ⅱ下滑，小物块乙沿轨道Ⅰ下滑，AD错误；由图(b)可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中，同一时刻物块乙的速度大于物块甲的速度，则同一时刻甲的动能比乙的小，B正确；小物块乙由静止释放的瞬间，小物块乙的速度为零，则小物块乙的重力功率为0，小物块乙滑到轨道Ⅰ底端的瞬间，小物块乙的速度方向与重力方向垂直，则小物块乙的重力功率为0，但在下滑过程，小物块乙的重力做的功不为0，则小物块乙的重力的瞬时功率先增大后减小，C错误.
考点4 机车启动模型
如图所示，汽车上坡时有经验的司机都会提前换挡，试对下列关于汽车上坡时的说法作出判断.
（1）汽车上坡时，司机需要通过换挡的方法减小汽车的速度，从而得到较大的牵引力.（ √ ）
（2）根据公式P＝Fv知，牵引力一定时，随着汽车速度的增加，汽车的功率可以一直增加.（ ✕ ）
（3）汽车在坡上匀速行驶时牵引力等于摩擦力.（ ✕ ）
命题点1 以恒定功率启动
8.[2024江苏名校联考]我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一.在平直路面上某运动的新能源卡车的额定功率为60kW，若其总质量为5000kg，在水平路面上所受的阻力为5000N.
（1）求新能源卡车所能达到的最大速度；
（2）若新能源卡车以额定功率启动，则该卡车车速v＝2m/s时其加速度为多大？
答案 （1）12m/s （2）5m/s2
解析 （1）当达到最大速度时有P＝Fvm，F＝f
解得vm＝12m/s.
（2）当车速v＝2m/s时卡车的牵引力为
F'＝Pv＝60×1032N＝3×104N
由牛顿第二定律有F'－f＝ma
解得a＝5m/s2.
命题点2 以恒定加速度启动
9.[多选]一辆轿车质量为m，在平直公路上行驶，启动阶段轿车牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过一段时间，其速度由零增大到最大值vm.若所受阻力恒为f，则关于轿车的速度v、加速度a、牵引力F、功率P的图像可能正确的是（ ACD ）
A B C D
解析 由于轿车受到的牵引力不变，开始阶段加速度不变，所以轿车在开始阶段做匀加速运动，当实际功率达到额定功率时，功率不再增加，速度增大，牵引力就减小，当牵引力减小到等于阻力时，加速度等于零，速度达到最大值vm＝P额f，故A、C、D正确，B错误.
10.某兴趣小组让一辆自制遥控小车在水平的直轨道上由静止开始运动，小车先做匀加速运动而后以恒定的功率运动，其运动的v－t图像如图所示（除4～8s时间段内的图像为曲线外，其余时间段内图像均为直线）.小车的质量为m＝2kg，小车在整个过程中所受的阻力大小不变恒为f＝6N.求：
（1）小车匀速行驶阶段的功率；
（2）小车的速度为v1＝8m/s时加速度a1的大小；
（3）小车在加速运动过程中总位移x的大小.
答案 （1）54W （2）0.375m/s2 （3）40.5m
解析 （1）由题图可知小车的最大速度vmax＝9m/s
由公式P＝Fvmax，F＝f，得P＝54W.
（2）当小车的速度为v1时，其牵引力F1＝Pv1
根据牛顿第二定律有F1－f＝ma1
解得a1＝0.375m/s2.
（3）由题图可知，t1＝4s时该小车匀加速结束，速度为v1＝6m/s
0～4s内的位移为x1＝v12t1
小车变加速运动时，由动能定理有
P（t2－t1）－fx2＝12mvmax2－12mv12
而x＝x1＋x2
解得x＝40.5m.
方法点拨
机车启动问题的解题技巧
1. 机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得Pt-F阻s＝ΔEk，此式常用于求解机车以恒定功率启动过程中的位移大小.
2. 无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vmax＝PFmin＝PF阻(式中Fmin为最小牵引力，其大小等于阻力F阻).
3. 机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，牵引力的功率最大，速度不是最大，此时的速度v＝PF＜vmax＝PF阻.
1.[功/2023北京]如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动.已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.在物体移动距离为x的过程中（ D ）
A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时，F做功为μmgx
D.F做功的最小值为max
解析
竖直方向有FN＋Fsinθ＝mg，水平方向有F合＝Fcsθ－f，其中f＝μFN，θ变化时，FN变化，则f变化，其做功大小W＝fx变化，A错；合力做功为W合＝F合x＝max，与F方向无关，B错；F为水平方向时，有F－μmg＝ma，则F＞μmg，即F做功大于μmgx，C错；物体运动过程中，有Fxcsθ－fx＝W合，即当f＝0时，F做功最小，此时有Wmin＝W合＝max，D对.
2.[功和功率/2023山东]《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景.引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动.水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动.每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60％被输送到高出水面H处灌入稻田.当地的重力加速
度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ B ）
A.2nmgω2RH5B.3nmgωRH5
C.3nmgω2RH5D.nmgωRH
解析 由题意知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60％被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入稻田的水的总质量为m总＝2πRnm×60％＝1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝1.2πRnmgH，筒车对灌入稻田的水做功的功率P＝WT，而T＝2πω，解得P＝3nmgωRH5，B正确.
3.[机车启动/2023湖北]两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2.现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（ D ）
A.P1v1＋P2v2P1＋P2B.P1v2＋P2v1P1＋P2
C.P1＋P2v1v2P1v1＋P2v2D.P1＋P2v1v2P1v2＋P2v1
解析
4.[机车启动/2021重庆/多选]额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图所示.两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶，从t2和t4时刻开始牵引力均视为不变.若两车行驶时所受的阻力大小与其重力成正比，且比例系数相同，则（ ABC ）
A.甲车的质量比乙车大
B.甲车比乙车先开始运动
C.甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同
D.甲车在t2时刻和乙车在t4时刻的速率相同
解析 根据题述，两车额定功率P相同，两车从t2和t4时刻开始牵引力不变，可知
此后两车牵引力等于各自所受阻力，结合题图可知，甲车所受阻力大于乙车所受阻
力，又两车行驶时所受的阻力大小与其重力成正比，且比例系数相同，可知甲车的
质量比乙车大，选项A正确.对甲、乙两车启动的第一阶段，甲车的牵引力达到最大
时，乙车的牵引力还小于其行驶时所受的阻力，可知甲车一定比乙车先开始运动，
选项B正确.甲车在t1时刻的牵引力等于乙车在t3时刻的牵引力，又两车均刚达到额定
功率，根据P＝Fv可知，甲车在t1时刻的速率与乙车在t3时刻的速率相同，选项C正
确.t2时刻甲车达到最大速度，t4时刻乙车达到最大速度，额定功率P＝fv m，又甲车
所受的阻力比乙车所受阻力大，所以甲车在t2时刻的速率小于乙车在t4时刻的速率，
选项D错误.
5.[功率/2022江苏]在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略.空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L.如图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物；在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为ω的匀速圆周运动，运动到A点停下；然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L.
（1）求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小Fn；
（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P；
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图2所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动.已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比F1：F2.
答案 （1）2mω2L （2）4mL2t3 （3）r3－（r－d）3r3
解析 （1）质量为m的货物绕O点做匀速圆周运动，半径为2L，根据牛顿第二定律可知
Fn＝mω2·2L＝2mω2L.
（2）货物从静止开始以加速度a做匀加速直线运动，根据运动学公式可知L＝12at2
解得a＝2Lt2
货物到达B点时的速度大小为v＝at＝2Lt
货物在机械臂的作用下在水平方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作用力即货物所受合力ma，所以经过时间t，货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率为P＝mav＝m·2Lt2·2Lt＝4mL2t3.
（3）空间站和货物同步做匀速圆周运动，角速度ω0相同，对质量为m0的空间站，质量为M的地球提供其做圆周运动的向心力，则有GMm0r2＝m0ω02r
解得GM＝ω02r3
货物在机械臂的作用力F1和万有引力F2的作用下做匀速圆周运动，则F2－F1＝mω02（r－d）
货物受到的万有引力F2＝GMm（r－d）2＝mω02r3（r－d）2
解得机械臂对货物的作用力大小为
F1＝mω02r3（r－d）2－mω02（r－d）＝mω02r3－（r－d）3（r－d）2
则F1F2＝r3－（r－d）3r3.
1.[多选]下列说法正确的是（ ABC ）
A.－10J的功大于＋5J的功
B.功是标量，正、负表示力对物体做功还是物体克服该力做功
C.一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动
D.功是矢量，正、负表示方向
解析 功是标量，功的正负既不表示方向也不表示功的大小，而是表示力对物体起动力作用（即力对物体做正功），还是力对物体起阻力作用（即物体克服该力做功），故A、B、C正确，D错误.
2.[2024天津滨海新区模拟]小明同学体育课上做深蹲起跳动作，先下沉重心，然后迅速蹬地起跳，双脚离开地面后上升到最高点.在小明下沉重心到上升到最高点的过程中，地面对他支持力的做功情况说法正确的是（ D ）
A.地面支持力对小明一直做正功
B.地面支持力对小明一直做负功
C.地面支持力先对小明做正功，脚离地后不做功
D.地面支持力一直不做功
解析 脚离地前，人在地面支持力方向上的位移为零，支持力不做功；脚离地后，不再受到支持力；故在小明下沉重心到上升到最高点的过程中，地面支持力一直不做功，D正确.
3.[2024河南周口模拟]某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F＝kh＋F0（k、F0已知），石头沿竖直方向做直线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（ C ）
A.F0h0B.kF0h0
C.F0h0＋12kh02D.12（kh0＋F0）h0
解析 由于阻力与深度为线性关系，则克服阻力做的功W＝Fh＝(F0＋kh0＋F0)2h0＝F0h0＋12kh02，C正确.
4.[图像创新/2024山西怀仁一中期中]如图甲所示，质量为4kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的图像如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2，则该物体在0～4m的运动过程中（ D ）
A.摩擦力的功率一直增大
B.推力的功率一直增大
C.摩擦力做功为80J
D.推力做功为200J
解析 滑动摩擦力Ff＝μmg＝20 N. 当推力大于摩擦力时，物体做加速运动，当推力小于摩擦力时，物体做减速运动，又摩擦力大小恒定，故该物体在0～4 m的运动过程中，摩擦力的功率先增大后减小，故A错误；由题图乙可知，推力大小一直减小，当推力等于摩擦力时，物体速度达到最大，此后物体速度减小，则推力的功率也减小，故B错误；摩擦力做功W1＝-Ffx＝-80 J，故C错误；F-x图像中图线与x轴所围的面积表示推力做的功，推力做的功W2＝12×100×4 J＝200 J，故D正确.
5.如图所示，在某滑雪场滑雪者从O点由静止沿斜面自由滑下，接着在水平面上滑至N点停下，斜面、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为μ＝0.1，滑雪者（包括滑雪板）的质量为m＝50kg，g取10m/s2，O、N两点间的水平距离为s＝100m.滑雪者在整个运动的过程中，克服摩擦力做的功为（ C ）
A.1250J
B.2500J
C.5000J
D.7500J
解析 设斜面的倾角为θ，则滑雪者从O点到N点的运动过程中克服摩擦力做的功Wf＝μmg cs θ·xOM＋μmg·xMN，由题图可知，xOM cs θ＋xMN＝s，两式联立可得Wf＝μmgs＝5 000 J，故A、B、D错误，C正确.
6.[2024山东日照模拟/多选]图甲是全球最大回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机打破长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列.该起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m＝200kg的物体，物体的a－t图像如图乙所示，5～10s内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度g＝10m/s2，则以下说法正确的是（ BC ）
A.物体在0～10s内运动的最大速度为10m/s
B.起重机的额定功率为24000W
C.0～5s内起重机对物体做的功小于5～10s内起重机对物体做的功
D.0～5s内起重机对物体做的功大于5～10s内起重机对物体做的功
解析 物体在0～5 s内做匀加速直线运动，5 s末速度v＝a1t5＝10 m/s，之后物体做加速度不断减小的加速运动，故0～10 s内最大速度大于10 m/s，A错误；在0～5 s内，由牛顿第二定律可知，F-mg＝ma1，可得F＝m(g＋a1)＝2 400 N，5 s末起重机功率达到额定值，故其额定功率P＝Fv＝24 000 W，B正确；由于起重机在0～5 s内，功率由零均匀增大到额定值，故0～5 s内的平均功率小于5～10 s内的平均功率，所以0～5 s内起重机对物体做的功小于5～10 s内起重机对物体做的功，C正确，D错误.
7.[2024福建泉州质量监测]如图所示，质量m＝1.5×103kg的山地越野车，在平直山道上以恒定功率P＝9.0×104W启动，行驶过程中所受阻力恒为车重力的15.车到A点前速度已达到最大，继续行驶至A点水平飞出，恰好沿山坡的切线方向落于B点.已知A、B两点间的水平距离L＝18m，取g＝10m/s2，不计空气阻力，求：
（1）山地越野车从A点飞出时速度的大小vm；
（2）A、B两点间的竖直高度h；
（3）山地越野车到达B点时山坡的切线与水平方向夹角的正切值tanθ.
答案 （1）30m/s （2）1.8m （3）0.2
解析 （1）当车的速度最大时，有F牵＝f＝15mg
又P＝F牵vm
联立并代入数据解得vm＝30m/s
（2）由题意可知车从A点飞出后做平抛运动，则由平抛运动规律有L＝vmt
h＝12gt2
联立并代入数据解得t＝0.6s、h＝1.8m
（3）由运动学公式可知车到达B点时竖直方向的分速度大小为vy＝gt
由几何关系有tanθ＝vyvm
联立并代入数据解得tanθ＝0.2.
8.[多选]如图所示，三个质量相等的小球a、b、c从图示位置分别以相同的速度v0水平向右抛出，最终都能到达D（3L，0）点.不计空气阻力，x轴所在处为地面，则可判断a、b、c三个小球（ ABC ）
A.初始时刻纵坐标之比为9：4：1
B.在空中运动过程中，重力做功的平均功率之比为3：2：1
C.在空中运动过程中，速度变化率之比为1：1：1
D.到达D点时，重力做功的瞬时功率之比为1：1：1
解析 水平初速度相同，x＝v0t，a、b、c水平位移之比为3：2：1，所以它们在空中运动的时间之比为3：2：1，初始时刻纵坐标之比即该过程小球的下落高度之比，根据h＝12gt2可知，初始时刻纵坐标之比为9：4：1，重力做的功之比等于下落高度之比，即9：4：1，由P＝Wt知，重力做功的平均功率之比为3：2：1，故A、B正确；加速度等于速度的变化率，在空中运动过程中，三个小球的加速度均为g，则速度变化率之比为1：1：1，故C正确；根据vy＝2gh以及P'＝mgvy可知，到达D点时，重力做功的瞬时功率之比为3：2：1，故D错误.
9.[多选]如图甲所示，质量m＝1kg的小物块在平行斜面向上的拉力F作用下从静止开始沿斜面向上运动，斜面始终静止，t＝0.5s时撤去拉力，其1.5s内的速度随时间变化的关系如图乙所示，g取10m/s2，则（ AC ）
时拉力的功率为12W
内拉力做功9J
后物块可能返回
后物块一定静止
解析 由题图乙知，0～0.5 s内物块的位移x1＝12×0.5×2 m＝0.5 m；0.5～1.5 s内物
块的位移x2＝12×1×2 m＝1 m；两阶段加速度的大小分别为a1＝4 m/s2，a2＝2 m/s2；
设斜面倾角为θ，斜面对物块的动摩擦因数为μ，根据牛顿第二定律，0～0.5 s内有F-
μmg cs θ-mg sin θ＝ma1；0.5～1.5 s内有-μmg cs θ-mg sin θ＝-ma2，联立解得F＝6
N，但无法求出μ和θ，0.5 s时，拉力的功率P＝Fv＝12 W，故A正确.1.5 s内的前0.5 s
拉力做功，其大小W＝Fx1＝3 J，故B错误.无法求出μ和θ，不清楚tan θ与μ的大小关
系，无法判断物块能否静止在斜面上，故C正确，D错误.
10.[2024山东新泰一中校考]我国高铁技术处于世界领先水平，和谐号动车组是由动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车，如图所示.假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比，某列动车组由8节车厢组成，其中第1和5节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组（ B ）
A.启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反
B.做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3：2
C.进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比
D.与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为3：2
解析 当动车组启动时，乘客的加速度的方向与车的加速度的方向相同，所以乘客受到车厢的作用力等于受到的支持力与向前的作用力的合力，方向并非和车运动的方向相反，故A错误；当动车组做加速运动时，有两节动力车厢，对整个动车组进行受力分析有2F-8kmg＝8ma，对6、7、8车厢整体进行受力分析有F1-3kmg＝3ma，对7、8车厢整体进行受力分析有F2-2kmg＝2ma，联立可得F1F2＝32，故B正确；设进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离为s，则有-8kmg·s＝0-8×12mv2，解得s＝v22kg，所以该动车组进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度的平方成正比，故C错误；当只有两节动车时，最大速率为vmax，则有2P＝8kmgvmax，改为4节动车带4节拖车的动车组时，有4P＝8kmgv'max，联立有v'max＝2vmax，故D错误.
11.[在真实情境中建构运动模型/2024“宜荆荆恩”起点考试]小龙同学为参加自行车比赛在操场上练习骑车.当他一个人骑车时，脚蹬踏的频率可以达到3Hz，为了增加训练强度，他让一名同学坐在后座上，如图所示，脚蹬踏的频率最多只能达到2Hz.若小龙用力蹬踏自行车时的驱动力的功率相同，则小龙单独骑车和载人时所受的阻力之比为（ B ）
A.4∶9B.2∶3
C.2∶6D.3∶2
解析 小龙单独骑车时，驱动力的功率P1＝F1v1＝F1·2πRn1，载人时，驱动力的功率P2＝F2v2＝F2·2πRn2，又P1＝P2，则F1F2＝n2n1＝23，又达到最大速度时，阻力与驱动力的大小相等，则f1f2＝F1F2＝23，B正确.
12.[反冲作用力的功率的计算/2023广东佛山顺德区一中一模/多选]如图甲所示，“水上飞人”是一种水上娱乐运动.喷水装置向下持续喷水，总质量为M的人与喷水装置受到向上的反冲作用力腾空而起，在空中做各种运动.一段时间内，人与喷水装置在竖直方向运动的v－t图像如图乙所示，水的反冲作用力的功率恒定，规定向上为正方向，忽略水管对喷水装置的拉力以及空气的阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ BC ）
A.t1～t2时间内，水的反冲作用力越来越大
B.水的反冲作用力的功率为Mgv2
C.t1时刻，v－t图像切线的斜率为v2－v1v1g
D.t2～t3时间内，水的反冲作用力做的功为Mgv2t3
解析 设水的反冲作用力的恒定功率为P，由P＝Fv可得水的反冲作用力F＝Pv，由
v-t图像可知t1～t2时间内，人与喷水装置的速度v越来越大，则水的反冲作用力越来
越小，故A错误；t2时刻，人与喷水装置的速度达到最大值v2，开始匀速上升，水的
反冲作用力F＝Mg，水的反冲作用力的恒定功率P＝Fv＝Mgv2，故B正确；由v-t图像
可知t1时刻，人与喷水装置的速度为v1，设水的反冲作用力为F1，由P＝Mgv2，P＝
F1v1，可知F1＝Mgv2v1，由牛顿第二定律有F1-Mg＝Ma，可得t1时刻，v-t图像切线的斜
率，即人与喷水装置的加速度a＝v2-v1v1g，故C正确；由P＝Wt可得W＝Pt，结合P＝
Fv＝Mgv2，可知t2～t3时间内，水的反冲作用力做的功W＝Mgv2(t3-t2)，故D错误.课标要求
核心考点
五年考情
核心素养对接
1.理解功和功率.
2.了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义.
功的正负判断与计算
2023：新课标T15、T20，北京T11，广东T8；
2021：全国乙T19，浙江6月T11；
2019：浙江4月T19
1.物理观念：功和功率是建立功能关系的重要概念，准确理解“功”才能更好地促进能量观念的形成.
2.科学思维：建构机车启动模型；掌握变力做功的计算方法；会用极限思想求解瞬时功率.
3.科学态度与责任：能用功和功率分析解释生活中的实际现象.
变力做功问题的求解
2023：湖北T9
功率问题的分析与求解
2023：山东T4，辽宁T3；
2022：江苏T14；
2021：浙江6月T8，浙江1月T19
机车启动模型
2023：山东T8，湖北T4；
2021：北京T8，湖南T3，重庆T10
命题分析预测
功和功率可能会与交通实际、曲线运动、电磁场、电磁感应等知识综合考查，选择题形式居多.预计2025年高考可能会出现与体育运动、生产生活等实际情境相结合命制的选择题.
角度
功的正负
0≤α＜π2
W＞0，力对物体做[3] 正功
α＝π2
W＝0，力对物体[4] 不做功
π2＜α≤π
W＜0，力对物体做[5] 负功 ，或者说物体[6] 克服 这个力做功
做功的力
做功的特点
重力
与路径无关，与物体所受的重力和初、末位置的高度差有关，WG＝mgΔh
弹簧的弹力
力的方向不变时，F随位移x线性变化（弹簧处于弹性限度内），F＝F1＋F22，W＝Fx，F1、F2为始、末位置的弹力
静摩擦力
可以做正功、做负功、不做功
滑动摩擦力
可以做正功、做负功、不做功
一对静摩擦力
总功为零
一对滑动摩擦力
总功为负功，W总＝－Ffd相对
汽车牵引力
P不变时，W＝Pt；F不变时，W＝Fs
方法
以例说法
用动能定理计算
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgl（1－csθ）＝0，得WF＝mgl（1－csθ）
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，若摩擦力f大小恒定，运动一周克服摩擦力做的功Wf＝f·Δx1＋f·Δx2＋f·Δx3＋…＝f（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝f·2πR
等效转换法
恒力F通过绳子把物块从A点拉到B点，绳子对物块做的功W＝F·（hsinα－hsinβ）
平均力法
弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中（均在弹性限度内），克服弹力做功W＝kx1＋kx22·（x2－x1）
图像法
一水平拉力F拉着一物体在水平面上运动的位移为x1，F－x图像如图所示，图线与坐标轴所围面积表示拉力所做的功
用W＝Pt计算
这是一种等效代换的思想，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是不变的这一条件
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图像和v－t图像
OA段
过程分析
v↑⇒F＝P额v↓⇒a＝F－F阻m↓直至a＝0
a＝F－F阻m（不变）⇒F不变v↑⇒P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝v1a
AB段
过程分析
F＝F阻⇒a＝0⇒
vmax＝P额F阻
v↑⇒F＝P额v↓⇒a＝F－F阻m↓直至a＝0
运动性质
速度为vmax的匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC段
F＝F阻⇒a＝0⇒vmax＝P额F阻恒定
相关学案
高考物理一轮复习第五章机械能第讲功和功率学案新人教版： 这是一份高考物理一轮复习第五章机械能第讲功和功率学案新人教版，共12页。
备考2024届高考物理一轮复习讲义第六章机械能第1讲功和功率考点4机车启动模型： 这是一份备考2024届高考物理一轮复习讲义第六章机械能第1讲功和功率考点4机车启动模型，共4页。
备考2024届高考物理一轮复习讲义第六章机械能第1讲功和功率考点1功的正负判断与计算： 这是一份备考2024届高考物理一轮复习讲义第六章机械能第1讲功和功率考点1功的正负判断与计算，共5页。
